向更深處漫溯：學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考

王世彥

人們常說(shuō)，“數(shù)學(xué)是思維的體操”。數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和理性思維方面有著其他學(xué)科難以替代的作用。教數(shù)學(xué)要讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的方式理性思考”。回歸課堂，正如卷首語(yǔ)中吳正憲、武維民兩位老師說(shuō)的那樣，我們需堅(jiān)守兒童的認(rèn)知規(guī)律，堅(jiān)守?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生逐步了解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系、系統(tǒng)，理解數(shù)學(xué)核心概念與關(guān)鍵問(wèn)題，做到綱舉目張，觸類旁通。本期導(dǎo)讀從思想理念、學(xué)習(xí)路徑、教學(xué)范式三個(gè)視角對(duì)“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”進(jìn)行學(xué)習(xí)。

一、全局視野，深層分析，探討有益的思想理念

本期雜志中有4篇理念引領(lǐng)性的文章，值得我們關(guān)注和學(xué)習(xí)。

（一）關(guān)注前沿，立足學(xué)科素養(yǎng)

基于核心素養(yǎng)的“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”頒布在即，本刊副主編邢佳立對(duì)孫曉天教授進(jìn)行了一系列訪談。本期訪談可看作是上一期訪談內(nèi)容的延續(xù)。孫教授從課程目標(biāo)體系的完備性和獨(dú)立性兩個(gè)方面，對(duì)“三會(huì)”的提法作了深入淺出的解析。

“數(shù)學(xué)的眼光”是數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的要素之一。作為一種認(rèn)知能力，它需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步培養(yǎng)。郜舒竹、馮林兩位老師把“數(shù)學(xué)的眼光”與視覺(jué)感知和推理聯(lián)系起來(lái)，比較正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形面積之間的關(guān)系。詳細(xì)例說(shuō)了視覺(jué)感知和推理過(guò)程，從具體、狹義的角度闡述了“數(shù)學(xué)的眼光”。視覺(jué)感知和推理更偏向于“質(zhì)性”的感知和推理，強(qiáng)調(diào)“看”的過(guò)程和“看出”結(jié)果。只有讓學(xué)生經(jīng)歷“看+想+做”的全過(guò)程，才能將培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”的目標(biāo)真正落實(shí)到學(xué)習(xí)活動(dòng)中。

（二）加深理解，關(guān)注問(wèn)題解決

誠(chéng)然，遵循事物發(fā)展的規(guī)律，數(shù)學(xué)教學(xué)研究有其一脈相承性。“問(wèn)題提出”和“問(wèn)題解決”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。鄭毓信教授對(duì)“問(wèn)題提出”與“問(wèn)題解決”的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行了分析。他提出了“問(wèn)題引領(lǐng)”這一概念，主張教師應(yīng)以適當(dāng)?shù)奶釂?wèn)引導(dǎo)學(xué)生深入地進(jìn)行思考，從而讓思維達(dá)到一定深度，提升學(xué)生提出問(wèn)題的能力。姚一玲、賈隨軍兩位老師則基于第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)中關(guān)于此類問(wèn)題的研究，從四個(gè)方面為讀者梳理“問(wèn)題提出”與“問(wèn)題解決”國(guó)際研究的進(jìn)展和趨勢(shì)，讓我們了解當(dāng)下關(guān)于問(wèn)題提出和問(wèn)題解決的研究現(xiàn)狀以及未來(lái)亟須研究的問(wèn)題。

值得一提的是，幾位老師都不約而同地提到了這樣一點(diǎn)：中國(guó)數(shù)學(xué)教育經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，已與世界數(shù)學(xué)教育越來(lái)越接軌，且有了本國(guó)特色的研究與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。作為當(dāng)代數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)“放眼世界，立足本土”，使國(guó)際研究與國(guó)內(nèi)經(jīng)驗(yàn)達(dá)成互補(bǔ)和整合。

二、置身課堂，深入思考，構(gòu)建有效的學(xué)習(xí)路徑

本期雜志中還刊登了幾篇有關(guān)學(xué)習(xí)路徑的文章。

（一）單元視角，著眼整體聯(lián)系

單元整體教學(xué)使“課程視角”“學(xué)生立場(chǎng)”被賦予新的意義。胡曉敏老師在《大概念導(dǎo)向下的單元學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)路徑》一文中，探索如何以單元大概念為核心，設(shè)計(jì)整個(gè)單元學(xué)習(xí)任務(wù)。胡老師提出，應(yīng)以“大概念邏輯”重組“學(xué)習(xí)內(nèi)容”，以“預(yù)期結(jié)果”統(tǒng)領(lǐng)“課時(shí)目標(biāo)”，從“基本問(wèn)題”演化“學(xué)習(xí)問(wèn)題”，從而形成有效的學(xué)習(xí)路徑。同是學(xué)習(xí)路徑研究，白常平、章勤瓊和羅嬌嫦三位老師則基于對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的分析，提出單元整體教學(xué)的思考框架。他們以“平行四邊形和梯形”單元教學(xué)為例，介紹了“分析對(duì)比教材、剖析概念本質(zhì)，深入理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo);通過(guò)問(wèn)卷前測(cè)，確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)和認(rèn)知難點(diǎn);分析學(xué)習(xí)路徑，設(shè)計(jì)、實(shí)施單元學(xué)習(xí)任務(wù)”的過(guò)程。兩篇文章都著眼整體，突出聯(lián)系，通過(guò)構(gòu)建有效路徑，整體推動(dòng)單元學(xué)習(xí)進(jìn)程。

袁曉萍老師的《單元作業(yè)整合：為學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造力提供時(shí)間與空間》一文，為我們展示了單元結(jié)構(gòu)化形態(tài)下構(gòu)建作業(yè)體系的范例。作業(yè)研究是“雙減”背景下的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，袁老師提出從課時(shí)作業(yè)視角轉(zhuǎn)向整體單元視角，加強(qiáng)單元學(xué)習(xí)的整體聯(lián)系，便于控制作業(yè)數(shù)量，提升作業(yè)品質(zhì)。她以“圓柱與圓錐”單元為例，首先整體架構(gòu)了單元長(zhǎng)、短作業(yè)模塊，為學(xué)生設(shè)計(jì)了“立體玩家”的角色，以板塊式整體推進(jìn)。袁老師還具體闡述了短作業(yè)的改造技術(shù)和長(zhǎng)作業(yè)的設(shè)計(jì)類型，提出教師要對(duì)課本、作業(yè)本中的作業(yè)進(jìn)行研判，通過(guò)刪減修改、整合重組、生發(fā)延展等方式，活化現(xiàn)有的題例資源。

單元視角下的教學(xué)研究，切實(shí)解決了學(xué)習(xí)缺乏整體性、知識(shí)之間缺乏關(guān)聯(lián)性等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，使教師在教學(xué)中直面學(xué)情，精準(zhǔn)定位教學(xué)起點(diǎn);倡導(dǎo)結(jié)構(gòu)教學(xué)，深入貫通本質(zhì)聯(lián)系;關(guān)注長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，有效鏈接素養(yǎng)體系。

（二）數(shù)學(xué)推理，著實(shí)關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋世界的思考方式，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視思維能力的培養(yǎng)。“本期話題”圍繞著“數(shù)學(xué)推理”意識(shí)的培養(yǎng)，展示了南欲曉老師帶領(lǐng)的研究團(tuán)隊(duì)，在培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)中的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)持續(xù)性的話題。教師只有清晰地了解推理的相關(guān)知識(shí)，理解在小學(xué)階段的教學(xué)中滲透推理能力培養(yǎng)的意義和方法，才能在教學(xué)中重視與學(xué)生一起經(jīng)歷推理的過(guò)程，讓他們學(xué)會(huì)表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考，從“推理意識(shí)”逐漸向“推理能力”發(fā)展。

（三）精準(zhǔn)教學(xué)，著力實(shí)證研究

在日常教學(xué)中，有時(shí)教師想當(dāng)然的做法，會(huì)碰壁于真實(shí)的課堂。教師應(yīng)利用前測(cè)，通過(guò)分析測(cè)試，找準(zhǔn)教學(xué)的起點(diǎn)、難點(diǎn)，使教學(xué)能因地制宜、因材施教。陳銀、邵虹兩位老師在《基于前置? ?審辯說(shuō)理? ?揭示本質(zhì)——“三角形的三邊關(guān)系”案例分析》一文中，借助于前測(cè)數(shù)據(jù)，暴露學(xué)生真實(shí)的思維狀態(tài)，課堂上讓學(xué)生通過(guò)多次審辯說(shuō)理，凸顯概念理解過(guò)程。陸建英老師在《換一種路徑? ?成就一片精彩——“平行與垂直”教學(xué)實(shí)踐》一文中，也是先通過(guò)前測(cè)把脈學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，再展開(kāi)教學(xué)，讓學(xué)生在辨析中完成概念的認(rèn)知。這類教學(xué)范例具有普適性，在真實(shí)掌握學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)后展開(kāi)精準(zhǔn)教學(xué)，成效明顯。

當(dāng)下，實(shí)證教學(xué)也越來(lái)越被一線教師重視。本期雜志中有兩篇關(guān)于實(shí)證研究的文章，分別是《一至三年級(jí)學(xué)生符號(hào)意識(shí)特點(diǎn)的縱向調(diào)查研究》和《學(xué)生原有知識(shí)水平與錯(cuò)題練習(xí)方式對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的交互影響》。實(shí)證研究使教學(xué)中的破疑解難更為精準(zhǔn)。同時(shí)，此類文章也對(duì)一線教師展開(kāi)實(shí)證研究具有借鑒意義。

三、學(xué)生立場(chǎng)，學(xué)習(xí)深度發(fā)生，探索有意義的教學(xué)范式

作為“思維的科學(xué)”，數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。基于學(xué)生立場(chǎng)，探索有意義的教學(xué)范式，能讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

（一）經(jīng)驗(yàn)—經(jīng)歷—內(nèi)化，喚醒生長(zhǎng)力，培育思想方法

經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的原點(diǎn)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的生長(zhǎng)點(diǎn)。本期“課堂新探”欄目中有不少關(guān)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成的文章。曹冠軍老師在《聚焦問(wèn)題解決過(guò)程? ?指向數(shù)學(xué)能力發(fā)展——“四自評(píng)價(jià)”實(shí)踐研究》一文中，組織學(xué)生經(jīng)歷自理、自探、自省、自悟的“四自評(píng)價(jià)”學(xué)習(xí)過(guò)程，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。趙銷燕老師在《關(guān)注模型建構(gòu)? ?凸顯深度學(xué)習(xí)——以“歸一問(wèn)題、歸總問(wèn)題”的教學(xué)為例》一文中，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，感悟模型思想。王燕老師在《積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)? ?感悟數(shù)學(xué)思想——一年級(jí)綜合實(shí)踐課〈擺一擺，想一想〉的教學(xué)與思考》一文中，以“神奇的珠子”為載體，首先通過(guò)不斷變化的“擺數(shù)”過(guò)程，幫助學(xué)生內(nèi)化有序思想，接著通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解“位值制”和“十進(jìn)制”，最后通過(guò)數(shù)與形的溝通，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)結(jié)合思想。

（二）探究—感悟—建構(gòu)，提升思考力，學(xué)會(huì)自主建構(gòu)

用符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和心理發(fā)展規(guī)律的方式進(jìn)行教學(xué)，可喚醒學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望，激活學(xué)生的思考力。本期“備課之窗·教學(xué)小問(wèn)”中的幾篇文章，就是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究，讓學(xué)生在對(duì)比中感悟，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。于瑞云老師在《怎樣畫(huà)一個(gè)相等的角》一文中，讓學(xué)生探究如何用直尺和圓規(guī)畫(huà)一個(gè)與已知角相等的角。這個(gè)具有開(kāi)放性的問(wèn)題充分激發(fā)了學(xué)生的自主思考能力。沈強(qiáng)老師在《怎么做能讓百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)更具統(tǒng)計(jì)味》一文中，引導(dǎo)學(xué)生在猜測(cè)思考、深度思辨、對(duì)比分析的過(guò)程中不斷挖掘百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，完成概念的意義建構(gòu)。郟宣廣老師在《怎樣厘清分?jǐn)?shù)中的“量”與“率”》一文中，通過(guò)意義回顧、動(dòng)手操作、對(duì)比提升和解決問(wèn)題等教學(xué)過(guò)程，幫助學(xué)生充分感悟量與率的異同與聯(lián)系，自主建構(gòu)完整的分?jǐn)?shù)概念。與此文研究?jī)?nèi)容相同的文章還有李國(guó)良老師的《基于量感? ?精準(zhǔn)施策——對(duì)“量”分?jǐn)?shù)的教學(xué)實(shí)踐與思考》，讀者可以對(duì)比著進(jìn)行閱讀，各取所長(zhǎng)。

研精覃思，行遠(yuǎn)自邇，從名家的解讀中通透，從專家的實(shí)例中領(lǐng)悟，從自身的突破中生長(zhǎng)。讓我們共同學(xué)習(xí)，成就自己的專業(yè)，用心培植兒童的數(shù)學(xué)思考，一起成就讓學(xué)生有念想的好課堂。

（浙江省寧波市鎮(zhèn)海蛟川雙語(yǔ)小學(xué)? ?315201）