一題多解 一題多變

楊憲偉

摘 要：含參函數壓軸問題是高考的重點，也是學生學習的難點.本文以一道試題的多解和多變為例，淺析高考試題中含參函數壓軸問題的處理策略.

關鍵詞：含參函數;一題多解;一題多變;深度學習

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0037-03

《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）提出，高中數學課程要以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養.通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）;提高學生從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）.數學解題教學就是落實“四基”“四能”的重要過程，教師要積極開展一題多解和一題多變活動，引導學生自主探究、克服弱點、攻破難點、解決疑點，總結分析問題、解決問題的策略.

1典例分析

例1 已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，求a的值.

策略1 設切點，方程思想.

設切點的橫坐標為m，則

m+1=ln（m+a）.①

又因為y′=1x+a，所以k=1m+a=1.

即m+a=1.代入①式，得m+1=0.

所以m=-1，a=2.

點評 本法涉及的知識是必須掌握的基礎知識，蘊含的是解決此類問題的基本方法和基本思想，是變式引申的基礎和鋪墊.

策略2 借圖象，幾何直觀.

曲線y=lnx在（1，0）處的切線為y=x-1，所以直線y=x+1與曲線y=ln（x+2）相切.故a=2.

點評 本法從熟悉的一個知識結合函數圖象平移快速解決問題，是必需積累的基本活動經驗.

2變式引申

變式1 已知函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，則實數a的取值范圍是（?? ）.

A.（-∞，0）?? B.（0，12）

C.（0，1）D.（0，+∞）

策略3 半分離，數形結合.

因為函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，

所以f ′（x）=lnx-2ax+1=0至少有兩個解.

即方程lnx=2ax-1至少有兩個解.

故函數y=lnx和y=2ax-1的圖象有兩個交點.

圖1

直線y=x-1與曲線y=lnx相切，結合圖1可知：0<2a<1.

即0

點評 本法的主要策略就是分而治之，數形結合，這也是常見的處理含參問題的一種方法，我們稱之為“半分離，數形結合”.

策略4 不分離，分類討論.

令g（x）=lnx-2ax+1，則g′（x）=-2ax+1x.

①當a≤0時，g′（x）>0在（0，+∞）恒成立，f ′（x）=lnx-2ax+1在（0，+∞）上單調遞增，不可能有兩個零點，故不滿足條件;

②當a>0，00;

當x>12a時，g′（x）<0.

所以g（x）在（0，12a）上單調遞增，在（12a，+∞）上單調遞減.

所以g（12a）=ln12a>0.

即12a>1.

所以0

策略5 求值域，極限說明.

作為選擇題，可以確定選B，但如果是解答題，必須保證圖象是圖2這樣才可以，即函數兩側的圖象必須在x軸的下方

.事實上，當x→0時，g（x）→-∞;當x→+∞時，g（x）→-∞，故0

圖2

策略6 要證明，嚴謹找點.

如果作為解答題，要避開極限，可以找點用零點的存在性定理嚴謹證明.

1e∈（0，12a），g（1e）=-12a<0，1a2∈（12a，+∞），g（1a2）=2ln1a-2a+1≤2（1a-1）-2a+1=-1<0（用到了常見的對數放縮lnx≤x-1，書寫步驟時需要證明），故0

點評 本法也是常見的處理含參問題的一種方法，我們稱之為“不分離，分類討論”.若作為解答題，可以用極限思想解決問題，也可以通過找點用零點的存在性定理嚴格證明，但找點難度比較大，選取的時候要兼顧函數值計算簡單和滿足要求這兩條，有時甚至需要借助指對放縮加以說明.

策略7 全分離，研究函數.

lnx-2ax+1=0，即a=lnx+12x.

令h（x）=lnx+12x，則h′（x）=-lnx2x2.

當00;當x>1時，h′（x）<0.所以h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減.

由h（1e）=0，當x>1e時，h（x）>0，可以畫出h（x）的大致圖象（圖3），h（1）=12，所以得到0

圖3

策略8 遇困難，適當放縮.

和剛剛面臨的情況一樣，0

易證lnx≤x-1，所以lnx≤x-1.

即lnx≤2x-2.

故當x>1時，h（x）=lnx+12x≤2x-12x<12x.

故對于任意的0

點評 這種方法主體是“全分離，研究函數”，若作為解答題，必須要繼續嚴謹證明.但是端點的函數值不確定時可以用極限或洛必達法則說明.事實上，函數y=lnx+1的增長速度比函數y=2x的增長速度慢，所以x→+∞時，h（x）→0.若要避開極限和洛必達法則，可以通過放縮，轉化為熟悉函數.

變式2 已知a為常數，函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x1，x2（x1

A.f（x1）>0，f（x2）>-12

B.f（x1）<0，f（x2）<-12

C.f（x1）>0，f（x2）<-12

D.f（x1）<0，f（x2）>-12

策略9 隱零點，整體代換.

易知：01.

所以f（x1）=x1（lnx1-ax1）<0.

而x2是方程lnx-2ax+1=0的解，

所以lnx2-2ax2+1=0.

即ax2=lnx2+12.

所以f（x2）=x2（lnx2-ax2）=

x2（lnx2-1）2.

令φ（x）=x（lnx-1）2（x>1），則

φ′（x）=lnx2>0.

所以φ（x）在（1，+∞）上單調遞增.

而x2>1，故f（x2）=φ（x2）>φ（1）=-12，故選D.

點評 本題中不能準確求出x2，但卻滿足恒等式，也就是說x2從理論上講是確定的，我們稱之為“隱零點”，處理這種問題的主要手段就是整體代入消元轉化為一元函數求解，我們把這個過程稱為“隱零點代換”.

策略10 用導數，整體代換.

由變式1可得：當x∈（x1，x2）時，f ′（x）>0，所以f（x）在（x1，x2）上單調遞增.

而x1<1又因為0

故f（x1）<0，f（x2）>-12.

以上十種含參函數問題的解題策略中蘊含著的正是解決該類問題的基本方法和基本思想.在解題教學中，我們不僅要關注基礎知識和基本技能，更要關注基本思想的滲透和基本活動經驗的積累，要注重培養學生高階思維，提升學生綜合能力，幫助學生把握數學本質，發展核心素養.

參考文獻：

[1]

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[責任編輯：李 璟]