例談函數y=Asin(ωx+φ)中ω取值范圍的確定

摘 要：本文介紹了三角函數y=Asin（ωx+φ）中已知函數的單調性、函數的最值、函數圖象的對稱軸（或對稱中心）、函數的零點、函數的圖象求實數ω取值范圍的五種類型和求解方法，幫助學生總結題型、歸納解題方法，對提高學生的解題能力，培養學生的數學核心素養具有指導作用.

關鍵詞：取值范圍;解題方法;核心素養

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0061-03

在三角函數問題中，經常會碰到關于函數y=Asin（ωx+φ）中實數ω取值范圍的確定問題，此問題是學生學習的難點，又是高考中的熱點，對此本文談談實數ω取值范圍確定的方法.1 已知函數的單調性求實數ω取值范圍

例1 若函數f（x）=2sinωx（ω>0）在區間

[-π2，2π3]上單調遞增，求實數ω取值范圍.

解法1 因為x∈[-π2，2π3]（ω>0），

所以ωx∈[-ωπ2，2πω3].

因為f（x）=2sinωx在區間[-π2，2π3]上單調遞增，

所以-ωπ2≥-π2且2πω3≤π2，ω>0，

解得0<ω≤34.

故實數ω取值范圍為（0，34].

解法2 畫出函數f（x）=2sinωx（ω>0）的圖象如圖1所示，要使f（x）在[-π2，2π3]上單調遞增，只需[-π2，2π3][-π2ω，π2ω]，且ω>0.

解得0<ω≤34.

實數ω取值范圍為（0，34].

解法3 由2kπ-π2≤ωx≤2kπ+π2（k∈Z），得2kπω-π2ω≤x≤2kπω+π2ω.

故f（x）的單調遞增區間是[2kπω-π2ω，2kπω+π2ω]（k∈Z）.

由題意知[-π2，2π3][2kπω-π2ω，2kπω+π2ω]（k∈Z，ω>0）.

從而有-π2ω≤-π2且π2ω≥2π3（ω>0）.

解得0<ω≤34.

故實數ω取值范圍為（0，34].

點評 已知函數的單調性求實數ω取值范圍的三種方法.（1）子集法：求出原函數的相應單調區間，由已知區間是所求某區間的子集，列不等式（組）求解;（2）反子集法：由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集，列不等式（組）求解;（3）周期性法：由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過14個周期，列不等式（組）求解.

2 已知函數的最值求實數ω取值范圍

例2 函數f（x）=2sin（ωx+π4）（ω>0），當x∈[0，1]上f（x）恰好有3個最高點，求實數ω取值范圍.

解析 因為x∈[0，1]，ω>0，

所以（ωx+π4）∈[π4，ω+π4].

又因為函數f（x）的圖象在區間[0，1]上f（x）恰好有3個最高點，所以4π+π2≤ω+π4<6π+π2，（ω>0），解得17π4≤ω<25π4.

故實數ω取值范圍是[17π4，25π4）.

點評 類比基本函數y=sinx在R上取得最大值時的情況，易知只需右端點滿足4π+π2≤ω+π4<6π+π2即可.因此對基本函數y=sinx，y=cosx和y=tanx的圖象和性質要相當熟練才能夠快速解題.

3 已知函數圖象的對稱軸（或對稱中心）求實數ω取值范圍

例3 已知函數f（x）=sin（ωx+π6）（ω>0）的圖象在（0，π）上有且僅有兩條對稱軸，求實數ω取值范圍.

解析 令ωx+π6=kπ+π2（k∈Z），

則x=kπ+π3ω（k∈Z）.

因為f（x）的圖象在（0，π）上有且僅有兩條對稱軸，所以只需同時滿足下列條件（k-1）π+π3ω≤0，kπ+π3ω>0，（k+1）π+π3ω<π，（k+2）π+π3ω≥π，且ω>0和k∈Z，則k-23≤0，k+13>0，ω>k+43，ω≤k+73（ω>0，k∈Z）.

故ω∈（43，73].

點評 求解三角函數y=sin（ωx+φ）或y=cos（ωx+φ）（ω>0）的周期性、奇偶性、對稱性問題，其實質都是根據基本函數y=sinx或y=cosx的對稱性，利用整體代換的思想求解.

4 已知函數的零點求實數ω取值范圍

例4 已知向量a=（sinω2x，sinωx），b=（sinω2x，12），其中ω>0，若函數f（x）=a·b-12在區間（π，2π）內沒有零點，求實數ω取值范圍.

解析 f（x）=sin2ω2x+12sinωx-12

=1-cosωx2+12sinωx-12

=12（sinωx-cosωx）

=22sin（ωx-π4），

函數f（x）在區間（π，2π）內沒有零點，則周期T≥2π，即2πω≥2π，解得0<ω≤1.

當x∈（π，2π）時，ωx-π4∈（ωπ-π4，2ωπ-π4），

所以ωπ-π4≥kπ且2ωπ-π4≤（k+1）π，（k∈Z），

解得k+14≤ω≤k2+58（k∈Z）.

因為0<ω≤1，

當k=0時，14≤ω≤58;

當k=-1時，0<ω≤18.

所以ω∈（0，18]∪[14，58].

點評 利用向量數量積公式以及兩角和與差的三角函數公式化簡得到函數解析式，利用函數的零點以及函數的周期T≥2π（關鍵點），列出不等式求解即可.

5 已知函數的圖象求實數ω取值范圍

例5

設函數f（x）=cos（ωx+π6）（ω>0）在[-π，π]上的圖象大致如圖2，求實數ω取值范圍.

解析 由函數的圖象可知

f（-4π9）=

cos（-4ωπ9+π6）=0（題眼），

結合余弦函數圖象可知-4ωπ9+π6=-π2（解題關鍵點），

解得ω=32.

點評 利用余弦函數圖象的“五點作圖法”確定函數所對應的零點，避免討論.

從以上求實數ω的方法中體會到，函數y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）與y=sinx，y=cosx有著緊密的聯系，函數y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的性質正是在y=sinx，y=cosx的基礎上用整體代換的思想延伸推廣而來.教學中和學生一起運用不同方法，感受各種方法的異同，可以提高學生學習的興趣，開拓學生的視野，更能讓學生從不同角度掌握函數y=sinx，y=cosx的性質，增強學生知識的遷移與拓展的能力.

參考文獻：

[1] 江中偉.重視基礎提煉方法 提升數學運算素養[J].中小學數學，2019（09）：52-54.

[2] 江中偉.巧用變式教學 提高教學效率[J].中學數學教學參考，2011（01）：86-87.

[責任編輯：李 璟]