以形輔數 用形助算 借形促思

袁慧娟

【摘? ?要】數軸是小學數學中的一個重要教學工具，它具有簡潔、直觀、易操作等特點，通過厘清數軸在小學數學教材中的表現形式，提出以形輔數、用形助算、借形促思的教學策略，以促進學生理解數概念、提升運算能力、發展數學思維。

【關鍵詞】數軸;表現形式;應用策略

數軸“顯示了數的存在性及其內部結構”（弗賴登塔爾語）。用好數軸這一直觀教學工具，對于促進學生理解數概念、提升運算能力、發展數學思維等具有重要的作用。

一、數軸在教材中的表現形式

在數學中，數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線。在小學階段，數軸主要以兩種形式出現。

（一）顯性形式——數軸圖

雖然在各版本的小學數學教材中都沒有安排單獨的有關數軸的教學內容，但是出現了很多數軸的運用。大多數時候數軸是以顯性的形式，即標準的數軸形式出現的（如圖1），它有原點、正方向和單位長度，學生能夠看懂，并能利用它來解決很多數學問題。

（二）隱性形式——數尺圖

在學生數學學習的初始階段，數軸也會以類似于直尺的形式出現，就是通常所說的數尺（如圖2）。依托生活中的直尺，使數軸的原點、正方向和單位長度隱藏其中，這是數軸的隱性形式。隨著學生抽象能力的不斷提升，數尺逐漸轉變為數線，最后變成完整的數軸。

二、數軸在小學數學教學中的應用策略

正確認識了數軸的表現形式，教師可以結合小學數學知識的特點以及小學生的思維特點，在教學中恰當使用數軸，充分發揮數軸的應用價值。

（一）以形輔數：理解數的本質，培養學生數感

借助數軸滲透數形結合思想，可以使抽象的數學知識以學生容易接受的直觀形式呈現，加深學生對數概念的理解，培養學生的數感。

1.凸顯數的單位，理解內部關系

整數、小數等都是十進制數，在十進制系統中的數有其自身的內部關系。整數的計數單位依次是一、十、百、千、萬等，借助數軸可以幫助學生認識數的單位，理解數的意義。

【案例1】浙教版教材二年級下冊《1000與10000》練習

圖3呈現的是教材“練一練八”中的第2題。這兩題不但要讓學生數數，填數，而且要充分發揮數軸的優勢，促進學生理解數的意義。教師可以在學生數數、填數之后進一步引導學生對這兩題進行比較：為什么數軸上長度相同的線段表示的數的大小卻不一樣呢？學生通過觀察、比較，發現第（1）題是以百為單位一百一百地數的，第（2）題是以千為單位一千一千地數的，單位不一樣，同樣長度的數軸表示的數的大小也就不一樣，由此體會計數單位的重要性，并引申出小數的計數單位也是同樣的道理。

隨著學習的不斷深入，學生從計數轉向十進制結構來認識數的意義，這時數軸的直觀功能更能促進學生對數概念的理解。

【案例2】人教版教材四年級下冊《小數的意義和性質》

學生初學小數時，要求他們寫出0～1之間的一位小數，學生都沒有問題。如果進一步要求他們寫出0～0.1之間的小數，有的學生就會出現一定的困難。因此，教學時教師可以用動態演示的方式，把教材中的數軸（如圖4）放大，將1平均分成100份，也就是將0.1再平均分成10份，這樣就可以找到0.01，0.02，0.03……同理，學生還能找到三位小數、四位小數等，從而體會數軸的直觀功能。

2.不同形式表征，構建對應關系

學生對數的認識是從自然數開始的一個循序漸進的過程，分數、小數的產生使數系得到了進一步擴展。通過數軸可以幫助學生更加直觀、深入地建構對分數、小數的認識。數軸上的同一個點可以用不同的分數和小數表示，而它們又是等值的，由此溝通分數、小數之間的聯系。

【案例3】人教版教材五年級下冊《分數的基本性質》

下面哪些分數在直線上能用同一個點表示？把它們在直線上表示出來。

圖5呈現的是教材“練習十四”中的第5題。利用數軸，能讓學生直觀地認識到單位1相同，同一個點可以用不同單位的分數來表示，這些分數的大小相等。

3.感悟數系發展，完善認知結構

不管是整數（計數單位的累計），還是分數、小數（計數單位的均分），用的都是數軸的正半軸，而負數用的是數軸的負半軸。全體有理數和數軸上的點一一對應。

【案例4】浙教版教材四年級下冊《認識負數》

迪迪從校門口向東走了3米，強強從校門口向西走了3米，看看他們在什么位置。

圖6呈現的是教材中的例2。“向東路程”與“向西路程”是一對具有相反意義的量，把向東走3米，用“3”表示，這樣的數是正數;把向西走3米，用“-3”表示，這樣的數是負數。利用數軸這個直觀圖可以使學生進一步理解相反意義量的表示方法，理解正數和負數的分界點，即“0”的位置。以“0”為基準點，“-3”和“3”都和基準點“0”相差三格，“0”的左邊是負數，“0”的右邊是正數。

（二）用形助算：深化運算意義，提升運算能力

數的運算是數與代數領域的重要內容，培養學生的運算能力是小學數學教學的重要任務，教師可以借助數軸，以形助算，深化運算意義，提升學生的運算能力。

1.根據數軸方向，理解運算意義

數軸規定了正方向，這為學生感受數的大小、理解運算的意義提供了參照。教師在教學中可以利用數軸，結合語言表達，引導學生數學化地思考問題，理解加減乘除的意義。

【案例5】浙教版教材一年級上冊《加法與減法》

教師請學生在數軸上找到相應的加數，從起點開始往右數幾格就是加幾，11+5就是從11開始往右數5格，從起點開始往左數幾格就是減幾，18-6就是從18開始往左數6格（如圖7）。在利用數軸數數的過程中賦予數軸加法和減法的意義。

2.對接抽象和直觀，理解算理算法

計算教學強調理解算理，掌握算法。數軸可以使算理與算法之間建立直觀形象的聯系，從而提升學生數形結合的應用能力。

【案例6】人教版教材六年級上冊《分數乘法》

[25] × [47]可以怎么計算。

數軸可以幫助學生理解分數乘法的意義，依托算式與數軸的巧妙結合，學生很容易就理解了[25] × [47]就是求[25] 的[47]是多少。利用數軸，學生知道[15] ×[17] =[135]（如圖8-1），再引申到“[25] × [47]可以怎么計算”。從圖8-2中可以看出，小長方形含有8個[135]，大長方形含有35個[135]，小長方形面積是大長方形面積的[835]，所以[25] × [47]=[835]，這就幫助學生理解了分數乘法的意義。

3.創新使用數軸，優化計算方法

關于運算能力的表述之一就是“根據法則與運算律尋求合理簡潔的運算途徑”。在教學時，可以創新使用數軸，幫助學生理解簡便計算的意義，在算法多樣化中進行比較，以選擇更好的計算方法解決問題。

【案例7】浙教版教材二年級下冊《簡便計算》

聰聰領了198本借書證，強強領了96本借書證。兩人一共領了多少本？

96+198

=96+200-2

=294（本）

簡便計算的一個重要策略就是多加要減，多減要加，學生往往對此感到難以理解。教師可以通過“數軸”，幫助學生建立關聯，以更好地理解計算的過程（如圖9）。

（三）借形促思：體驗數學思想，提升問題解決能力

小學數學教學要重視數學思想方法的滲透。數軸中隱含著很多數學思想方法，包括對應、極限、函數等，在教學中可以結合數軸，滲透數學思想方法的學習。

1.利用對應關系，感悟對應思想

對應思想是一種常用的數學思想方法。整數、分數、小數或者是負數，都可以在數軸上找到一一對應的點，這種對應關系有助于學生找到不同數之間的關系。

【案例8】浙教版教材三年級下冊《認識小數（二）》

看圖填數，并比較大小。

為了讓學生更好地比較兩個數的大小，可以把兩個數在數軸上表示出來，這樣學生的思維就有了載體。如圖10，第一個數軸上A、B兩個數分別表示1.2和2.1，1.2<2.1，第二個數軸上A、B兩個數分別表示0.12和0.21，0.12<0.21。通過數軸比較兩個數的大小，就顯得更加清晰了。

2.觀察發展趨勢，感悟極限思想

極限思想是指從有限中認識無限的一種數學思想方法。小學生容易接受圖形中的極限思想，卻很難接受計算中的極限思想，利用數軸的直觀性可以很好地幫助學生認識和理解。

【案例9】人教版教材六年級上冊《數學廣角——數與形》

計算：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+…。

這是教材第107頁上的例2。通過觀察發現這些數的分子都是1，后一個分數的分母是前一個分數分母的2倍，這些分數可以用什么方法求和呢？有的學生通過不斷地相加，發現所得到的分數越來越接近1。這只是一個猜測，教師可以引導學生在數軸上進行驗證，并將這些數在數軸上一一對應寫出（如圖11），學生發現確實它的和越來越接近1。

3.發現變化規律，感悟函數思想

函數描述了兩個量在變化過程中的相互依存關系，在小學階段涉及函數思想的學習中，可以依托數軸找到其中的變與不變。

【案例10】浙教版教材一年級上冊《20以內進位加法（一）》

分別求出每種顏色的線的長度。

圖12呈現的是教材“練一練十一”中的第5題。教師先請學生通過數軸求出每條線段的長度，接著，教師對此題進行拓展，請學生有規律地寫出“和是14”的算式，5+9=6+8=7+7=8+6=9+5=14，找出在和不變的情況下，一個加數依次增加而另一個加數依次減少的變化規律。教師還可以請學生寫加法算式，橫線表示的5不變，豎線表示的數從0開始每增加1，那么所得到的和也增加1，由此感受函數思想。

數軸具有簡潔、直觀、易操作的特點，對于學生理解數概念、發展運算能力、感悟數學思想等發揮著積極的作用。在教學中要善于利用這一資源，促進學生理解知識、感悟思想、發展能力，為他們的后續學習打好基礎。

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（浙江省杭州市大學路小學? ?310009）