追因3的倍數特征，發展小學生符號意識

高博 李嶠

【摘要】本文從兩個方面入手，一是運用幾何直觀，幫助學生理解“2、5、3的倍數特征”背后的奧秘;二是讓學生嘗試運用符號推理，感受符號的概括性，培養符號意識。

【關鍵詞】小學數學;倍數特征;符號推理;數學思維

一、教學實踐

（一）激趣引入

師：判斷這些數是不是2的倍數，是不是5的倍數，是不是3的倍數。2、5的倍數有什么特征？3的倍數又有什么特征？（PPT出示：38、63、25、90）

生：個位上是0、2、4、6、8的數是2的倍數，個位上是0、5的數是5的倍數。各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

（二）引出疑惑

師：為什么判斷一個數是不是2、5的倍數，只用看個位數，而判斷一個數是不是3的倍數，卻要看各位上數的和？我們這節課就來研究一下這些問題。

（三）探究解密

1.探究為什么判斷一個數是不是2或5的倍數，只要看個位數

師：為了研究的方便，我們先從研究兩位數入手。老師給每個小組都發了一些小正方體表示數的學具紙，大家可以用它們來表示需要研究的數。

（PPT打出探究任務：用學具紙組成一個兩位數，觀察、思考、討論為什么判斷一個數是不是5的倍數，只用看個位數）

生：大家請看，我們組成的兩位數是32。我們發現，10是5的倍數，32由3個十和2個一組成。不管幾個十，都一定是5的倍數。所以這個數是不是5的倍數，其實就只用看個位上的數。32個位上是2，所以它不是5的倍數，而且我們還發現它除以5一定余2。

師：同學們，我們剛才嘗試后發現了是不是5的倍數只用看個位上的數。但是我們并沒有驗證所有的兩位數，有什么更好的方法能夠保證全部的兩位數都滿足呢？

生：用字母表達。

師：假如一個兩位數，十位上是a，個位上是b。這個兩位數怎么表示？

生1：ab。

生2：不對，ab表示的是a×b，我覺得應該是10a+b。

師：這個a、b可以代表什么數？

生1：任何數。

生2：不對。a、b只能是0～9的數。

生3：a是最高位，a不能表示0。

師：很好，通過大家的討論交流，我們明確了10a+b可以表示所有的兩位數。那誰利用10a+b的字母表達來說明一下為什么是不是5的倍數只用看個位上的數。

生：因為10是5的倍數，所以10a也一定是5的倍數。所以這個兩位數是不是5的倍數，只用看b，也就是個位上的數。

師：說得真好。那為什么判斷一個數是不是2的倍數，也只用看個位數呢？能不能也用這個方法研究一下，這次我們用3位數來研究。（學生小組討論）

生：任何一個三位數都可以表示成100a+10b+c，因為百位和十位上不管是幾，都一定是2的倍數。所以一個三位數是不是2的倍數，也只用看個位上的數。

2.探究為什么判斷一個數是不是3的倍數，要看各位上數的和

師：非常好，大家找到了2、5倍數特征背后的奧秘。接下來，最有挑戰性也最有趣的地方來了，為什么判斷一個數是不是3的倍數，要看各位上數的和？同樣的，小組利用學具紙去研究，為了研究的方便，我們先選擇兩位數來研究。

生：我們組成的兩位數是24，我們發現，24中的2代表2個十，它除以3商6余2，余的2加上個位上的4就等于6，除以2剛好整除，所以24是3的倍數。然后我們就想，十位上是幾，除以3就余幾，所以判斷一個數是不是3的倍數，就要把各位上的數加起來。

師：能不能結合學具紙再給大家解釋一下。

生：（在學具紙上圈正方體）每個十都可以拆成9+1，因為9是3的倍數，所以不管幾個9都已經是3的倍數了，所以只用看剩下的幾與個位上的數的和是不是3的倍數。

師：大家同意嗎？能不能用算式表示我們拆分的過程呢？我們試試看。（教師和學生一起推演，板書在黑板上）

師：看，無論幾個9都是3的倍數，所以我們只需要看剩下的兩個數的和，而剩下的兩個數正好就是十位和個位上的數的和。我們已經找到為什么這樣判斷3的倍數特征的奧秘了。那么，大家能夠用字母來表達嗎？試試兩位數和三位數吧。

生：因為9是3的倍數，所以a×9一定是3的倍數。所以這個三位數是不是3的倍數，就只需要看a+b，也就是把各位上的數加起來。因為99和9都是3的倍數，所以a×99 + b×9一定是3的倍數。所以這個三位數是不是3的倍數，就只需要看a+b+c，也就是把各位上的數加起來。

師：看來，用字母表達，能夠證明更一般的結論，這就是數學符號的威力。其實，不止兩位數、三位數，任意幾位數都可以用這個方法證明。

二、課后反思

當學生用正方體圖學具紙把數表示出來，很容易就能夠發現整十、整百數必然是2和5的倍數，而每個十都比3的3倍多1，每個百都比3的33倍多1……有了這樣的直觀感受，規律背后的道理已經呼之欲出。在此基礎上再引導學生思考、辨析、推演，學生就能夠逐步深刻理解為什么會有這樣的規律。

學生在五年級上冊已經學習了“用字母表示數”，具備了用符號表達規律的基礎。但用字母進行運算和推理，對于小學生來說，還是具有一定的難度，因此我們引導學生將其分為兩個步驟完成：一是符號表達，一是演繹推理。首先讓學生學會并理解用a×10+b這樣的形式可以表示任意兩位數，進而再在這個表達的基礎上，利用運算定律對式子進行恒等變形，由因數倍數的概念推理出結論。在這個過程中，學生經歷了符號表達與推理的全過程，初步理解了用符號推理得出的結論具有普遍性。

（責任編輯：洪冬梅）