立足“三會”，學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度觀察與思考問題

鄢學(xué)杰

［摘? 要］ 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界（簡稱“三會”）. 想要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，先要達(dá)成“三會”目標(biāo). 如何立足“三會”，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與思考問題的能力呢？文章以幾道例題教學(xué)為例展開分析，以拋磚引玉.

［關(guān)鍵詞］ 三會；數(shù)學(xué)眼光；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)語言

新課標(biāo)背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，在“以生為本”的基礎(chǔ)上，倡導(dǎo)“立德樹人”教育教學(xué)理念，以期培養(yǎng)學(xué)生的“三會”能力. 史寧中教授在新課標(biāo)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步說明了“三會”，即用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)思維實(shí)則為邏輯推理過程，而數(shù)學(xué)語言的本質(zhì)就是我們所熟悉的數(shù)學(xué)模型［1］. 想要培養(yǎng)學(xué)生的“三會”能力，實(shí)則培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)建模能力.

[?] 用數(shù)學(xué)眼光觀察世界

什么是數(shù)學(xué)眼光？數(shù)學(xué)眼光是指人類從客觀的事物或現(xiàn)象中捕捉到數(shù)學(xué)特征或觀點(diǎn)的一種能力. 想要發(fā)展這種能力，離不開對現(xiàn)實(shí)事物的觀察、分析、比較、猜想與驗(yàn)證等過程，這就需要帶領(lǐng)學(xué)生從客觀事物或現(xiàn)象的本質(zhì)出發(fā)，讓學(xué)生基于數(shù)學(xué)的角度提出問題，并將這些問題數(shù)量化后用數(shù)學(xué)語言加以描述. 因此，這是一個數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)造意識.

如超市中大部分大瓶牛奶的包裝盒都是長方形，而大部分飲料的包裝盒卻是圓柱形，這是為什么呢？

超市是學(xué)生熟悉的場所，學(xué)生對于牛奶與飲料都非常熟悉，卻鮮有學(xué)生思考過這個問題. 若將這個問題引入到課堂中，不僅體現(xiàn)了生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，還為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)抽象的機(jī)會，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察身邊的事物.

就以上這個問題，學(xué)生經(jīng)過合作交流，普遍認(rèn)為存在以下幾種可能：①人們習(xí)慣直接喝飲料，圓柱形包裝手感更舒適一些，同時圓柱形容器也容易制造，符合優(yōu)化原則；②大部分人習(xí)慣將牛奶倒出來喝，長方形的包裝便于傾倒，同時從超市物品排列的角度來看，長方形擺放在一起能節(jié)約貨架空間.

從以上角度分析這個生活問題，成功激發(fā)學(xué)生探索欲的同時，也鼓勵學(xué)生對生活常見的現(xiàn)象進(jìn)行合理抽象和推導(dǎo)，用數(shù)學(xué)思想方法提升了認(rèn)知技能. 因此，這種教學(xué)方式的應(yīng)用，不僅讓學(xué)生切身感知到數(shù)學(xué)源于生活的真諦，還有效啟發(fā)了學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的思維.

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開實(shí)踐操作、觀察與思考，這不僅是培養(yǎng)學(xué)生形成理性思維與批判能力的主要方式，還是促使學(xué)生形成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的重要手段. 學(xué)生親歷動手操作，常常能有效激活自身原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，通過知識的正遷移解決問題.

例1 操作要求：如圖1所示，準(zhǔn)備圓形紙張，并于紙張上非圓心的位置任取一點(diǎn)F，折疊這張紙片，使得圓周過點(diǎn)F，而后展開紙片得到折痕l（可在紙上畫出）. 重復(fù)這種折疊方法，可得大量折痕，觀察折痕所圍成的輪廓（見圖2），要求學(xué)生感知最終得到了什么曲線.

學(xué)生實(shí)際操作過程：

（1）取出圓形紙張，設(shè)圓心為A，r為半徑，取圓內(nèi)非圓心的點(diǎn)B；

（2）折疊圓形紙張，讓折疊后的圓弧過點(diǎn)B，重復(fù)此折疊步驟，獲得大量折痕（畫出）；

（3）觀察折痕所圍成的曲線，借助幾何畫板操作，視覺效果更好.

通過以上實(shí)踐操作，學(xué)生經(jīng)過合作交流，獲得以下猜想：①折痕圍成一個分別以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓；②所得橢圓的焦點(diǎn)（一個）關(guān)于橢圓任意切線的對稱點(diǎn)構(gòu)成圓，橢圓的另一個焦點(diǎn)為此圓的圓心，橢圓的長軸長為該圓的半徑.

以上均為猜想，想要驗(yàn)證猜想是否合理，必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明. 因此，學(xué)生經(jīng)過討論，提出了以下證明過程：

如圖3所示，第一步，證明橢圓上的任意一點(diǎn)都在某條折痕上.

假設(shè)點(diǎn)H是橢圓上的任意一點(diǎn)，將AH連接且延長后與圓相交于點(diǎn)D，再連接BD. 設(shè)FG為線段BD的垂直平分線，那么FG就是一條折痕. 根據(jù)點(diǎn)H位于橢圓上的條件，可知HB+HA=r，同時HD+HA=AD=r，那么HB=HD，由此可確定點(diǎn)H位于線段BD的垂直平分線上，也就是點(diǎn)H位于折痕FG上.

第二步，證明任意一條折痕均與橢圓為相切的關(guān)系，實(shí)則證明FG和橢圓相切于點(diǎn)H.

若點(diǎn)J是FG上非點(diǎn)H的任意一點(diǎn)，因?yàn)镴B+JA=JD+JA>DA=r，也就是點(diǎn)J位于橢圓外部，因此FG和橢圓的交點(diǎn)只有H，也可理解為FG和橢圓相切于點(diǎn)H.

值得注意的是：如果點(diǎn)B與點(diǎn)A為重合的關(guān)系，那么所有折痕圍成的曲線輪廓則是一個圓.

學(xué)生自主操作、觀察、分析與探索的過程，實(shí)則為學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光分析世界的過程. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，一般都建立在學(xué)生學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)上，通過教師創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境深入探索，讓學(xué)生逐漸形成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力與科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶剿髁?xí)慣，為形成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ).

[?] 用數(shù)學(xué)思維分析世界

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維不僅貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個生涯，還對學(xué)生的終身發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響. 想要學(xué)好數(shù)學(xué)，就要學(xué)會用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)去分析與思考生活中的現(xiàn)實(shí)問題，通過操作、觀察、比較、抽象、猜想與概括等手段，并應(yīng)用各種推理方法準(zhǔn)確地闡述自己對客觀現(xiàn)象的觀點(diǎn)與看法，辨明其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而更加準(zhǔn)確地認(rèn)識客觀世界.

波利亞認(rèn)為：生活是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，缺乏生活實(shí)際的思維是空洞且無依靠的，如果切斷生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，那么數(shù)學(xué)思維則無處發(fā)展［2］. 生活實(shí)際能讓學(xué)生直觀形象地感知數(shù)學(xué)知識的抽象與推理，而抽象與推理又是數(shù)學(xué)思維的發(fā)展基礎(chǔ). 因此，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，從生活實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)一些豐富的教學(xué)情境，讓學(xué)生的思維從感性認(rèn)識提升到理性理解.

例2 如圖4所示，某海灣的半島上有一個停機(jī)坪，若跑道AB的長度是4.5千米，海岸線l（將海岸線視為直線）與跑道AB所在的直線形成60°的夾角，已知點(diǎn)B為跑道AB與海岸線距離最近的點(diǎn)，點(diǎn)B與海岸線的距離BC的長度為4千米，且點(diǎn)D是海灣一側(cè)海岸線CT上的一點(diǎn). 假設(shè)CD=x千米，點(diǎn)D對跑道AB的視角是θ.

問題：（1）將tanθ表示為x的函數(shù)；

（2）若θ取最大值，則點(diǎn)D的位置是什么？

分析：（1）觀察圖4，可知θ=∠ADC-∠BDC，為求tanθ的值，可從tan∠ADC與tan∠BDC進(jìn)行分析. 顯然，tan∠BDC=，接下來就是求tan∠ADC的值. 作AE⊥CD，E為垂足，不難發(fā)現(xiàn)，隨著x的取值變化，點(diǎn)E的位置會發(fā)生變化，點(diǎn)E的位置既可能位于線段CD上，也可能位于線段CD外（見圖5），且∠ADC存在銳角或鈍角兩種情況. 因此，此處需要進(jìn)行分類討論.

作AF⊥CB與CB的延長線相交于點(diǎn)F，根據(jù)題意，可得AF=，此為分類討論的分界點(diǎn). 通過先分后合，可得tanθ=（x>0）.

（2）求最大值的問題，可從以下兩種方法出發(fā)：第一種，因?yàn)榉肿訛橐淮问剑帜笧槎问剑虼丝蓪⒎肿又械摹皒+4”視為一個整體，將分子、分母同時除以“x+4”，而后通過基本不等式求解；第二種，通過導(dǎo)數(shù)法獲得最大值. 最終不難獲得：位于海灣一側(cè)的海岸線CT上與點(diǎn)C距離6千米的點(diǎn)D處，該跑道的視角最大.

對于學(xué)生而言，本題的教育價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于獲得本題的結(jié)論，更重要的是學(xué)生的思維完整地經(jīng)歷了從生活實(shí)際抽象到數(shù)學(xué)問題并順利解決問題的過程. 這種思維經(jīng)驗(yàn)無法通過教師的說教而獲得，必須通過學(xué)生的親身體驗(yàn)與積累而來，學(xué)生的思考能力也隨著思維的發(fā)展而發(fā)展，直至形成用數(shù)學(xué)思維思考世界的能力.

學(xué)生掌握用數(shù)學(xué)思維思考世界的能力，從本質(zhì)上來說，就是能夠精確地計算，定量地分析現(xiàn)實(shí)世界，并通過符號化或幾何直觀等具體抽象問題的共同特征，探索推導(dǎo)出解決一般問題的途徑. 學(xué)生一旦掌握了這種能力，則能在數(shù)據(jù)搜集、整理與分析中綜合判斷生活問題，為更好地推動社會發(fā)展奠定基礎(chǔ).

當(dāng)然，實(shí)際教學(xué)中，教師對“數(shù)學(xué)思維”的理解更應(yīng)深刻、全面、合理一些. 古往今來，任何數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展都不是孤立的，各種知識的形成都經(jīng)歷了漫長的過程. 在此過程中，有很多知識的發(fā)展是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的. 正是這種互相關(guān)聯(lián)的存在，才讓數(shù)學(xué)學(xué)科成為一門系統(tǒng)性的學(xué)科，呈現(xiàn)在我們面前的是一種結(jié)構(gòu)化的形式.

鑒于此，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界時，應(yīng)對知識進(jìn)行縱橫雙向聯(lián)系與對比，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的角度發(fā)現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)性與系統(tǒng)性，從而建構(gòu)完整、條理清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 簡而言之，就是能高屋建瓴地認(rèn)識數(shù)學(xué)這門學(xué)科，能站到一定的高度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以凸顯每個知識的重要價值.

[?] 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界

數(shù)學(xué)語言包括文字語言、圖形語言與符號語言三大類，不論哪一類數(shù)學(xué)語言都具有簡潔性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、通用性等特征. 數(shù)學(xué)語言作為數(shù)學(xué)思維的載體，是用來進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的主要工具. 教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言交流自己的想法，鼓勵學(xué)生通過敘述法表達(dá)數(shù)學(xué)思維過程，并用合適的語言表達(dá)對問題的看法、疑惑或解決方法等. 這不僅是鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)語言表征能力的過程，也是促進(jìn)師生、生生之間進(jìn)行交流學(xué)習(xí)，獲得體驗(yàn)與感悟的過程.

新課標(biāo)明確提出，操作實(shí)踐、自主探究、合作交流為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本形式. 若要實(shí)現(xiàn)有效交流，需建立在對數(shù)學(xué)語言深刻理解與靈活應(yīng)用上.

例3 已知三個平面為兩兩相交的關(guān)系，據(jù)此可得三條線，求證：三條線相交于一點(diǎn)或互相平行.

分析：此為一道典型的文字語言命題，如何實(shí)現(xiàn)“文字語言—圖形語言—符號語言”的轉(zhuǎn)化呢？

三個平面兩兩相交，可轉(zhuǎn)化成“α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c”；待求結(jié)論可轉(zhuǎn)化為“求證：a，b，c相交于一點(diǎn)P或a∥b∥c”.

究竟該從什么角度進(jìn)行證明呢？

如圖6所示，因?yàn)棣痢搔?a，β∩γ=b，所以直線a，b?平面β，則a∩b=P或a∥b.

如果a∩b=P，那么P∈a，α∩β=a，所以P∈α. 同理，因?yàn)镻∈γ，所以P∈γ∩α=c，也就是a，b，c相交于點(diǎn)P.

如果a∥b，b?γ，a?γ，可得a∥γ. 又a?β，γ∩α=c，所以a∥c. 由此可確定a∥b∥c.

證明該命題，學(xué)生將文字語言成功地轉(zhuǎn)化為圖形語言與符號語言，反映了學(xué)生良好的表達(dá)能力與邏輯思維能力. 解題中，遇到用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的問題，一方面能讓學(xué)生擁有更多交流的機(jī)會，讓學(xué)生的邏輯思維變得更加清晰，語言表達(dá)得更加準(zhǔn)確，這對發(fā)展學(xué)生的理解能力具有直接影響；另一方面，可培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，當(dāng)學(xué)生再遇到生活實(shí)際問題時，能自然而然地引進(jìn)數(shù)學(xué)符號理解與表達(dá)問題，形成用符號程序解決問題的能力.

用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力，體現(xiàn)在從直觀形象向抽象概括的發(fā)展過程上，以及自然語言過渡到數(shù)學(xué)語言的過程，是靜態(tài)描述轉(zhuǎn)向動態(tài)描述的必經(jīng)之路. 經(jīng)過長期訓(xùn)練，學(xué)生能從多維度發(fā)展數(shù)學(xué)表達(dá)能力，提高交流效率，為更好地解決問題奠定基礎(chǔ).

蘇霍姆林斯基認(rèn)為：每個人的內(nèi)心深處都期望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者［3］. 用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，并用數(shù)學(xué)思維思考世界，從本質(zhì)上來說就是用數(shù)學(xué)語言完整地表達(dá)事物所處的狀態(tài)、形態(tài)、關(guān)系與過程，通過合理地判斷、運(yùn)算與推導(dǎo)等獲得結(jié)論，也就是將數(shù)學(xué)作為一種“工具”來研究生活現(xiàn)實(shí)問題的體現(xiàn).

參考文獻(xiàn)：

［1］? 史寧中. 試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（04）：1-16.

［2］? G·波利亞. 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)［M］. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學(xué)出版社，2006.

［3］? 蘇霍姆林斯基. 蘇霍姆林斯基的教育箴言［M］. 朱永新，譯. 北京：教育科學(xué)出版社，2017.