基于學習路徑分析的“混合運算”單元整體教學

滕艷艷 章勤瓊 厲夢妮

【摘? ?要】基于學習路徑分析，對“混合運算”單元進行整體教學的思考，確定本單元核心目標為理解小括號的含義并掌握混合算式的運算順序。依據學生學習基礎，確定本單元學習路徑：（1）利用小括號列混合算式，先計算的加括號。（2）脫式計算，思考哪些括號可以去掉。（3）對比辨析，真正掌握混合算式的運算順序。根據學習路徑對單元教學進行整體設計，以更好地促進學生對混合運算含義的理解。

【關鍵詞】學習路徑;單元整體教學;混合運算;小括號;運算順序

混合運算是小學階段“數與代數”領域的重要內容之一，其本質是在講述兩個或兩個以上的故事時，用帶小括號的混合算式解決問題[1]。在實際教學中，有些教師比較注重混合運算順序的教學，強化訓練學生靈活運用小括號的能力，而對于小括號的含義，即先解決的問題要加上小括號這件事情含糊其詞。混合運算的學習中應關注哪些本質內涵？設計怎樣的學習任務能幫助學生更好地理解其本質？從基于學習路徑分析的單元整體教學思考框架出發[2]，對本單元的教學進行整體思考。

一、理解單元學習目標

（一）單元內容概述

“混合運算”單元一般設置在二年級下冊進行教學。以北師大版和人教版教材為例，兩個版本的教學目標定位如下。

人教版：讓學生正確理解和掌握含有兩級運算的混合運算順序;在實際情境中經歷解決問題的過程，逐步學會列綜合算式解決需要兩步計算才能解決的問題;能正確按照運算順序進行脫式計算。

北師大版：在解決現實問題中經歷抽象出混合算式的過程，理解混合算式的意義和運算順序，并能正確按照運算順序進行脫式計算;會用分步算式或綜合算式解決問題;體會“先乘除后加減”的合理性以及小括號在混合運算中的作用，掌握混合算式的運算順序。

對比兩個版本教材的學習目標，可以看到內容要求上的共性：理解混合算式的意義;能進行脫式計算;掌握混合算式的運算順序;列混合算式時靈活運用括號。

（二）確定核心目標

在混合運算中出現的情況可能是大故事包含小故事，也可能是幾個并列的故事。在原本的意義上，這些故事應當分別講述，如果希望用一個式子表達大故事包含小故事，就形成了混合運算。用小括號表示大故事包含的小故事，用加號表示并列的故事。為保證混合運算的計算結果與分別計算的結果保持一致，就必須學習新的運算順序。因為學生靈活運用小括號列混合算式需要以新的運算順序為基礎，所以確定本單元的核心目標是理解小括號的含義并掌握混合算式的運算順序。

（三）核心目標具體化

1.理解小括號的含義

“數學中有四種括號，分別是圓括號（小括號）、方括號、花括號和線括號。括號的使用有一些講究，例如，5a-{3a-[（a-b）c+2ac-bc]}，這些括號不能省略，否則就會亂套。但在某些不必計較運算順序的數學式子里，括號是可以省略的，如（ab）+c可以寫成ab+c。”[3]可見，關于小括號，學生需要理解的是在混合運算中，先算的部分用小括號來表示。而根據運算順序去掉的括號，學生可以自主選擇去或者不去。

2.掌握混合算式的運算順序

在混合運算中，關于運算順序有兩個法則：有括號，先計算括號里的;沒有括號，先乘除后加減。為什么要規定這樣的運算順序呢？首先，在生活中應用比較多。如“去菜場買了2捆青菜，每捆1元;買了3斤魚，每斤5元。一共要付多少錢”，先算每樣物品的錢，再加起來求付出的錢的總數，這樣計算比較簡便。如果規定“先加減后乘除”的話，在很多計算中都必須使用小括號，為了減少使用括號的麻煩，還是規定“先乘除”比較好。其次，從運算效率上來看，乘除比加減快捷，為了達到在計算上迅速、方便的目的，人們就規定了“先乘除后加減”。

因此，混合算式運算順序的具體內涵是：通過列混合算式的過程，體會先乘除后加減的規定可以使算式更加簡潔。在解決問題中能根據新的運算順序列出混合算式并正確進行計算。

二、確定學習起點

為了解學生的學習起點，對三年級270名學生的混合運算掌握水平進行前測。基于核心目標具體化的分析設計相應的評價任務，結合學生的答題情況對其掌握水平進行統計、分析、層次劃分，構建了混合運算掌握水平表現性評價框架（如表1）。

前測任務、設計意圖以及對應水平層次如表2所示。

每份前測單的答題情況能清楚地表明該學生處于哪個水平層次。口算部分中所有學生都知道從左往右算，有78%的學生能辨析出二級運算要先乘除后加減。解決問題部分中學生的水平層次劃分（水平2～4）具體標準如下：列出的混合算式是50-3×8和50-20÷5，沒有考慮到運算順序和事情發展順序的一致性為水平2;若列混合算式時都加上了括號屬于水平3;若能根據從左往右的運算順序靈活使用括號為水平4。

對前測數據進行統計分析（如圖1），有接近36%的學生處于水平0和水平1的層次，即列混合算式有困難。如果讓學生在實際情境中經歷列混合算式的過程，那么這些學生要在一節課內既學習如何列混合算式，又學習新的運算規定，還要能運用新的運算規定靈活使用括號，難度偏大。因此，能利用已有知識分析數量關系，列出分步算式是學生的學習起點，而能在考慮新的運算順序的情況下將分步算式合并成混合算式是學生學習的重難點。

三、分析學習路徑

基于以上分析，對本單元的學習路徑做了相應的調整與優化。

首先，創設實際情境，讓學生初步學會借助直觀圖等方式分析、表示數量關系，列出分步算式，經歷在實際情境中抽象出混合算式的過程，并運用小括號保證先算。其次，掌握兩級混合算式脫式計算的方法，并在實際情境中將脫式計算的過程與分步運算的過程進行一一對應，感受解決問題策略的多樣性，培養有條理地敘述自己思考過程的能力。再次，明確“先乘除后加減”的規則，讓學生經歷二級混合運算去括號的過程，體會運算規定的合理性，使學生正確理解和掌握含有兩級運算的混合算式的運算順序，從而培養其在解決問題時靈活運用括號的能力。最后，進行同級混合運算和二級混合運算順序的對比辨析，使學生能真正地靈活運用括號列混合算式。

四、單元整體教學思考

以人教版教材為基礎，在保證5課時教學時長不變的情況下調整教學內容。具體教學目標為：以“畫圖”為輔助，從“明確數量關系”到“列混合算式”，培養抽象能力;以“檢驗”為手段，從“不一致”到“一致”，培養反思意識;以“去括號”為契機，從“外化規定”到“內化規定”，感受數學是講道理的;以“說故事”為載體，從“式”到“故事”、從“圖”到“故事”，培養應用意識。每課時的教學內容和教學目標如表3所示。

參考文獻：

[1]史寧中.基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]章勤瓊，陳錫成.基于學習路徑分析的小學數學單元整體教學思考框架[J].小學教學（數學版），2021（6）：13–16.

[3]徐品方.數學符號史[M].北京：科學出版社，2006.

（1.浙江省溫州市甌海區實驗小學集團學校? ?325035? ?2.福建師范大學教育學院? ?350007）