注重基礎·綜合應用·創新實踐

劉密貴

摘? 要：綜合與實踐是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動. 現結合《義務教育數學課程標準（2011年版）》的目標和內容要求，通過梳理2021年全國各地中考試卷中涉及“綜合與實踐”內容的代表性試題，對其按特點進行解法分析，列舉部分典型試題進行解題思路評析，最后展示部分試題的特色解法賞析，以期達到為中考備考和試題研究服務的目的.

關鍵詞：綜合與實踐;解題分析;中考數學

一、考點概述

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出，綜合與實踐是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動.“綜合與實踐”是實現積累數學活動經驗、培養學生應用意識和創新意識的重要和有效載體.“綜合與實踐”的基本目標是讓學生經歷數學學習的完整過程，體驗知識之間的內在聯系，并形成對數學整體性的認識;讓學生親歷實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程，綜合運用數學學科和跨學科知識與方法解決現實世界的真實問題，獲取一些研究問題的方法和經驗，發展學生的數學學科核心素養.

在近幾年的中考試題中，“綜合與實踐”專題是一道獨具魅力的風景線.“綜合與實踐”試題突出體現了如下特點.

1. 注重多種現實的“綜合”

本專題題材豐富，與學生的生活現實、數學現實、其他學科現實聯系緊密. 有的試題綜合“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概念”等分支，打通不同領域之間的合理聯系，如函數與方程的綜合、代數與幾何的綜合等. 有的試題以生活現實和其他學科現實中的問題為命題素材，構建學生熟悉而有探索價值的問題情境. 這是試題內容的綜合，為學生的實踐提供了良好的載體.

2. 注重“四基”的“綜合”

試題考查的不只是數學知識，更是學生綜合運用基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想解決問題的能力. 試題加強了對應用數學知識解決問題、運用數學思想和研究方法解決問題的考查. 一方面，體現了對學生綜合水平的要求;另一方面，突出體現了對數學學科的直觀想象與數學抽象、邏輯推理與數學運算、數學建模與數據分析這六個方面的核心素養的考查.

3. 注重學生的解題“實踐”

學生在解答試題的過程中，不斷經歷“自主發現和提出問題—分析和轉化問題—解決問題”的過程，這樣的實踐過程，一方面，能檢驗學生的綜合素養水平;另一方面，使學生深入理解數學知識的發生、發展過程，以及數學問題解決的方式、方法和經驗，并引領日常教學重視培育學生的綜合與實踐能力.

二、解題分析

對于“綜合與實踐”專題的試題，解題要把握以下幾點.

在數學現實類試題中，要注重挖掘基本結構（在復雜的圖形中分解基本結構——看多為少，在殘缺的圖形中補全基本結構——看無為有），不斷將新問題轉化為已解決的問題求解;要關注在遞進型問題中類比遷移解決問題;要靈活運用特殊與一般、強化與弱化、確定與變化等經驗轉化問題.

在生活現實類和其他學科現實類試題中，要注意通過閱讀材料弄清問題，從而把握問題的數學本質，將問題轉化為數學現實類問題.

1. 數學現實類之一：發掘基本結構

例1 （廣西·北部灣經濟區卷）【閱讀理解】

如圖1，l1∥l2，△ABC的面積與△DBC的面積相等嗎？為什么？

解：相等.

在△ABC和△DBC中，分別作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分別為點E，F.

所以∠AEF = ∠DFC = 90°.

所以AE∥DF.

因為l1∥l2，

所以四邊形AEFD是平行四邊形.

所以AE = DF.

又因為S△ABC =[12]BC·AE，S△DBC =[12]BC·DF，

所以S△ABC = S△DBC.

【類比探究】

如圖2，在正方形ABCD的右側作等腰△CDE，CE = DE，AD = 4，連接AE，求△ADE的面積.

解：過點E作EF⊥CD于點F，連接AF.

試將余下的求解步驟補充完整.

【拓展應用】

如圖3，在正方形ABCD的右側作正方形CEFG，點B，C，E在同一直線上，AD = 4，連接BD，BF，DF，直接寫出△BDF的面積.

解析：此題結構清晰明了，閱讀理解—類比探究—拓展應用，層層深入，漸次提升，意在考查學生是否能運用圖1中的基本結構解決問題.

以最后一道小題為例：基于解決前面兩道小題的經驗，學生應著眼于尋找“平行線”. 這條平行線一定經過△BDF的某個頂點，容易發現，連接CF，則CF∥BD，顯然△BDF的面積等于△BCD的面積，即正方形ABCD面積的一半.

需要指出，例1是指明基本結構，學生解題相對容易，例2則是隱藏基本結構，解題難度較大，對學生的綜合能力提出了更高的要求.

例2 （浙江·湖州卷）由沈康身教授所著，數學家吳文俊作序的《數學的魅力》一書中記載了這樣一個故事：如圖4，三姐妹為了平分一塊邊長為1的祖傳正方形地毯，先將地毯分割成七塊，再拼成三個小正方形（陰影部分）. 則圖中AB的長應是 ? ? ? ?.

解析：此題圖形復雜，關系隱蔽，需反復審視圖形，發掘基本結構.

基本結構1：大正方形面積為1，拼成三個全等的小正方形，根據總面積不變可以求得小正方形的邊長為[33].

基本結構2：如圖5，不妨找一個能夠把“1”和“[33]”集于一身的圖形作為突破口，如△CDE.

基本結構3：如圖5，不妨以△CDE為錨點，繼續向外擴張，容易發現△CDE ～ △DFE，從而可以求出DF的長為[22].

基本結構4：如圖5，立足△CDF，向目標AB靠近，由正方形對邊平行，可發現△CDF和△BAF是熟悉的X型相似，即△CDF ～ △BAF，BA的對應邊是CD，AF的對應邊是DF，顯然由[BACD=AFDF]，可求出AB的長為[2-1].

2. 數學現實類之二：理解新概念

例3 （江蘇·無錫卷）設P（x，y1），Q（x，y2）分別是函數C1，C2圖象上的點，當a ≤ x ≤ b時，總有

-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1恒成立，則稱函數C1，C2在a ≤ x ≤ b上是“逼近函數”，a ≤ x ≤ b為“逼近區間”. 則下列結論：

① 函數y = x - 5，y = 3x + 2在1 ≤ x ≤ 2上是“逼近函數”;

② 函數y = x - 5，y = x2 - 4x在3 ≤ x ≤ 4上是“逼近函數”;

③ 0 ≤ x ≤ 1是函數y = x2 - 1，y = 2x2 - x的“逼近區間”;

④ 2 ≤ x ≤ 3是函數y = x - 5，y = x2 - 4x的“逼近區間”.

其中，正確的有（ ? ）.

（A）②③ （B）①④

（C）①③ （D）②④

解析：推陳出新是事物發展的必然方向，命制數學試題也是如此. 此題的“逼近函數”即在逼近區間內，函數值的差的絕對值不大于1，只要把握住這個實質，就可以迅速判斷和排除.

以①③為例.

① y2 - y1 = 2x + 7，y2 - y1隨著x的增大而增大，在1 ≤ x ≤ 2上，當x = 1時，y2 - y1最小，最小值為9，9 > 1，故錯誤;

③ y2 - y1 = x2 - x + 1，在0 ≤ x ≤ 1上，當x =[12]時，y2 - y1的最小值為[34]，當x = 0或x = 1時，y2 - y1的最大值為1，即[34]≤ y2 - y1 ≤ 1，故正確.

此題答案為選項A.

3. 數學現實類之三：轉化問題

例4 （江蘇·南京卷）如圖6，正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙板. 在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是

（? ? ）.

解析：此題考查了學生的直觀想象水平，盡管直觀想象并非像概念、求解一樣可以通過教學解決，但只要通過恰當地轉化，仍有可能化復雜為簡單，輕巧地解決問題.

通過題目敘述，可以判斷影子的形狀是一個軸對稱的四邊形，如圖7，關鍵要判斷通過頂點A，C的光線在地面上的落點.

空間中想象難度高，就要想辦法轉化成平面問題. 如圖8，沿著直線DB的方向看，可以發現地面上的投影中，A′B′顯然比B′C′更長，因此此題顯然選擇選項D.

例5 （四川·成都卷）我們對一個三角形的頂點和邊都賦給一個特征值，并定義：從任意頂點出發，沿順時針或逆時針方向依次將頂點和邊的特征值相乘，再把三個乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉和或逆序旋轉和. 如圖9，ar + cq + bp是該三角形的順序旋轉和，ap + bq + cr是該三角形的逆序旋轉和.已知某三角形的特征值如圖10所示，若從1，2，3中任取一個數作為x，從1，2，3，4中任取一個數作為y，則對任意正整數z，此三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差都小于4的概率是 ? ? ? ? .

解析：這道填空題閱讀量較大，正文約60%的部分是定義新概念，隨機事件“對任意正整數z，此三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差都小于4”也比較復雜.

根據新概念，此三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差為（4x + 2z + 3y） - （3x + 2y + 4z） = x + y - 2z. 從而我們把原事件進行了第一次轉化.

轉化1：對任意正整數z，x + y - 2z < 4.

即x + y < 4 + 2z.

由于z ≥ 1，

所以4 + 2z的最小值是6.

要使x + y的和總滿足條件，只要繼續轉化.

轉化2：x + y < 6.

此題的真實面目千呼萬喚始出來：

若從1，2，3中任取一個數作為x，從1，2，3，4中任取一個數作為y，則x + y < 6的概率是 ? ? ? .

從而容易求出此題答案為[34].

4. 數學現實類之四：呈現研究場景

例6 （河南卷）下面是某數學興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，仔細閱讀，并完成相應的任務.

[小明：如圖11，（1）分別在射線OA，OB上截取OC = OD，OE = OF（點C，E不重合）;（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點為點P，垂足分別為點G，H;（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線.

簡述理由如下：

由作圖知，∠PGO = ∠PHO = 90°，OG = OH，OP = OP. 所以Rt△PGO ≌ Rt△PHO. 則∠POG = ∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線.

小軍：我認為小明的作圖方法很有創意，但是太麻煩了，可以改進如下. 如圖12，（1）分別在射線OA，OB上截取OC = OD，OE = OF（點C，E不重合）;（2）連接DE，CF，交點為點P;（3）作射線OP. 射線OP即為∠AOB的平分線.

……

任務：

（1）小明得出Rt△PGO ≌ Rt△PHO的依據是

（填序號）.

① SSS;② SAS;③ AAS;④ ASA;⑤ HL.

（2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？判斷并說明理由.

（3）如圖13，已知∠AOB = 60°，點E，F分別在射線OA，OB上，且OE = OF =[3]+ 1. 點C，D分別為射線OA，OB上的動點，且OC = OD，連接DE，CF，交點為點P，當∠CPE = 30°時，直接寫出線段OC的長.

解析：此題呈現了兩位同學圍繞同一個問題展開思辨的探究場景，真實生動，給學生較強的代入感. 此題體現了不同層次的意味;從小明的作法到小軍的作法，體現了解法的優化;從小軍的作法到最后一道小題，體現了基本結構的應用.

第（2）小題，從條件看，容易得到一組全等三角形，即△ODE ≌ △OCF;從目標看，要證明射線OP是∠AOB的平分線，只要證明∠AOP = ∠BOP，只要證△OPE ≌ △OPF（這組全等不唯一，也可以由其他全等代替）.

在△ODE ≌ △OCF基礎上證明△CPE ≌ △DPF（AAS），從而PE = PF. 易證△OPE ≌ △OPF（SAS）. 此題的思路不唯一.

第（3）小題，首先根據題意畫出相符的圖形（如圖14），可以求出∠CFO = 45°，要求OC，只要解△OCF即可，易得OC = 2.

解答顯然還沒有結束，“點C，D分別為射線OA，OB上的動點”，還應該繼續考慮點C，D的位置. 點C一定在點O，E之間嗎？不一定！同理還應該有如圖15所示的情形.

在教學時，教師應引導學生對“射線”“直線”進行圈點勾畫，并大膽想象、不斷嘗試. 此道小題綜合以上兩種情況，可得OC = 2或OC = 2 +[3].

5. 其他學科現實類：轉化為數學現實問題

例7 （浙江·金華卷）圖16是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置. 木條BC上的點P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為點D，從點A發出的光束經平面鏡P反射后，在MN上形成一個光點E. 已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB = 6.5，BP = 4，PD = 8.

（1）ED的長為? ? ? .

（2）將木條BC繞點B按順時針方向旋轉一定角度得到BC′（如圖17），點P的對應點為點P′，BC′與MN的交點為點D′，從點A發出的光束經平面鏡P′反射后，在MN上的光點為點E′. 若DD′ = 5，則EE′的長為? ? ? ?.

解析：此題的背景是物理中的鏡面反射現象.

第（1）小題容易發現△ABP ∽ △EDP，從而求得ED = 13.

第（2）小題木條旋轉后，原有的相似不再成立，從哪里入手呢？當然是回到數學現實中去，去剖析內里的關系和可能.

目標方面，要求EE′的長，只需求出E′D的長.

條件方面，鏡面反射實際上帶來了∠AP′B = ∠E′P′D′.

又由AB和BP′定長，

則△ABP′是一個匯聚多個條件于一身的關鍵圖形，可以嘗試在∠E′P′D′基礎上構造相似.

如圖18，在P′D′上取點F，使∠3 = ∠ABD′，

易證△ABP′ ∽ △E′FP′.

可得[E′FP′F=ABP′B=138].

下面繼續發掘基本結構.

基本結構1：在Rt△BDD′中，BD = 12，DD′ = 5，可以求得BD′ = 13.

基本結構2：由于∠4和∠3互補，∠5和∠ABD′互補，易證∠4 = ∠5，即E′F = E′D′.

通過設元把這兩個基本結構勾連起來.

設E′F = E′D′ = 13a，

則P′F = 8a.

過點E′作E′G⊥D′F，易證△E′D′G ∽ △BD′D.

可得D′F = 10a.

由BD′ = 13，可列式4 + 18a = 13，解得a =[12].

從而E′D = 13a - 5 = 1.5，EE′ = ED - E′D = 11.5.

三、總結

“綜合與實踐”專題試題因其自帶的綜合性、探究性和開放性而對學生的要求較高，需要學生透過表象看清數學本質，能夠綜合運用所學的數學知識與方法解決問題，能夠不斷轉化問題.

一方面，在日常教學中，建議增加“綜合與實踐”活動，讓學生在學習中經歷更多數學問題的探究過程，體驗實際問題的解決方法. 實施“綜合與實踐”時，教師要放手讓學生參與，啟發和引導學生進入角色，組織好學生之間的合作交流，并照顧到所有學生. 教師不僅要關注結果，更要關注過程，不要急于求成，要鼓勵、引導學生充分利用“綜合與實踐”的過程，積累活動經驗，展現思考過程，交流收獲體會，激發創造潛能.

在實施過程中，教師要注意觀察、積累、分析、反思，使“綜合與實踐”的實施成為提高教師自身和學生素質的互動過程.

另一方面，建議增加“綜合與實踐”類的作業和評價形式，并加強這方面的訓練. 這些有助于積累“綜合與實踐”類問題的解題經驗，推動學生數學學科核心素養的發展.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]陳莉紅，張仁華. 2018年中考“綜合與實踐”專題解題分析[J]. 中國數學教育（初中版），2019（3）：47-55，59.

[3]邱思明. 2019年中考“綜合與實踐”專題解題分析[J]. 中國數學教育（初中版），2020（3）：40-47.

[4]王曄，李曉宇. 2020年中考“綜合與實踐”專題解題分析[J]. 中國數學教育（初中版），2021（3）：50-57.