關于《植樹問題》數學模型的思考

楊理

摘要：《植樹問題》是人教版教材五年級上冊“數學廣角”的內容。教材將“植樹問題”分為兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽、環形情況以及方陣問題等幾個層次，這節課主要是教學兩端都栽的植樹問題，通過教學向學生滲透復雜問題從簡單入手的思想。

關鍵詞：植樹問題;思維為主;數學教學

教材以學生比較熟悉的植樹活動為線索，讓學生選用自己喜歡的方法來探究栽樹的棵數和間隔數之間的關系，經歷猜想、試驗、推理等數學探索的過程，并啟發學生透過現象發現其中的規律，建立數學模型，再利用規律回歸生活，解決生活實際問題。

從學生的思維特點看，五年級學生仍以形象思維為主，但抽象思維能力也有了初步的發展，具備了一定的分析綜合、抽象概括、歸類梳理的數學活動經驗。這部分內容放在這個學段，說明這個內容本身具有很高的數學思維和很強的探究空間，既需要教師的有效引領，也需要學生的自主探究。

新課程標準要求，“數學教學必須從學生熟悉的生活情境和感興趣的事物出發，為他們提供觀察和操作的機會，使他們有更多的機會從周圍的事物中學習數學和理解數學，體會到數學就在身邊，體驗到數學的魅力”。因此在設計這節課時，我主要運用這樣的教學理念：以問題情境為載體，以認知沖突為誘因，以數學活動為形式，使學生經歷生活數學化，數學生活化的全過程，從中學到解決問題的思想方法。以此為基礎，根據學生的認知規律，這個內容應該以數學建模的數學理念來進行整體設計。

首先，我們要回答的是什么是數學模型。所謂數學模型，對于一個現實對象，為了達到特定目的，依據其內在的規律，做出必要的簡化假設，再用適當的數學工具將現實對象轉化為一個數學結構。因此，數學建模就是建立數學模型用于解決現實問題的全過程，包括表達、求解、解釋、檢驗等基本過程。通俗的說，數學模型是借用數學的語言講述現實世界的故事;數學建模就是用數學語言講述生活故事的過程。

數學建模可以概括為四個部分：①現實問題，即要解決的問題，里面隱藏著某種數學信息;②數學模型，對現實問題進行數學化抽象和簡化，得到的數學結構，通常是函數表達式或方程式;③數學模型的解答，利用數學知識和思想方法求出方程式的解或者函數的某些信息，比如最值、極值等;④現實對象的解答，將模型的解答與現實問題進行對照檢驗，根據檢驗結果對解答進行修訂，得到滿足現實問題的優化解答。

植樹問題是平均分問題，這才是植樹問題的實質、模型，而不是什么時候加1、減1……至于“加1”、“減1”是對實際問題分類。植樹問題的實質是“點與段”的對應。以往的平均分問題，關注的是“段”，而不是“點”，植樹問題關注的是點。所以，點與段的對應就成為本課的個難點，人們想了很多辦法來幫助兒童理解它，更是找了不少能代表點與段關系的生活原型來說明它。如線段圖、伸開五指的手。我覺得用“直尺”更恰當，從兒童上學第一天開始，直尺就伴隨左右，兒童對直尺的印象特別深，可以說直尺的表象已經印在兒童的腦子里。教材上的用到“線段圖”，在直尺上同樣也有線段圖，而且還省略了“畫”的過程，更方便使用。直尺是最常用的學習工具，對直尺很熟悉，但也有忽略的地方，那就是“點”與“段”的對應關系。在測量時，經常會出現這方面的錯誤，如3厘米的線段量成4厘米。錯誤的原因，就是對“0”的忽略。解決植樹問題時，也會出現這樣的錯誤。直尺上有點、有段，植樹時要把樹種在哪兒呢？把樹種在點上。但由于對平均分問題的認知慣性，兒童關注的是“段”，以為樹種在段上。這就要引起兒童對“點”的關注，點與段在直尺上是對應的，一段對應一點。但“0”點卻沒有“段”與之對應。這在直尺上很形象，“0”點之所以是0，就是因為沒有“段”和它對應。在直尺上植樹時，如果“0”上植樹，就是兩端都植樹，如果“0上不植樹”，就是一端植樹……用直尺植樹，比較有利于解決“點”與“段”的關系問題。

教材上的安排是，先用簡單例子得出規律，再利用規律解決復雜問題。這樣為規律而規律有些牽強，對于規律還要特別記憶。我是想通過“化抽象為直觀”的方式體現“化繁為簡”，在直尺上植樹，兩端都植樹時，第一棵樹栽在“0”上（如圖所示）。

……

植樹問題的本質并非是“一端植樹、兩端植樹”，而是“除法問題”，“植樹問題是除法問題”這才是植樹問題的本質。無論是一端植樹還是兩端植樹，都有“除法”存在，“除法”是植樹問題的共同特征，所以“除法”是植樹問題的本質。教學植樹問題重點是“除法問題”，難點是“幾種植樹情況的數學表征”。

參考文獻：

[1]聶應波. 借助畫圖策略，建構數學模型——"植樹問題"教學實踐與思考[J]. 課堂內外：教師版（初等教育）， 2020.

[2]應方園. 對《植樹問題》基本數學模型的研究[J]. 軟件（教育現代化）（電子版）， 2019.