走向“深度教學”

摘? 要：我們應當將超越具體知識和技能的學習深入到思維的層面，由具體的數學方法和解題策略過渡到一般性思維策略與學生思維品質的提升，還應幫助學生逐步地學會學習. 我們在當前應特別重視這樣幾項工作：（1）“聯系的觀點”與思維的深刻性;（2）“變化的思想”與思維的靈活性;（3）“總結、反思和再認識”與思維的自覺性;（4）努力幫助學生學會學習.

關鍵詞：深度教學;聯系的觀點;變化的思想;總結、反思和再認識

眾所周知，對于“深度學習”的積極提倡是教育領域中一個新的發展趨勢. 由于數學教育是整體性教育事業的一個組成部分，因此，作為數學教育工作者，我們自然就應當對此予以高度的重視. 但這又可被看成過去這些年的課程改革實踐給予我們的一個重要啟示，即不應盲目地追隨潮流，而應堅持自己的獨立思考. 特別是，面對任何一個新的理論思想或主張，我們都應當認真地思考這樣三個問題：（1）什么是這一理論或主張的實質或主要含義？（2）這一理論或主張對于我們改進教學有哪些新的啟示和意義？（3）這一理論或主張又有什么局限性或不足？

這也就是我們面對一般性的教育理論或思想所應特別防止與糾正的兩種傾向.

第一，停留于一般性論述，而未能從專業的角度做出進一步的分析、思考.

例如，這或許就可被看成所謂傾向的一個實例，即認為作為一名數學教育工作者，我們面對“努力提升學生的核心素養”這一主張就只需能夠正確地復述“核心素養”的“3個方面、6大要素、18個基本要點”，并能通過逐條對照發現每一堂課的不足之處就可以了，而未認識到還應認真地思考數學作為一門基礎學科對于提升個人與社會的整體素養究竟有哪些特別重要、甚至不可取代的作用，并能很好地落實于自己每一天的工作、每一堂課！

相信讀者由以下實例即可在這方面獲得直接啟示，盡管它們所涉及的也只是語文教學.

案例1：“‘語文學科核心素養實踐性解讀”的兩個實例.

（1）“培養終身閱讀者，培養負責表達者”是我校歷經多年錘煉并在2012年最終確立的語文宣言，是我們堅定的學科信念、行動指針. 今天，這也是用我們自己的句子表述的語文學科核心素養.

（2）學科的育人價值是什么？基于學科特質，學生需要的核心又是什么？對這兩個問題的追問，是核心素養落地的關鍵.

2009年，重慶市巴蜀小學提出了“愛讀書、善思考、會表達”的語文學科核心價值追求. 2015年，學校開始研究學科核心素養，并對巴蜀小學的育人特質進行了再次修改和校本化解讀.

由于“大教育”的論述容易出現“大而空”的弊端，對此我們也就應當保持特別的警惕. 例如，在筆者看來，以下論述就多少表現出了這樣的傾向：深度學習“深”在哪里？首先“深”在人的心靈里，“深”在人的精神境界上，還“深”在系統結構中，“深”在教學規律中. 進而，這也可被看成過度簡單化的一個認識，即認為只需按照以下模式就可解決各個學科的相關問題：一般性理論的簡單介紹 + 本學科的教學實例.

第二，局限于狹窄的學科視角，卻未能從更廣泛的角度進行分析、思考. 例如，正如前面所提及的，以下論述就多少表現出了這樣的傾向：現在，我們強調學生核心素養的發展，關注數學學科在人的素養發展中起到的作用，也就是說，通過數學學習，學生應當成長為什么樣的人，這就是數學教育的終極目標，即會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界. 與此相對照，我們應當深入思考是否應當要求每位學生都能做到所說的“三會”，乃至將此看成數學教育的終極目標. 因為，這正是這方面的一個基本事實：大多數學生將來都未必會從事數學或其他與數學密切相關的工作，會用數學的眼光、思維與語言顯然也非唯一可能的選擇.

綜上，從單一學科的視角進行分析、思考容易導致片面性的認識，后者既包括單純地強調“幫助學生學會數學地思考”，也包括“人人都應做到‘三會”這樣一個主張. 這就是我們為什么應由“幫助學生學會數學地思考”轉向“通過數學學會思考”的主要原因，后者就是我們所說的“數學深度教學”的一個基本含義.

當然，我們在此所追求的并非“常識”的簡單回歸，而是更高層次的重構，數學學習可被看成為我們所說的“重構”提供了直接基礎. 這也就是指，我們應當更加重視通過數學教學努力提升學生的思維品質，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”，我們還應幫助學生逐步學會學習，從而真正成為學習的主人.

總之，這正是我們在此所倡導的“數學深度教學”的主要含義：我們應當超越具體知識和技能的學習，深入到思維的層面，由具體的數學方法和解題策略過渡到一般性思維策略與思維品質的提升，我們還應幫助學生由在教師（或書本）指導下進行學習逐步轉變為主動學習，包括善于通過學生之間的合作與互動進行學習，真正成為學習的主人.

顯然，依據以上論述我們也可更好地理解“就題論道”的含義：如果說“就題論法”主要是指用數學思維方法的分析帶動具體的解題活動，從而幫助學生逐步學會數學的思考，那么，“就題論道”就體現了這樣一個更高的追求，即我們不僅應當通過解題教學使學生在思維方法特別是解題策略的學習上有較大的收獲，也應努力提升他們的思維品質，包括理性精神的養成.

就當前而言，我們還應特別重視這樣幾項工作：（1）“聯系的觀點”與思維的深刻性;（2）“變化的思想”與思維的靈活性;（3）“總結、反思和再認識”與思維的自覺性;（4）努力幫助學生學會學習.

對于前三項，特別是（1）和（3），我們在先前已經有所涉及，以下就主要圍繞相應的“關鍵詞”對此做出簡要概述;對于（4），我們則將聯系“合作學習”在下一篇文章中做出具體論述.

（1）“聯系的觀點”與思維的深刻性.

重視“聯系的觀點”是國際數學教育界的普遍趨勢. 例如，無論是美國數學教師全國委員會（NCTM）于2000年發表的《學校數學的原則和標準》，還是由國際教育署與國際教育學會于2009年聯合推出的指導性手冊《有效數學教學》，都將“聯系”列為數學教育最重要的“標準”之一. 我們可由以下論述更好地理解“聯系”作為思維策略所具有的普遍意義：“找出各種事物之間的聯系是教育家們竭盡全力思考的問題……當學生能夠用相互聯系的觀點看待各種事物的時候，他們的學習生涯就開始了. 我建議把發現事物之間的聯系當作基礎學校課程的首要目標.”（多琳語）A69BFA2B-33B4-4ACE-9248-BAEE4E2F62E0

另外，先前關于“整體性教學”與“結構化教學”的分析顯然也可被看成從又一角度表明了“聯系的觀點”的重要性，包括什么是這方面工作的主要目標. 更一般地說，這也就是指，我們不應將事物和現象看成互不相干的，并應善于通過對照、比較促進認識、發展與深化.

在此還應特別提及“多元表征理論”的指導意義：我們不僅應當善于從多個不同角度去認識，還應高度重視不同方面的必要互補與適當整合. 當然，除去“聯系的觀點”以外，后者應當說也與“變化的思想”密切相關，即我們應當善于通過不同方面之間的轉換有效地解決問題.

最后，應當強調的是，這直接關系到了認識的深度. 這也就是指，只有不斷地拓寬視野，特別是用聯系的觀點進行分析、思考，我們才能達到更深度的認識（當然，也只有達到了更深度的認識，我們才能更好地發現不同事物與現象之間的聯系）. 特殊地，這顯然也可被看成“數學抽象”的本質所在.

進而，從同一角度相信讀者也可以更好地理解筆者的以下主張：數學基礎知識的教學，不應求全，而應求聯. 這也就是指，我們在教學中應當很好地突出“聯”這樣一個關鍵字.

（2）“變化的思想”與思維的靈活性.

前一篇文章中關于“解題教學”的討論顯然已經涉及了這一論題，即我們應當善于通過變化去分析問題和解決問題，包括很好地實現“化難為易，化復雜為簡單，化未知為已知”.

以下就是數學中經常用到的一些變化方法：逆向思維、整體思維、數形互換……除此以外，我們當然也應十分重視“特殊化”與“一般化”這樣兩種方法，包括這樣一個相關的主張：數學基本技能的教學，不應求全，而應求變.

例如，無論是面積計算中經常用到的“割補法”，還是算術中所謂的“速算法”，顯然都可以看成通過變化（等值轉換）解決問題的典型例子.

再者，所謂的“關系映射反演方法”（RMI方法）則可被看成“變化的思想”更高層次的應用. 因為，這一方法不僅可以被用于解決諸如求取某個未知量這類具體的數學問題（如對數計算），也可用于解決與理論的整體性結構有關的這樣一類更高層次的問題（如解析幾何的創立就可被看成通過映射實現整體性轉換的一個實例）. 而且，這一方法又不僅可以被用于得出問題的肯定性解答，即按照原來的要求解決問題，也可被用于得出問題的否定性解答，即證明了原來的問題不可能得到解決.

由上述分析也可以看出：對于“思維的靈活性”我們不應理解成單純的“快”，乃至將此看成數學教學應當努力追求的一項目標. 具體地說，我們應當更加重視思維的深刻性;另外，相對于“快”的簡單提倡而言，我們顯然也應更深入地思考如何才能實現這樣一個目標，而這也就意味著我們應當更加重視相應的一般性思維策略與學生思維品質的提升.

例如，所謂的“變式理論”（特別是“概念變式”）就可被看成這樣的一個例子，即我們如何通過適當變化幫助學生更好地理解概念的本質，也即達到更大的認識深度. 更重要的是，我們又不應局限于如何能夠通過適當的變化有效地解決問題，而且也應以“變化”作為直接對象去開展新的研究.

具體地說，后者顯然可被看成“函數觀念”的核心所在，這標志著我們已經超出“初等數學”進入了“變量數學”. 當然，就我們目前的論題而言，我們又應更加強調這樣一點：即使就初中與小學高年級的數學教學而言，我們也應十分重視相關思想的滲透，從而促進學生思維的發展，包括努力提升他們的思維品質.

例如，在不少學者看來，我們就應將“對應關系的視角，以及協變 / 共變的視角”看成“代數思維”的一個重要含義，并應十分重視其在小學與初中階段的滲透：小學和初中階段的學生可以關注兩個同時變化的數量，描述一個量與另一個量的關系，理解“輸入—輸出”規則，并識別出對應關系.

更一般地說，我們在教學中不僅應當注意“在變化中抓不變”，也應十分重視“在不變中抓變化”.

最后，由以下實例可以看出，“變化的思想”也與我們如何能夠改進教學密切相關.

案例2：是“學生笨”，還是“老師笨”？

這是某著名特級教師的一個親身經歷：班上有一名學生數學學得不好，因此教師就經常給該生“吃小灶”，即有針對性地進行個別輔導. 有一次，教師給這名學生講一道題，可是整整講了3遍該生還是不懂，這下該教師可真有點失去耐心了：“講了3遍還是不懂，你可真‘笨！”沒想到學生對此卻很快做出了反應（由此可見，在數學學習與思維的靈活性之間并無必然聯系）：“你講了3遍都沒有把我講懂，你才真正‘笨！”

這兩個人中究竟何人真“笨”？相信以下分析即可給你一定的啟示.

眾所周知，中醫治病以辨癥為先，但是，由于號脈、看舌苔等傳統辨癥方法有很大的經驗因素. 因此，現實中就常常會出現“對不上號”的現象，也即醫生所開的藥似乎完全無效. 但又恰是在這一點上我們即可看到“好中醫”與“一般化中醫”的區別：前者在先前藥路不對的情況下往往能夠及時加以改變，轉而采取另一全新的路子，后者則只會“一條路走到黑”……

由此可見，這也正是上述實例中教師的不足之處，即是未能通過“求變”去解決問題！

綜上可見，這就是數學教學應當很好地突出又一關鍵詞——“變”. 當然，在實踐中我們又應特別重視“變”與“聯”的綜合應用！

（3）“總結、反思和再認識”與思維的自覺性.

這是筆者近年來經常提到的一個觀點，即是數學教學應當幫助學生學會“長時間思考”. 因為，盡管“快思”可以被看成日常思維的主要形式，“慢想”顯然也有廣泛的應用，更有益于我們糾正“快思”所造成的各種弊端，特別是一些規律性的錯誤. 當然，這也是這方面的一個明顯事實，即真正的數學問題往往都不可能輕而易舉地得到解決，而需要研究者（學習者）做出持續的努力. 在很多人看來，這就是數學的真正魅力所在. 由此可見，數學學習不僅需要，也十分有利于人們學會“長時間思考”.A69BFA2B-33B4-4ACE-9248-BAEE4E2F62E0

顯然，上述分析也更清楚地表明了這樣一點，即教學中我們應當注意糾正對于“快”的片面追求. 當然，對此我們又不應理解成“消極等待”，而應進一步去思考放慢節奏后應當做些什么.

上述問題事實上也直接關系到了數學學習的基本性質：這主要是一個不斷優化的過程，并主要依賴于主體的自覺總結、反思與再認識. 當然，正如前面所提及的，這也應被看成自覺性的又一重要表現，即是我們應當努力提升自身的元認知水平，也即對于自身正在從事的數學活動始終保持清醒的自我認識，并能通過及時的分析評估做出必要的調整，包括糾正可能的錯誤.

綜上可見，我們在教學中應為學生的“長時間思考”提供充分的時間和空間. 特別是，相對于一味鼓勵學生盡快做出反應而言，我們在教學中應當表現出更多的耐心，并應很好地處理這樣一些關系：“快”與“慢”，“多”與“少”，“熱鬧”與“安靜”，“引”與“放”，等等. 另外，從同一角度我們顯然也可以很好地理解這樣一個“經驗”——“教師不要太聰明”，即在教學中我們不應過快地由特殊上升到一般，而應保證學生有充分的體驗，包括“基本活動經驗”的必要積累.

簡言之，我們應將幫助學生學會“長時間思考”看成數學教學的又一重要目標，包括在教學中很好地突出這樣幾個“關鍵詞”：總結、反思與再認識（優化、深化）.

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