給初中數學單元教學的幾點建議

摘? 要：結合市級評優課的案例，從內容整合、活動銜接、難點突破和教材使用四個方面給單元教學的設計與實施提出建議，供其他單元教學設計與實施參考.

關鍵詞：初中數學;單元教學;教學建議

在一次市級青年教師優秀課評比活動中，以人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）八年級下冊“19.1 函數（第1課時）”作為比賽課題，并提前兩周公布，在本次比賽的通知中還特別提醒：本節課不是教材中的第1課時，而是單元教學課，需要對全節內容進行整體建構. 這給教師的教學設計留出了很大空間，在將近兩周的準備后，很多教師呈現出的課堂別具一格，引人深思. 現結合本次比賽的部分案例，給單元教學的設計與實施提幾點建議，供大家參考.

一、內容整合要適度

單元教學是基于整體視角的一個單元（一章或一節，下同）的多課時教學. 筆者以為，單元教學的設計，首先應梳理出單元中的知識點，明確每一個知識點的地位及它們之間的相互關系，然后根據“有利于學生建構單元知識網絡”的原則對知識點進行目標分解和整合重組，形成有利于知識點的遞進生長的教學體系，最后根據實際需要的課時進行內容分割，設計出適合學生的課時教案并付諸實施. 顯然，單元教學指向的是知識網絡的整體建構與逐步完善，單元首課時教學應建構單元的知識框架，后面各課時則是將單元知識點逐一嵌入，使得知識架構日益豐盈. 因此，單元教學首課時要突出“單元知識網絡架構”這一重點，而不必在知識點認知的個數、深度上做太多文章.

1. 教學設想

在教材中，“19.1 函數（第1課時）”不僅是第十九章“一次函數”的第1課時，還是學段函數版塊的第1課時. 因而，這節課不僅要完成第十九章“一次函數”的知識網絡建構，還要建構出整個函數版塊的知識網絡. 筆者以為，首課時如果能建構出單元（板塊）的知識網絡，并將常量、變量、自變量、函數及函數的三種表示方法等知識嵌入其中，就應該是成功的了.

2. 典型案例

案例1：圖1是Y老師的全課板書，它是Y老師以課時知識為主體建構出的函數知識框架.

課上，Y老師將“19.1.1 變量與函數”的知識點和“19.1.2 函數的圖象”中的“函數的三種表示方法”整合在一起，讓學生經歷了“實際問題—常量與變量—函數定義—函數表示方法”的探索歷程，最后還引導學生類比方程、不等式的認知經驗猜想函數版塊的知識點，形成圖1.

案例2：在一節45分鐘的課上，Q老師“完成”了“19.1 函數”全部內容的教學. 課上，他通過將互動交流、合作探索的時間壓縮，將“19.1.1 變量與函數”“19.1.2 函數的圖象”的知識點漸次呈現，實現小節內容的全覆蓋. 首先，引導學生結合具體情境認識常量和變量，再重點探索了兩個變量之間的函數關系;其次，介紹了函數的三種表示方法和函數圖象的畫法;最后，還不忘將例4中的分段函數也一并做了介紹. 細看全課，Q老師一直在“趕”進度，對學生會不會、懂不懂關心甚少. 當“19.1 函數”的所有知識都如期“塞”進45分鐘的課堂后，他才如釋重負，十分坦然地走出課堂.

3. 對比分析

對比兩則案例和筆者的教學設想，不難發現，單元教學的課時內容整合適當與否，將會直接影響學生的學習成效.

案例1中，Y老師用一節課的時間完成了圖1的建構. 圖1中，不僅有本節課所學知識點，還預埋了后續函數知識的“生長點”. 這樣的教學設計與實施與學生的認知發展規律是契合的，教師在較好地完成教材給定的首課時任務的同時，還將原本零散分布的函數知識點在首節課上就聚在了一起，形成了整個單元的知識網絡，為接下來每一課時的教學埋下伏筆. 而案例2中，Q老師顯然是沒有真正理解單元教學首課時的任務指向，誤以為要將“19.1 函數”的所有教學內容都在一節課內教完. 我們都知道，教材對“19.1 函數”給出了四課時的教學時間，Q老師想在一節課就教完，完成所有任務本身就很難，達成教材編者所預期的成效就更難了. 其在課堂中表現出來的“無視學情發展，盲目推進教學”，實為無奈之舉.

單元教學，不是讓學生吃“壓縮餅干”，不是要學生一節課就學完兩節課、三節課，甚至是一個單元的內容. 課時還是那些課時，不是說實施單元教學，課時就變少了，就需要趕進度了. 傳統教學，學生“先見樹木（單一知識），再見森林（知識網絡）”，單元教學追求的是讓學生“先見森林，再見樹木”，是讓學生在“森林”中認識“樹木”. 所以，單元教學要將課程內容按照學段目標進行整體分解，同一個知識點在不同的課上達成的目標應該是不同的. 以“函數圖象”為例，單元教學第1課時只需要“了解”，而到了第2課時就應是“會畫”了.

總之，單元教學的課時教學內容整合要適度，既不是教材內容的直接搬用，也不是多課時知識的簡單疊加，而是要根據課時目標進行詳略得當、重點突出的組合設計，要確保呈現在課時內的教學內容學生能夠學得完、學得透、學得輕松.

二、活動銜接要緊湊

單元教學設計的課時活動不應是單列的、分割的，而應是彼此關聯，串在一起的. 一般情況下，前一個活動將服務于后一個活動，為其提供知識、技能、經驗等方面的基礎. 顯然，如果前一個活動不充分、不到位，就很難起到“基礎”作用，后一個活動便會“冷場”，甚至無法展開.

單元教學的課時內容很多時候是教師依據課程標準、教材整合而來的，與教材給定的教學流程并不完全一致. 因而，教學流程也就不能照搬到課堂上來了. 為了達成單元教學的課時目標，教師應結合確定的教學內容重新編排師生課堂活動. 豐富而緊湊的教學內容要求我們所設計的探索活動也應是緊湊的，主要體現在知識的螺旋上升和探索的循序漸進上. 一方面，活動設計應順應數學內在的邏輯體系，知識出現的順序應符合數學的發展規律;另一方面，我們設計的活動還應符合學生的認知發展規律，在引導學生“跳一跳”的同時，還應讓他們能夠體驗到“摘到桃”的成就感. 為此，在教學設計時，我們應明確哪些活動先進行，哪些活動后進行，活動間用什么“抓手”（師生活動或陳述文本）過渡.

1. 典型案例

案例3：（續案例1）Y老師按照“實際問題—常量與變量—函數定義—函數表示方法”的流程推進教學. 在實際問題中抽象常量和變量時，他給出三個問題讓學生對所給實例進行解讀：（1）在這個問題中有幾個量？（2）它們的值都發生變化嗎？（3）值發生變化的量有幾個？

在抽象出常量和變量的定義后，Y老師明確“接下來，我們將重點研究兩個變量之間的關系”，并讓學生對變量多輪次取值計算，探索發現“在上述變化過程中，一個變量取定一個值時，另一個變量的值是怎樣的”，從而歸納得出函數的定義.

課堂小結時，Y老師提出：根據你學習一元一次方程、二元一次方程（組）及一元一次不等式（組）的經驗，猜一猜，函數還會學習哪些知識？在學生類比前面所學，給出“分類”“性質”“判定”“應用”等結論后，教師隨即完成圖1.

案例4：在歸納得到函數的定義后，M老師用教材“習題19.1”第7題進行了“概念辨析”.

題目：下列各曲線（如圖2）中哪些表示y是x的函數？

面對M老師給出的四個圖象，大多數學生都不知所措. M老師見狀，趕緊補講了坐標軸、圖象的含義，并結合圖象上的點逐一說明y與x之間是否為函數關系.

2. 案例對比分析

與案例4相比，案例3（實際上就是案例1）中的Y老師對教學活動的銜接設計顯然要細致很多. 為了加深學生對常量和變量的認知，教師緊扣三個問題進行實例追問;為了抽象函數定義，教師用取值計算的方式強化了學生對“在一個變化過程中，一個變量取定一個值時，另一個變量的值隨之確定”的感悟;為了實現全課（乃至全章）的知識網絡建構，教師以“猜一猜，函數還會學習哪些知識”開放提問，引導學生類比方程（組）、不等式（組）等的學習歷程呈現函數認知的多個方向. 顯然，Y老師不僅注重了全課框架的搭建，還注重了課中各個活動之間的銜接設計，不管是圍繞多個實例的題組追問，還是基于同一情境的計算歸納，抑或依托已有知識的開放提問，都能巧妙地將上下兩個活動精準對接，在發揮舊知價值的基礎上，很好地引出新知.

而案例4中，M老師的做法就欠妥了. 如果說，我們從實例中抽象函數定義，然后再利用實例來對新概念加以辨析，這還是較為適合的. 然而，該教師選擇了一個與學生剛剛積累的認知經驗差異很大的“圖象”來辨析概念，學生既無法調用剛剛積累的基本活動經驗，也不具備“曲線—圖象—點—x，y的值”的認知經驗，他們怎么可能將曲線與x，y的取值之間的關系理清楚，進而對“y是不是x的函數”做出準確的判定呢？筆者認為，這樣的活動設計，只關注到前后主題的外在相似性，而忽略了學情發展的延續性，教學進程不暢甚至脫節也就在所難免了.

三、難點突破要自然

教學難點指學生不易理解的知識，或不易掌握的技能、技巧. 幾乎在每一節數學課上，都有著這樣或那樣的教學難點，它們的存在將直接影響學生數學學習的成效. 突破教學難點，是每名一線初中數學教師都必須要面對的重要話題. 傳統課堂，教學內容單一，教學難點有限且直觀外顯，突破起來還是比較容易的. 而單元教學下的數學課，內容的重組和流程的再建，增加了知識點和知識鏈，不僅存在知識生成中的顯性難點，還可能會出現知識鏈接中的隱性難點，課堂教學的難點增多，突破難點的難度加大. 筆者以為，想要構建出自然、和諧的單元教學課堂，我們應在課前將顯性難點突破策略預設好，這樣課上才能抽出更多精力來應對教學過程中“生成”的新難點.

1. 典型案例

案例5：在歸納出變量和常量的定義后，為了讓學生充分體會到自變量取值與函數值之間的“單值對應”關系，W老師結合教材第71頁問題（1）（以下統稱“路程問題”）引導學生發現“在這個變化過程中，有兩個變量——時間t和路程s，當t = 1時，s有唯一確定的值60與其對應”，并將這段文本板書. 接下來，圍繞不同的情境，教師都是用上面的方式呈現學生的發現. 當教師投影出圖3中的氣溫變化圖后，畫出下表，并采用填表方式讓學生感知時間（t）和溫度（T）之間的單值對應關系，同時選擇表格中的一組數據按照剛剛的表述“套路”進行板書. 在黑板上，出現多條相同類型的板書后，教師引導學生分析這些文本的共同特征，并歸納：上面的每個問題中的兩個變量相互聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應（以下統稱“探索結論”）.

2. 案例分析

對函數定義中“單值對應”的體驗一直是函數起始教學的難點. 而如何突破這一難點，也是所有教師在“19.1 函數”的教學設計與實施時要重點關注的. 在這個問題上，W老師給出了一個很好的教學范例：他從“路程問題”出發，給出了探索結論的陳述范式：“在這個變化過程中，有兩個變量——時間t和路程s，當t = 1時，s有唯一確定的值60與其對應”，這與“探索結論”近乎一致. 而對夾在“路程問題”與“探索結論”之間的多個數學問題的探索，教師用與“路程問題”一致的范式陳述讓學生體驗其中的“單值對應”關系. 在面對圖3這樣的“異樣”實例時，W老師更是創造性地用“填表 + 范式陳述”的方式來幫助學生突破認知難點，這種基于已有的范式陳述經驗和填表經驗的整合而形成的體驗方式，極好地搭建了學生新、舊知識之間的橋梁，實現了學生認知的自然延續.

四、教材使用要適當

教材是教師教和學生學的重要工具. 數學教學，不管采取什么樣的教學方法，應用多少現代教育技術，都不應該離開教材. 教材不僅給了我們豐富的教學內容，還給出嚴謹的教學流程，在教學中占據核心地位. 單元教學，是對教材給定小節、單元或版塊教學內容、教學流程的重組教學，雖然沒有照搬教材的內容與流程，但它的設計與實施依然需要扎根教材，需要教師從教材中去獲取教學內容、選擇教學素材，并建構教學流程. 那么，在單元教學中，如何才能真正發揮教材的工具價值呢？筆者以為，理解教材最為關鍵. 只有理解了教材，才能確定適合的教學內容，才能選出合適的教學素材，才能編排出適合的教學流程. 也只有這樣，教師才具備補齊教材“短板”，進行學材再建構的底氣和動力.

然而，在實際教學中，卻有不少教師以“單元教學需要學材再建構”為由脫離教材設計教學，雖然也保證知識點與教材相同，但那些看似別具匠心的教學設計卻淡化了教材重點，弱化了核心探究，增加了教學難點，并沒有對學生的函數學習起到好的推動和促進作用. 常見情形如下.

1. 弱化教材應用，難點突破困難

在本次賽課中，有三位教師直接從一個情境快速抽象出了常量與變量的定義，并沒有像教材那樣基于情境的充分分析與感知下的抽象定義，而是僅僅基于“路程問題”即抽象出定義. 筆者以為，這樣的設計是十分不妥的. 我們先來看教材，為了歸納常量和變量，教材安排了四個問題讓學生思考，在這四個問題中，每一個問題都有一個與“s的值隨著t的值變化而變化嗎？”的追問. 教材如此設計，一方面，是對追問前的幾組單值對應關系的回應與總結;另一方面，為引出常量和變量的定義后進一步學習函數的定義做好鋪墊. 如果沒有這四個實例的分析與體驗，學生對“一個變量取定一個值，另一個變量有唯一確定的值與之對應”的感知一定是不充分的，接下來要順利突破“函數的定義”這一教學難點難度較大.

2. 棄用教材實例，誤導學生認知

在這次比賽中，還有兩位教師完全拋棄了教材給出的行程問題、工程問題、幾何問題等素材，運用自己獨創的情境，然后以“列表—解析式—圖象”的流程呈現變量之間的單值對應關系，進而抽象出函數定義. 這樣的情境創設看似很有新意，實則不然. 實際生活中并不是所有的函數關系都能同時用解析式法、圖象法和列表法這三種方法來表示的，如上面圖3中的氣溫T（℃）與時間t（時）之間的函數關系，就不適合用解析式法來表示. 教學過程中，教師反復用三種方法同步表示一個函數關系，就會讓學生產生錯覺：只要是函數，就能用三種方法表示！這樣的誤導對學生進一步學習函數顯然是不利的.

3. 盲目案例拓展，形成思維偏差

H老師得到函數的定義后，就教材第71頁的問題（3）進行了追問：r是S的函數嗎？學生產生了爭議，有的學生認為不是，有的學生認為是. 認為“不是”的學生給出的理由是：如果不是實際問題，當S取一個值的時候，r是S的平方根，應該有一正一負兩個值與之對應. 認為“是”的學生理由也很充分，他們認為：在這個問題中，當S取一個值的時候，r只能有一個值與S對應. 對于這個問題，從取值范圍來看，r和S是實際問題中的兩個量，應該是個非負數，S和r自然是一一對應的，歪打正著地驗證了“單值對應”. 而事實上，從純數學的角度來看，認為“r不是S的函數”的學生的理由是有一定的道理的. 然而，教學現場的混亂讓教師對自己提出的問題產生了懷疑，在課后交流時，該教師甚至一度認為自己的問題是錯的. 這樣的教材拓展，連教師自己都不能厘清其中的緣由，給教學增加了難度，干擾了學生的思維，延緩了教學的進度.

對初中數學而言，單元教學的每一課時指向的都是全單元知識網絡的建構與完善，這顯然與順著教材課時進行的傳統教學有很大差別. 落實單元教學，教師要具有整體觀和全局觀，要站在學生數學核心素養發展的高度審視單元教學內容，將學段教學目標合理分解到課時，從有利于學生建構知識網絡并基于知識網絡生長數學知識的角度設計課時教學，讓學生在看到“森林”的同時還能逐步見到“森林”中的“樹木”. 落實單元教學，要注意教學內容的整合要適度，在數學和學情發展“雙許可”的范圍內開展學材再建構;要重視實施活動的銜接設計，力求前后環節自然對接，利教助學;要重視教學難點突破策略的設計，多措并舉破解學生認知困局，助推學生素養的提升;要用好教材和配套用書，深入解讀教材的編寫意圖，有效整合教材給定的教學素材和教學流程，充分發揮教材的教學價值……在踐行單元教學的道路上，筆者也是同行者，本文結合一些課例片斷對單元教學提出了一些膚淺的建議，不當之處，敬請批評指正.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]印冬建. 在“變化過程”中談“變量與常量”：兼談八年級上冊“14.1.1變量”的教學[J]. 中小學數學（初中版），2012（7 / 8）：58-59.

[3]印冬建.“學材再建構”：重組學習資源，服務學生發展——以《直線、射線、線段》（第一課時）教學為例[J]. 教育研究與評論（中學教育教學版），2017（11）：29-35.

[4]印冬建. 教材“教學化”：基于教材，活用教材——以人教版初中數學教材為例[J]. 中學數學（初中版），2017（12）：30-36.