數(shù)學(xué)形式化在教學(xué)中的處理

張晗

摘 要：高中數(shù)學(xué)課程需要回歸基礎(chǔ)，抓住數(shù)學(xué)概念、法則的本質(zhì)，同時注意邏輯推理和思維的清晰。通過實際問題的引導(dǎo)和分析，學(xué)生能夠自主探究掌握數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，體會其中所蘊含的思想，感受數(shù)學(xué)知識的來龍去脈。教學(xué)中將“形式化”的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于接受的“非形式化”的表達，能夠促進學(xué)生的學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：形式化;非形式化;數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)的形式化包含符號化、邏輯化和公理化三個層次。數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)的簡單化、嚴格化和系統(tǒng)化是形式化的重要體現(xiàn)。形式化可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)體系更加清晰明確地表達出來，有助于理清思路、理清癥狀、找到本質(zhì)關(guān)系。形式化的另一個重要作用是促進數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。理解數(shù)學(xué)知識的形式結(jié)構(gòu)為假設(shè)和分析提供了更好的基礎(chǔ)，同時為發(fā)現(xiàn)和識別已知數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個參考模型。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》明確指出，形式化是數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助學(xué)生用形式語言準(zhǔn)確地傳達一門學(xué)科的含義，但不僅限于形式信息，也可以解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不然數(shù)學(xué)只是單純的符號和公式，枯燥無味。高中數(shù)學(xué)課程需要回歸基礎(chǔ)，抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，理清數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和形成過程。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是適當(dāng)?shù)剡\用和駕馭形式化，使學(xué)生能夠用形式語言表達數(shù)學(xué)內(nèi)容，既能夠解決問題，又可以理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

一、創(chuàng)造情境，理解數(shù)學(xué)概念

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的創(chuàng)造力體現(xiàn)在創(chuàng)造可以感知和激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的情境，調(diào)動學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，從而幫助學(xué)生改變他們解釋數(shù)學(xué)概念的方式。在教學(xué)中，最重要的是描述主體外在表現(xiàn)的文字和符號，也就是數(shù)學(xué)概念的形式化表達。首先確定主體的含義，然后將客體從其相鄰的客體中識別出來，為交流提供一個基本的平臺。數(shù)學(xué)概念根植于生產(chǎn)和生活的實際情境中，而有些數(shù)學(xué)概念是對生活實際的抽象，卻又依賴于已經(jīng)存在的數(shù)學(xué)概念而生成新的數(shù)學(xué)概念。教師要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理論的主要特點。在這里，我們可以以房地產(chǎn)市場作為問題的基礎(chǔ)，得到數(shù)據(jù)的最高值和最低值，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是我們生活中隨處可見的知識，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)覆蓋了生活的方方面面。

其次，學(xué)生們很喜歡在學(xué)習(xí)過程中聽到許多故事。如果教師能夠?qū)?shù)學(xué)與故事結(jié)合起來，會增強數(shù)學(xué)的美感，激發(fā)學(xué)生的好奇心，使其自主進入到故事當(dāng)中，接受新的數(shù)學(xué)知識。在教學(xué)中，教師可以收集大量的資料，比如有關(guān)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)真相的資料和歷史故事，在課堂中用這些故事作為課堂引入，來調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。當(dāng)研究“等差數(shù)列”時，高斯漫畫的故事就是一個很好的案例。高斯在上小學(xué)時，有一次老師出了這樣的一道題目：1+2+3+…+100=？當(dāng)其他同學(xué)在計算上遇到困難時，小高斯很快就得到了5050的解，那么他是如何快速解決問題的呢？這樣一問，學(xué)生的注意力就會轉(zhuǎn)移到等差數(shù)列上，由此再進行新課的講授，學(xué)生就能夠自然而然地將注意力放在課堂當(dāng)中。

二、注重數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化

學(xué)生用自己的語言真實地解釋數(shù)學(xué)概念的能力是學(xué)生對概念有深刻理解的重要標(biāo)志之一。而將日常生活中的語言轉(zhuǎn)化成專業(yè)的數(shù)學(xué)語言則是數(shù)學(xué)教師的常規(guī)事項，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動中必不可少的步驟。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從數(shù)學(xué)教學(xué)的各個方面入手，在用實際的數(shù)學(xué)語言和符號表達思想之前，通過學(xué)生更容易親身體會到的方式傳播新思想，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵他們主動地嘗試、發(fā)揮創(chuàng)造力，并使用他們自己的語言進行解釋和描繪，以獲得對知識的真正理解。教學(xué)中重要的是要創(chuàng)造一個環(huán)境，學(xué)生可以在整個活動中發(fā)揮自己的特長和優(yōu)勢，找準(zhǔn)自己的定位，創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的原理和本質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識難易交叉，既有簡單易懂的知識，又有一些內(nèi)容需要學(xué)生花費大量時間和精力才能夠獲得。為了引起學(xué)生的求知欲，教師可以在教學(xué)過程中融入經(jīng)典的例題進行講解，引導(dǎo)學(xué)生逐步分析和挖掘其中的知識和原理，最終解決問題，幫助學(xué)生掌握分析問題的方法和策略，同時消除學(xué)生在面對數(shù)學(xué)時的恐懼心理，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在課堂上，教師要鼓勵學(xué)生自信地思考、創(chuàng)新和表達不同意見，為學(xué)生營造民主、平等、積極的環(huán)境，尊重學(xué)生的意見和學(xué)生的差異，鼓勵學(xué)生提出異議和困惑。教師應(yīng)注意學(xué)生的抽象思維和形象思維的結(jié)合，使學(xué)生能夠發(fā)散性地提出問題并尋找解決問題的各種方法。教師要鼓勵學(xué)生在思考問題時，摒棄機械思維，從固有模式中跳脫出來，在討論問題時勇于表達自己獨特的想法，提出不同的見解，促進學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

三、形式化與非形式化的結(jié)合

高中數(shù)學(xué)側(cè)重于非形式化，這并不是說完全拋棄形式化，而是需要將二者恰當(dāng)?shù)亟Y(jié)合。數(shù)學(xué)是經(jīng)過多次抽象而得到的理論，通過數(shù)學(xué)符號、語言和組織方式等表現(xiàn)出來。我們所學(xué)習(xí)和接受的數(shù)學(xué)知識也都是形式化的內(nèi)容。當(dāng)數(shù)學(xué)概念脫離大量現(xiàn)實情境和豐富的內(nèi)容后，它在形式化的表達下雖然更加精確和直觀，但其可信性也隨之降低。這里的形式化并不是指純粹的變化規(guī)則，而是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，有邏輯地推理和演算，符合數(shù)學(xué)內(nèi)部的特點，從而推進解題的進程。增加對符合特定數(shù)學(xué)規(guī)律的形式化思想的研究對于理解數(shù)學(xué)也是必不可少的。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)訓(xùn)練學(xué)生進行相對復(fù)雜的形式推理，并且要求學(xué)生能夠使用數(shù)學(xué)符號、組織、名稱、關(guān)系等研究和處理各種類型的問題，了解目標(biāo)的量綱特征，以各種適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式呈現(xiàn)，如坐標(biāo)系、函數(shù)、集合、方程、不等式、圖形等，以便在實際的數(shù)學(xué)問題中提煉數(shù)學(xué)知識，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。在以各種形式獲得數(shù)學(xué)概念之后，必須要強調(diào)直觀性。比如，在中學(xué)里講微積分，如采用的形式語言，顯然行不通，只能借助直觀的非形式化方法給它一個描述性定義。

四、形式化與本質(zhì)和諧共處

在教學(xué)中，教師需要理解形式化與本質(zhì)之間的辯證關(guān)系并且處理好這種關(guān)系，使形式化與數(shù)學(xué)本質(zhì)在課堂中并存，從而進行良好的教學(xué)實踐。在三角函數(shù)的研究中，主要有四個環(huán)節(jié)：輸入、公式的生成、公式的理解、公式的應(yīng)用。許多教師在講課的過程中對前三個環(huán)節(jié)一概而過，將更多的時間和精力花費在對公式的應(yīng)用上。實際上，三角函數(shù)這一部分的公式非常多，如果教師在講課的過程中沒有講清楚每個公式的來龍去脈，不注重對公式本質(zhì)的挖掘，學(xué)生在記憶公式的過程中會出現(xiàn)混淆的情況，而且在對公式進行應(yīng)用時也會出現(xiàn)錯誤，不利于學(xué)生對知識的理解和掌握。因此，在實際課堂教學(xué)中，教師既要注重形式化的應(yīng)用，還要強調(diào)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，做到形式化與本質(zhì)的和諧共處。

五、形式化理念的實施

在教學(xué)實踐中，教師需要認真考慮課程的設(shè)計，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)形式化的本質(zhì);合理地組織學(xué)生的自主探索活動，以免多樣的課堂教學(xué)活動淹沒了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)。教師必須關(guān)注數(shù)學(xué)知識形式化的過程，重視知識的形成過程，力求體現(xiàn)概念、規(guī)則、結(jié)果的演變過程和本質(zhì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷知識的抽象概括、發(fā)生發(fā)展過程，體會知識的生成，而不是關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)論。教學(xué)中強調(diào)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)去分析問題，解決問題，切忌將數(shù)學(xué)教學(xué)停滯在形式化的機械記憶和操作層面。教師需要注重培養(yǎng)學(xué)生從形式化的數(shù)學(xué)概念和結(jié)論中找到核心內(nèi)容，抓住問題的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要注意形式是為內(nèi)容服務(wù)的，要抓住形式化知識中的隱藏知識，不斷鞏固和深化數(shù)學(xué)思想方法，重視思維的訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，適當(dāng)?shù)问交谋磉_。

參考文獻

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