注重函數性質交匯 明晰函數圖象判別

黃雅蘭

摘 要：本文主要緊扣函數的性質，研究了函數的圖象變換、函數的應用和函數的識別問題.

關鍵詞：函數性質;函數圖象;圖象變換

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0024-03

基本初等函數的性質是高考試題中最為常考的一種題型之一，通過函數圖象去研究函數性質是數學方法中常見的一種研究手段，本文立足函數性質，分析了函數圖象的相關問題.

1 函數性質的綜合應用

例1 已知f （x）是定義在

R上的奇函數，且f（x+1）為偶函數，若f（-1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（? ）.

A.4? B.2? C.0? D.-2

解法1 f（x）是定義在R上的奇函數，

所以-f（x）=f（-x）.①

因為f（x+1）為偶函數，

所以f（-x+1）=f（x+1）.②

在②式中，用x+1替代x，

則f（-x）=f（x+2）.

所以f（x）=-f（x+2）.③

在①式中，令x+2替代x，

則-f（x+2）=f（-x-2）.④

因為f（-x-2）=f[-（x+3）+1]，

再根據②式關系，得

f（-x-2）=f[-（x+3）+1]=f[（x+3）+1]=f（x+4）.

綜上所述，得f（x）=f（x+4）.

所以f（x）的周期為4.

由已知得，f（x）是定義在R上的奇函數，

則

f（0）=0，f（1）=-f（-1）=-2，

f（2）=f（1+1）=f（-1+1）=f（0）=0，

f（3）=f（-1+4）=f（-1）=2，

f（4）=f（0+4）=f（0）=0，

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0.

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2019）

=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+[f（1）+f（2）+f（3）]=-2+0+2=0.

解法2 由f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+1）為偶函數，可知函數f（x）是周期為4的周期函數.

又f（-1）=2，取f（x）=-2x，x∈[-1，1]，

則f（1）=-2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=2，f（4）=f（0）=0.

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2019）=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+[f（1）+f（2）+f（3）]=-2+0+2=0.

點評 已知f（x）是周期函數且為偶函數，求函數值常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內，把未知區間上的函數性質轉化為已知區間上的函數性質求解.

2 函數圖象的識別

例2 （2021年安徽池州模擬）如圖1，函數f（x）=

xln2-sinx2+sinx的部分圖象可能是（? ）.

解析 因為f（x）=xln2-sinx2+sinx，

故f-x=-xln2+sinx2-sinx=-xln2-sinx2+sinx-1=xln2-sinx2+sinx=fx，

所以f（x）是偶函數.

所以f（x）的圖象關于y軸對稱，故排除C，D.

當x∈0，π2時，sinx∈0，1，

所以0<2-sinx2+sinx<1.

所以ln2-sinx2+sinx<0.

即f（x）<0，故排除B，選A.

例3 （2021年廣東湛江模擬）已知函數f（x）的圖象如圖2所示，則f（x）可以為（? ）.

A. f（x）=x3-3x?? B. f（x）=ex-e-xx

C. f（x）=2x-xD. f（x）=exx

解析 首先對4個選項進行奇偶性判斷，可知f（x）=ex-e-xx為偶函數，不符合題意，排除B;其次，在剩下的3個選項，對其在0，+SymboleB@上的零點個數進行判斷， f（x）=exx在0，+SymboleB@上無零點， 不符合題意，排除D;然后，對剩下的2個選項，進行單調性判斷， f（x）=2x-x在0，+SymboleB@上單調遞減， 不符合題意，排除C，故選A.

點評 函數圖象與解析式之間的4種對應關系：

（1）從函數的定義域判斷圖象的左右位置，從函數的值域（或有界性），判斷圖象的上下位置;

（2）從函數的單調性判斷圖象的升降變化趨勢;

（3）從函數的奇偶性判斷圖象的對稱性：奇函數的圖象關于原點對稱，在對稱的區間上單調性一致，偶函數的圖象關于y軸對稱，在對稱的區間上單調性相反;

（4）從函數的周期性判斷圖象是否具有循環往復特點.

3 函數圖象的變換

例4 已知定義在區間[0，4]上的函數y=f（x）的圖象如圖3所示，則y=-f（2-x）的圖象為（? ）.

解法1 先作出函數y=f（x）的圖象關于y軸的對稱圖象，得到y=f（-x）的圖象;然后將y=f（-x）的圖象向右平移2個單位，得到y=f（2-x）的圖象;

再作y=f（2-x）的圖象關于x軸的對稱圖象，得到y=-f（2-x）的圖象.故選D.

解法2 先作出函數y=f（x）的圖象關于原點的對稱圖象，得到y=-f（-x）的圖象;然后將y=-f（-x）的圖象向右平移2個單位，得到y=-f（2-x）的圖象.

故選D.

點評 通過圖象變換識別函數圖象要掌握的兩點：

（1）熟悉基本初等函數的圖象（如指數函數、對數函數等函數的圖象）;

（2）了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換.

4 函數圖象的應用

例5 已知f（x）=lgx，x>0，2x，x≤0，則方程2f 2（x）-3f（x）+1=0的解的個數為.

解析 方程2f 2（x）-3f（x）+1=0的解為f（x）=12或f（x）=1.

如圖5，作出y=f（x） 的圖象，由圖象知直線y=12與函數y=f（x）的圖象有2個公共點;

直線y=1與函數y=f（x）的圖象有3個公共點.

故方程2f 2（x）-3f（x）+1=0有5個解.

點評 利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質問題，函數的零點、方程根的問題，有關不等式的問題等，當方程與基本函數有關時，可以通過函數圖象來研究方程的根，方程f（x）=0的根就是函數f（x）圖象與x軸交點的橫坐標，方程f（x）=g（x）的根就是函數f（x）與g（x）圖象交點的橫坐標.

參考文獻：

[1] 藍云波，陳國林.導數問題中運用零點存在定理的賦值策略探究[J].中小學數學（高中版），2016（10）：54-57.

[2] 廖永福.高考考查函數圖象的三個視角[J].數理化解題研究，2020（13）：20-23.

[責任編輯：李 璟]