追本溯源 深入拓展 讓思維開啟高階模式

盧家杰

【摘要】數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)不僅是學(xué)生計算技能的培養(yǎng)，還應(yīng)重視運(yùn)算中高階思維能力的發(fā)展。然而在小學(xué)第一學(xué)段教師常常只重視夯實(shí)計算技能，忽略運(yùn)算教學(xué)中高階思維的滲透。本文結(jié)合目前指向高階思維的運(yùn)算教學(xué)現(xiàn)狀，從目標(biāo)維、資源維、活動維三個角度來闡述高階思維應(yīng)用于第一學(xué)段數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的策略和實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】第一學(xué)段、高階思維、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》正式將“運(yùn)算能力”列為十大數(shù)學(xué)核心概念詞之一。隨著當(dāng)今社會高速發(fā)展，各行各業(yè)大量數(shù)據(jù)信息瞬息萬變，我們的人工智能足以代替人腦進(jìn)行大量的低階思維工作，如接收信息、存儲信息、操作計算等等。而我們培養(yǎng)的學(xué)生，不該停留在低階思維水平，而是具有在復(fù)雜多樣的環(huán)境中發(fā)展觀察、分類、思考、推理、探究、質(zhì)疑、創(chuàng)新、制定解決方案等高階思維能力。數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)不僅是學(xué)生計算技能的培養(yǎng)，還應(yīng)重視運(yùn)算中高階思維能力的發(fā)展。只有這樣，我們培養(yǎng)的學(xué)生才能適應(yīng)高速發(fā)展的學(xué)習(xí)、工作和生活。

一、高階思維的內(nèi)涵

根據(jù)心理學(xué)家布盧姆的教學(xué)目標(biāo)分類，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可以分為六個層次，其中“分析”、“評價”和“創(chuàng)造”屬于高階思維。本文所討論的運(yùn)算中高階思維主要是指學(xué)生在熟練掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本定義，基本法則和基本公式能正確進(jìn)行計算的基礎(chǔ)上，能對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行反思和判斷，還能夠靈活運(yùn)用類比推理，遷移方法解決問題或者多種方法解決問題，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法的優(yōu)化。

二、調(diào)查與分析

既然運(yùn)算教學(xué)中高階思維能力有如此重要的價值，那么在現(xiàn)實(shí)的課堂教學(xué)中教師是否有足夠的重視呢？有沒有將運(yùn)算中高階思維能力的培養(yǎng)落實(shí)到一線課堂？因此筆者設(shè)計相關(guān)問卷，進(jìn)行調(diào)查。

（一）調(diào)查過程

1.調(diào)查時間：在2020年5月10日設(shè)計調(diào)查問卷，2020年5月20日下發(fā)問卷，進(jìn)行問卷調(diào)查。

2.調(diào)查對象：本人所在的學(xué)校處于城鄉(xiāng)結(jié)合部，是一所剛成立五年的新學(xué)校。選取三年級兩個班級，共77人進(jìn)行問卷調(diào)查。

3.調(diào)查內(nèi)容：從“能否正確地運(yùn)算和正確的算理表征”、“靈活選用算法，運(yùn)算方法和過程是否簡便”、“能否對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行檢查和判斷”、“能否進(jìn)行推理計算”4個維度出發(fā)，設(shè)計一份指向高階思維的運(yùn)算能力調(diào)查問卷。

4.調(diào)查結(jié)果：共下發(fā)問卷77份，有效收回問卷共77份。從調(diào)查結(jié)果顯示，小學(xué)第一學(xué)段運(yùn)算中高階思維的培養(yǎng)并沒有得到很好的落實(shí)。

（二）分析與思考

統(tǒng)計分析問卷的數(shù)據(jù)，并結(jié)合后續(xù)學(xué)生訪談情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生指向高階思維的運(yùn)算能力主要存在以下幾方面的問題。

1.算理的理解浮于淺層

學(xué)生能否正確地運(yùn)算，并正確地表征算理，是運(yùn)算中高階思維的重要基礎(chǔ)。每一位學(xué)生都能正確地計算，但是只有41.5%的學(xué)生在點(diǎn)子圖中正確地表征出這道題的算理。而回歸課本教材內(nèi)容（如圖1和圖2），發(fā)現(xiàn)相同的算理知識點(diǎn)在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊第46頁是借助點(diǎn)子圖作為例題在課堂上重點(diǎn)講解過的，并非學(xué)生們第一次遇到。由此可見，教師將運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)（甚至全部）落到了如何快速、正確地計算出結(jié)果。而對應(yīng)的運(yùn)算算理和計算本質(zhì)被忽略。

如果題目中遇到應(yīng)用基礎(chǔ)算理來解決問題或者利用算理推理解決更加復(fù)雜的計算問題時，有部分學(xué)生就會不知所措，無從下手。而對于基礎(chǔ)算理扎實(shí)的學(xué)生來說，這一類題目就非常簡單了。

2.算法的選擇存在定勢

由于二、三年級豎式運(yùn)算的機(jī)械性訓(xùn)練或者多重外在引導(dǎo)等因素（如老師、家長反復(fù)強(qiáng)調(diào)列豎式計算能保障計算結(jié)果正確），“列豎式計算”成為大多數(shù)學(xué)生運(yùn)算時的最佳選擇，甚至是唯一選擇。學(xué)生在運(yùn)算過程中未能靈活使用估算、心算、簡便運(yùn)算解決問題，大多數(shù)學(xué)生也缺乏對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行反思和判斷的能力，算法選擇存在定勢。

學(xué)生能否靈活選用算法，方法和過程是否簡便，這是運(yùn)算中高階思維的重要屬性之一。接受調(diào)查的學(xué)生有81.8%采用列豎式的方法得出每個算式的結(jié)果，然后再進(jìn)行大小比較。只有18.2%是通過估算的方法得出近似結(jié)果，再進(jìn)行大小比較。比較正確率，明顯選用估算解決的正確率更高。訪談后了解到學(xué)生選用每一個算式都列豎式計算出正確結(jié)果的原因是在于“怕估算思路不清，導(dǎo)致估算的結(jié)果錯誤。用列豎式得到結(jié)果，然后進(jìn)行大小比較更準(zhǔn)確，也更加放心。但是偶爾列豎式也會出現(xiàn)計算錯誤。”

不同于以往的單一試題求“蔡老師一共花了多少錢？”，而是給了一位同學(xué)的解答方法，讓學(xué)生來判斷他算得對嗎，其實(shí)就是在考察學(xué)生對運(yùn)算的結(jié)果是否有反思和判斷的能力。由于整數(shù)乘小數(shù)沒有學(xué)過，題目提示要求用已經(jīng)學(xué)過的知識來解釋說明理由。要解決這道題，用筆算和口算都顯得過于復(fù)雜，但是用估算就容易許多。將23、51.4分別估小為20和50，估小后相乘也需要1000元，實(shí)際花的錢肯定大于1000元，也大于982.2元，所以小明算錯了。

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這道題只有25.9%的學(xué)生做對了，翻閱這些同學(xué)的解題方法，發(fā)現(xiàn)將近90%的學(xué)生是用了估算的方法，剩余10%是將51.4元拆成51元和4角，也成功得解決了這道題。但是有74.1%的同學(xué)做錯了，其中有嘗試列豎式計算的，還有不少同學(xué)這道題甚至是一片空白。

3.結(jié)構(gòu)的領(lǐng)會過于片面

指向高階思維培養(yǎng)的運(yùn)算教學(xué)，不僅只是計算技能的獲取，更重要的是利用推理遷移方法發(fā)展邏輯思維能力，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的深層次和更高水平的發(fā)展。

據(jù)統(tǒng)計這道題錯誤率不高只有9.9%。但通過后續(xù)訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們的解題方法非常多樣。有85%的學(xué)生是從A到底是多少來入手考慮。只要知道A是多少，那么86×A7=（?）自然就轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算。由于還沒有學(xué)過除數(shù)是兩位數(shù)的除法，要知道A是多少，大部分學(xué)生采用代入一位數(shù)字試一試的方法，直到試對了為止。有從1開始代入，直到試到9。有的學(xué)生觀察數(shù)字特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，774與860（即86×10）非常接近，于是他從A是9開始代入，結(jié)果只試了一次就發(fā)現(xiàn)A的真實(shí)數(shù)值。還有同學(xué)從尾數(shù)入手，6×（ ）的個位是4呢？想到四六二十四和六九五十四，將4和9分別代入驗(yàn)證得到A是9。解決了A是多少，只需要列豎式就能得到正確的結(jié)果。

還有5%的學(xué)生，他們表示不需要知道A是多少，現(xiàn)在A 在十位上，意義就是A個十。根據(jù)已學(xué)過的算理和算法，只需利用豎式就能輕松推理解決，而且用時較少。（如圖3）根據(jù)學(xué)生的解答情況和后續(xù)的訪談，了解到學(xué)生利用算理和算法，推理解決問題的能力只在個別同學(xué)身上有所展現(xiàn)。

（三）歸因分析

為什么三年級學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算中的高階思維能力如此單薄呢？反思現(xiàn)實(shí)的第一學(xué)段數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)，原因不外乎以下三個方面：

——運(yùn)算中的高階思維能力的培養(yǎng)，需要教師有正確的運(yùn)算觀和深入的本質(zhì)理解。但事實(shí)上教師對數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解往往還不夠透徹，導(dǎo)致在運(yùn)算教學(xué)中重結(jié)果而輕過程。學(xué)生們也因此進(jìn)行超量重復(fù)的口算、筆算訓(xùn)練，卻對于數(shù)與運(yùn)算意義、運(yùn)算規(guī)律等算理的理解常常被忽視。

——運(yùn)算中的高階思維能力的培養(yǎng)，需要教師用系統(tǒng)化的思維去整合碎片化的知識。在低段的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中有不少碎片化或者重復(fù)的知識。沒有進(jìn)行重組和結(jié)構(gòu)化的知識，顯得過于瑣碎，也增加學(xué)習(xí)過程中的無趣，減退學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

——運(yùn)算中的高階思維能力的培養(yǎng)，需要經(jīng)歷歸納、猜想、驗(yàn)證等過程。教師在授課中不但要讓學(xué)生明白“是什么”，而且要讓他們明白“為什么”。可惜的是，教師常常在教學(xué)過程中只告訴學(xué)生“是什么”，卻不肯花時間放手讓學(xué)生探究“為什么”。

綜上，計算技能的掌握和提高是立竿見影的，而高階思維能力的提高是一步一步慢慢滲入。因此在小學(xué)第一學(xué)段運(yùn)算教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生高階思維能力的發(fā)展，重視算理的理解，鼓勵算法的推理遷移運(yùn)用，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、猜想、驗(yàn)證等活動，獲取高階思維能力。

三、策略與實(shí)踐

由于高階思維能力是需要慢慢滲透，我們需要從第一學(xué)段開始就關(guān)注學(xué)生運(yùn)算的高階思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生能夠正確地理解運(yùn)算的算理，主動探索多樣化的算法并尋求簡潔合理的運(yùn)算途徑來解決問題。會運(yùn)用推理，利用知識方法的遷移，創(chuàng)新地解決問題。

將高階思維應(yīng)用于第一學(xué)段運(yùn)算教學(xué)時，可以從以下三個維度進(jìn)行嘗試：

（一）目標(biāo)維：指向高階思維的教學(xué)定位

只有在教學(xué)目標(biāo)中，高階思維能力的目標(biāo)不缺位，教師心里有意識，教學(xué)行為才會有跟進(jìn)，學(xué)生運(yùn)算高階思維能力培養(yǎng)的落實(shí)才會實(shí)現(xiàn)。因此在以往粗略的每課時教學(xué)目標(biāo)基礎(chǔ)上進(jìn)行目標(biāo)細(xì)化，并且根據(jù)教學(xué)內(nèi)容額外增加高階目標(biāo)預(yù)設(shè)。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊《萬以內(nèi)的加法和減法（一）》幾百幾十加減幾百幾十 （P14）為例：

這樣，將原來的粗略目標(biāo)進(jìn)行細(xì)化，將每個目標(biāo)都落實(shí)到位，同時增加高階目標(biāo)預(yù)設(shè)。教師在完成基礎(chǔ)目標(biāo)后，進(jìn)行高階目標(biāo)的落實(shí)，真正做到心中有數(shù)。

（二）資源維：指向高階思維的學(xué)習(xí)載體

教學(xué)資源是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要載體，指向高階思維培養(yǎng)的小學(xué)運(yùn)算教學(xué)，教學(xué)資源的選擇和編排就十分重要的。教學(xué)是否成功，主要取決于教師在課堂上提供什么樣的學(xué)習(xí)材料。在教學(xué)中，我們可以通過資源挖掘、整合和拓展等策略，落實(shí)運(yùn)算教學(xué)高階思維能力的培養(yǎng)。

挖掘：一道簡單的計算題背后有多少的思維含量，是需要我們教師去挖掘的。例如計算46+27，如果教師只是要求學(xué)生計算出正確的計算結(jié)果73，那么學(xué)生的思維訓(xùn)練也就止步于此。教師可以請學(xué)生將這道簡單的計算題，改編成為選擇題。選項(xiàng)中除了正確選項(xiàng)73之外，這個選擇題的其他選項(xiàng)可以是什么答案呢？請同學(xué)來說一說自己的選項(xiàng)，并說明理由。有同學(xué)補(bǔ)充“63”，原因是自己會經(jīng)常忘記進(jìn)位。還有同學(xué)補(bǔ)充“19”，原因是審題不仔細(xì)將加法看成減法進(jìn)行計算了。明明知道答案的計算題，逆向追問思考，可以蘊(yùn)含多種不同的思路。

整合：根據(jù)學(xué)情出發(fā)，用系統(tǒng)化的思維去整合教學(xué)內(nèi)容，從碎片化，繁瑣，無趣的知識點(diǎn)走向整體設(shè)計，逐步遞進(jìn)的單元主題。如在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊第二單元《萬以內(nèi)數(shù)的加減法（一）》和第四單元《萬以內(nèi)的加減法（二）》，這兩個單元的算理相同而且教學(xué)時間安排較近，我們考慮將這兩個單元知識的教學(xué)進(jìn)行整合。（如圖4）

拓展：從教材整體出發(fā)，適時補(bǔ)充。不僅要教這一課時的知識內(nèi)容，而且要將這個知識點(diǎn)放到整個小學(xué)數(shù)學(xué)教材中加以通盤考慮，加強(qiáng)知識間的縱向聯(lián)系。將單元知識整合，多余的課時我們就用來進(jìn)行拓展。在學(xué)習(xí)兩位數(shù)加減兩位數(shù)的口算后出示以下兩組題，要求學(xué)生正確計算結(jié)果并仔細(xì)觀察，寫一寫：你還發(fā)現(xiàn)什么了？

題組1：

30+40=?45+74=?10+35=

40+30=?74+45=?35+10=

題組2：

30+80+20=?18+24+76=?16+40+60=

30+（80+20）=?18+（24+76）=?16+（40+60）=

這兩題組，除了要求學(xué)生正確計算結(jié)果外，還需要學(xué)生觀察算式的特征。其實(shí)仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，題組1中上下兩題加數(shù)交換了位置，但是和不變。題組2上下兩題加數(shù)的數(shù)字不變，添加小括號后改變了計算先后順序，得到的和不變，而且計算過程也更加方便。這兩組題的思維本質(zhì)就是四年級學(xué)習(xí)的加法交換律和加法結(jié)合律。但我們在三年級的時候已經(jīng)在慢慢滲透，當(dāng)學(xué)生遇到34+54?54+34，18+24+76? 18+（24+76）這類比較大小的題目時不需要去計算出每個算式的具體結(jié)果，只要觀察數(shù)字和符號特點(diǎn)就能比較出大小，既節(jié)省了做題時間，又提高正確率。

（一）活動維：指向高階思維的學(xué)習(xí)活動

蘊(yùn)含高階思維的學(xué)習(xí)活動是較受學(xué)生喜愛的學(xué)習(xí)方式。已經(jīng)有一些研究表明，有趣的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)有利于發(fā)展學(xué)生的高階思維能力。

2020年一場突如其來的新冠肺炎疫情，把全國的孩子都困在了家里。各個學(xué)校積極相應(yīng)“停課不停學(xué)”教育教學(xué)模式，紛紛根據(jù)各學(xué)科特征開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)。本校三年級數(shù)學(xué)組老師根據(jù)三年級上冊已學(xué)知識和疫情相關(guān)信息相結(jié)合開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)。三年級上冊，學(xué)生剛剛學(xué)了“萬以內(nèi)的加法和減法”“倍的認(rèn)識”，結(jié)合每天新聞發(fā)布各地區(qū)的疫情實(shí)時數(shù)據(jù)，我們引導(dǎo)孩子編寫加減法應(yīng)用題一兩道，還有“倍”、“和倍”或“差倍”的應(yīng)用題一道。要求附上相關(guān)新聞報導(dǎo)的圖片，保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，同學(xué)們在釘釘班級圈進(jìn)行展示，班里同學(xué)可以挑選自己感興趣的題目進(jìn)行評論解答。如：1月22日，我國累計確診新冠肺炎患者644人，1月23日累計確診830人，新增多少人？1月22日累計某地區(qū)死亡人15人，一星期后的1月28日累計死亡人數(shù)高達(dá)143人，1月28日累計死亡人數(shù)大約是1月23日的幾倍？并分析死亡人數(shù)不斷上漲背后的原因。

生活中的數(shù)學(xué)有非常豐富的材料，通過分析情景化的數(shù)學(xué)運(yùn)算問題，給學(xué)生提供了一個鍛煉高階思維的平臺。

綜上，在運(yùn)算教學(xué)中將低階思維作為構(gòu)建高階思維發(fā)展的抓手和基底，在正確理解算理和算法的基礎(chǔ)上，還能靈活選用合理的算法，拋開固有的定勢。能夠會運(yùn)用推理，利用知識方法的遷移，創(chuàng)新地解決問題。指向高階思維的運(yùn)算教學(xué)，需要教師擁有基礎(chǔ)和高階相結(jié)合的教學(xué)定位，需要教師挖掘、整合、拓展教學(xué)資源，需要教師開展有深度的計算教學(xué)活動。

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