重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)建模能力

吳旭寶 劉明

【摘 要】新高考更加重視對(duì)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查，試題具有“展現(xiàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化”“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值”“感受數(shù)學(xué)之美”等特點(diǎn)。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)應(yīng)用題的基本解題策略，并通過(guò)開(kāi)展數(shù)學(xué)閱讀等途徑提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;考查特點(diǎn);培養(yǎng)方式

【中圖分類號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號(hào)】1005-6009（2022）11-0040-04

【作者簡(jiǎn)介】1.吳旭寶，江蘇省鹽城市田家炳中學(xué)（江蘇鹽城，224000）教師，一級(jí)教師;2.劉明，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)（南京，210003）教師，正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師。

2020年全國(guó)各地陸續(xù)實(shí)施新課程、新高考。在新高考中，數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)將如何考查？下面筆者結(jié)合自己對(duì)新課標(biāo)、新高考試題的學(xué)習(xí)和研究，談一些初步的思考，供同行們參考。

一、新課標(biāo)重視數(shù)學(xué)建模

1.新課標(biāo)將數(shù)學(xué)建模納入高中數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容。

2017年版新課標(biāo)與原來(lái)的課程標(biāo)準(zhǔn)相比，進(jìn)行了較大幅度的修訂：在課程目標(biāo)上，新增了學(xué)科核心素養(yǎng)（即六大核心素養(yǎng)），認(rèn)為“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)”;在課程內(nèi)容上，增設(shè)“數(shù)學(xué)的建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”，形成了高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線——函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng);在教學(xué)建議部分，提出了“突出學(xué)科核心素養(yǎng)、整體把握教學(xué)內(nèi)容”等建議;在學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)方面，提出了“注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系”等命題原則。[1]

2.新高考將數(shù)學(xué)建模作為學(xué)科素養(yǎng)的考查內(nèi)容。

《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》對(duì)高考命題工作提出了如下要求：“突出立德樹(shù)人導(dǎo)向，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。創(chuàng)新試題形式，加強(qiáng)情境設(shè)計(jì)，注重聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，增加綜合性、開(kāi)放性、應(yīng)用性、探究性試題。”[2]此外，教育部考試中心編寫(xiě)的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》指出：“高考評(píng)價(jià)體系將考查的素質(zhì)教育目標(biāo)提煉為‘核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)’四層內(nèi)容”;而“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)包括理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化四項(xiàng)內(nèi)容”。[3]可見(jiàn)，“數(shù)學(xué)應(yīng)用”在考試評(píng)價(jià)中具有重要的地位，應(yīng)當(dāng)給予足夠的重視。

二、新高考試題對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查情況

2020年，山東、海南兩省進(jìn)入新高考;2021年，全國(guó)又有8個(gè)省份進(jìn)入新高考。新高考在數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查方面，有如下的特點(diǎn)。

2020年山東卷和海南卷，一共考查了6道應(yīng)用題（單選題4道、填空題1道、解答題1道）。盡管2021年新課標(biāo)Ⅰ卷的應(yīng)用題題量較2020年有所減少，共考查3題道（1道單選題、1道填空題、1道應(yīng)用題），但隨著評(píng)價(jià)改革的不斷推進(jìn)，新高考試題中的應(yīng)用題將會(huì)有一定程度的增加。

1.展現(xiàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化。

在歷年的高考試題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些有關(guān)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的試題，以此對(duì)學(xué)生進(jìn)行中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的教育，新高考命題也是如此。

例1（2020年山東卷、海南卷試題）：日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間。把地球看成一個(gè)球（球心記為O），地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面。在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（ ?）。

A. 20° ? ? ?B. 40° ? ? C. 50° ? ? D. 90°

從考查的內(nèi)容來(lái)看，本題以中國(guó)古代測(cè)定時(shí)間的儀器“日晷”為載體，考查了球體的相關(guān)計(jì)算，不僅涉及立體幾何中平面平行、線面垂直的性質(zhì)，還涉及“緯度”這一地理知識(shí)（即直線與平面所成角的概念），對(duì)學(xué)生的空間想象能力有較高的要求，并且在一定程度上體現(xiàn)了學(xué)科綜合的要求。

此類試題的考查目的是以“立德樹(shù)人”為導(dǎo)向，讓學(xué)生了解中國(guó)歷史上的數(shù)學(xué)成就，了解中國(guó)歷代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，激勵(lì)學(xué)生繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，培養(yǎng)具有愛(ài)國(guó)情懷的社會(huì)主義事業(yè)的建設(shè)者和接班人。

2.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

在新高考數(shù)學(xué)應(yīng)用試題中，也有體現(xiàn)數(shù)學(xué)在社會(huì)實(shí)踐及科學(xué)研究中廣泛應(yīng)用的試題。

例2（2020年山東卷、海南卷試題）：基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎疫情的流行病學(xué)基本參數(shù)。基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I（t）=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I（t）隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT。有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6。據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（ln2≈0.69）（ ?）。

A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天

本題以近兩年來(lái)的新冠肺炎疫情這一重大社會(huì)事件為實(shí)際背景，是一道考查指數(shù)型函數(shù)模型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。這樣的試題，不僅讓學(xué)生充分感受到“數(shù)學(xué)處處可見(jiàn)”，提高對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，而且能夠引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活、關(guān)注社會(huì)。

3.感受數(shù)學(xué)之美。

數(shù)學(xué)既是運(yùn)算與推理的工具，也是一種表達(dá)和交流的語(yǔ)言，是人類文明的一個(gè)重要組成部分。因此，新高考試題將會(huì)出現(xiàn)更多的引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美的試題。

例3（2019年全國(guó)高考Ⅰ卷試題）：古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是[5-12]（[5-12] ≈ 0.618，稱為“黃金分割比例”），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是[5-12]。若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是（ ?）。

A.165 cm ? ?B.175 cm

C.185 cm ? ?D.190 cm

此題可以選擇兩種不同的解題思路，第一種思路運(yùn)用生物學(xué)知識(shí)，利用腿長(zhǎng)估算身高;第二種思路利用不等式，求出身高的取值范圍。本題中，命題者給出了與兩個(gè)黃金分割比不相吻合的條件，就是為了引導(dǎo)考生在難以由“等量關(guān)系”估算身高時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮運(yùn)用“不等式”這一數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題。此外，本題很好地體現(xiàn)了新課程理念：重視學(xué)科綜合（涉及生物學(xué)知識(shí)），考查學(xué)科核心素養(yǎng)（考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)）。這樣的試題不僅發(fā)展了學(xué)生體驗(yàn)美、感受美的能力，而且還能夠激發(fā)學(xué)生未來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的興趣。

三、對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)的思考

1.在平時(shí)的教學(xué)中重視數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)。

數(shù)學(xué)應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要途徑之一。從數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)來(lái)看，它是在對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法。

數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程為：在實(shí)際情境中，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模需要經(jīng)歷閱讀理解、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、建立模型、數(shù)學(xué)運(yùn)算等過(guò)程，是一項(xiàng)綜合的、復(fù)雜的系統(tǒng)工程。上述能力非一朝一夕能夠形成的，教師需要在平時(shí)的教學(xué)中結(jié)合所學(xué)內(nèi)容，選擇與學(xué)生能力相適切的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，讓學(xué)生去思考、研究、解決。

例如，在學(xué)習(xí)“分段函數(shù)”時(shí)，可以選取實(shí)際生活中與分段函數(shù)有關(guān)的例子（如出租車計(jì)價(jià)等）;在學(xué)習(xí)“指數(shù)函數(shù)”時(shí)，可以選取銀行存（貸）款問(wèn)題;在學(xué)習(xí)“三角函數(shù)”時(shí)，可以選用反映周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)應(yīng)用題（如潮汐現(xiàn)象等）;等等。在學(xué)習(xí)完幾種常見(jiàn)的初等函數(shù)模型之后，我們還可以設(shè)計(jì)一些讓學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

2.讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用題的基本解題策略。

在解數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，可按照“理解實(shí)際問(wèn)題—建立數(shù)學(xué)模型—求解數(shù)學(xué)模型—解決實(shí)際問(wèn)題”的流程進(jìn)行，其中建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵。

（1）認(rèn)真審題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象

正確審題是建立數(shù)學(xué)模型的前提。這就需要讓學(xué)生在認(rèn)真閱讀、正確理解題意的基礎(chǔ)上，借助畫(huà)圖、列表等手段，從應(yīng)用題的文本信息中抽象出數(shù)學(xué)信息：有哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？這些量之間有什么樣的關(guān)系？

（2）恰當(dāng)設(shè)元，建立數(shù)學(xué)模型

在審題之后，根據(jù)題目所給的條件與所要求的結(jié)論，對(duì)下列問(wèn)題進(jìn)行理性的思考：已知什么？要求什么？各個(gè)量之間有什么關(guān)系？本題想考查什么？建立怎樣的數(shù)學(xué)模型？如何設(shè)元？在思考這些問(wèn)題的基礎(chǔ)上，設(shè)元、建立數(shù)學(xué)模型。其中最核心、最困難的環(huán)節(jié)是“尋找各個(gè)量之間的關(guān)系”。

（3）校驗(yàn)?zāi)Ｐ停M(jìn)行數(shù)學(xué)求解

在初步建立數(shù)學(xué)模型后，不應(yīng)急于求解數(shù)學(xué)模型，而是應(yīng)當(dāng)對(duì)自己所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢驗(yàn)——檢查自己所建立的數(shù)學(xué)模型是否符合實(shí)際問(wèn)題。若不符合實(shí)際問(wèn)題，就要對(duì)其進(jìn)行修正，直到滿足題意為止，然后再進(jìn)行數(shù)學(xué)求解。

（4）回歸實(shí)際，給出正確答案

在求解數(shù)學(xué)模型后，還要結(jié)合應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所求得的解是否滿足題意，并給出最終的答案，從而完成解題。

3.開(kāi)展數(shù)學(xué)閱讀提高建模能力。

如前所述，數(shù)學(xué)建模問(wèn)題經(jīng)常會(huì)結(jié)合中國(guó)數(shù)學(xué)史上的重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、反映數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系，以及體現(xiàn)數(shù)學(xué)美（數(shù)學(xué)文化）的相關(guān)內(nèi)容來(lái)考查。因此，教師可以建議學(xué)生利用閑暇時(shí)間開(kāi)展數(shù)學(xué)閱讀，比如，瀏覽中國(guó)歷代數(shù)學(xué)家的重要研究成果，閱讀我國(guó)古代的高水平的數(shù)學(xué)著作以及介紹國(guó)外數(shù)學(xué)家研究成果的數(shù)學(xué)科普讀物，還可以閱讀一些關(guān)于數(shù)學(xué)美學(xué)和數(shù)學(xué)文化的讀物。開(kāi)展好數(shù)學(xué)閱讀活動(dòng)，不僅可以幫助學(xué)生拓寬視野、提高解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力，而且還能夠讓學(xué)生了解中外數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，有利于他們葆愛(ài)國(guó)情懷、立報(bào)國(guó)之志。

以上是筆者依據(jù)新課標(biāo)、新高考考試要求的變化情況，結(jié)合新高考試題對(duì)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查特點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方式所做的分析和探討。綜上所述，筆者認(rèn)為教師應(yīng)時(shí)刻關(guān)注高考新變化和新方向，在日常的教學(xué)中挑選與學(xué)生能力相適應(yīng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生形成自己的解題方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，達(dá)到培育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的。

【參考文獻(xiàn)】

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