“紙帶類”問題中奇數組數據求加速度的教學探討

摘 要：以2021年高考甲卷第22題為例，用逐差法、平均速度法、Excel和Origin處理圖像法等多種方法探究“紙帶類”問題中奇數組數據的處理方法，探討新課程背景下基于物理核心素養發展的深度課堂教學.

關鍵詞：“紙帶類”問題;打點計時;數據處理;科學探究;解題方法

中圖分類號：G633.7???? 文獻標識碼：B???? 文章編號：1008-4134（2021）21-0060-03

作者簡介：熊忠（1971-），男，云南南澗人，碩士，中學高級教師，研究方向：高中物理教學.

1 問題的提出

“紙帶類”問題的測量一般都用“打點計時”裝置，“打點”可以確定物體的位置，進而測量物體的位移，“計時”可以測量物體運動的時間，有了物體的位移和時間，就可以測量物體的速度和加速度，進而可以確定物體運動的相關物理量，用“打點計時”裝置測量速度和加速度是高中物理教學中基礎的、重要的探究內容之一，在近年來高考試題中反復出現.

“打點計時”無論是用打點計時器或者是頻閃照片、滴水法，還是用視頻解析，其共同特點都是各數據點時間間隔具有等時性.這類問題求加速度的方法都是相同的：對偶數組數據，一般采用逐差法，但是對奇數組數據，往往涉及數據的舍棄問題，鑒于高中物理對誤差理論要求不高，這給不少學生解決這類問題帶來了不少困惑，如何舍棄數據，有沒有更好的方法處理奇數組數據？本文以2021年全國甲卷22題為例，探討該類問題的解題方法.

2 例說“紙帶類”問題中奇數組數據求加速度的方法

例題 （2021年高考甲卷 22題）為測量小銅塊與瓷磚表面間的動摩擦因數，一同學將貼有標尺的瓷磚的一端放在水平桌面上，形成一傾角為α的斜面（已知sinα=0.34，cosα=0.94），小銅塊可在斜面上加速下滑，如圖1所示.該同學用手機拍攝小銅塊的下滑過程，然后解析視頻記錄的圖像，獲得5個連續相等時間間隔（每個時間間隔ΔT=0.20s）內小銅塊沿斜面下滑的距離si（i=1，2，3，4，5），見表1.

由表中數據可得，小銅塊沿斜面下滑的加速度大小為m/s2，小銅塊與瓷磚表面間的動摩擦因數為（結果均保留2位有效數字，重力加速度大小取9.80m/s2）.

2.1 解法一：逐差法

（1）方法一：間隔逐差法.由于該組數據為奇數，舍棄中間數值s3.

①a=s5+s4-s2+s16ΔT2=

（12.74+11.02）×10-2-（7.58+5.87）×10-26×0.202m/s2≈0.43m/s2

②對小銅塊受力分析，根據牛頓第二定律有

mgsinα-μmgcosα=ma

代入數據解得

μ≈0.32

（說明：以下解法略去②問中求動摩擦因數的步驟）

（2）方法二：相鄰逐差法

由勻變速運動規律有

a1=s2-s1ΔT2，a2=s3-s2ΔT2，a3=s4-s3ΔT2，a4=s5-s4ΔT2

而a=a1+a2+a3+a44=s5-s14（ΔT）2=

（12.74-5.87）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.42375m/s2≈0.43m/s2

（3）方法三：對半逐差法

舍棄第一個數據s1，把數據分為兩組：

a′2=s5-s32（ΔT）2

a′3=s4-s22（ΔT）2

a=a′2+a′32=（s4+s5）-（s3+s2）4（ΔT）2=

（12.74-5.87）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.42375m/s2≈0.43m/s2

或者舍棄最后一個數據s5：

a′1=s3-s12（ΔT）2

a′3=s4-s22（ΔT）2

a=a′1+a′32=（s4+s3）-（s2+s1）4（ΔT）2=（20.33-13.45）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.43m/s2

理論上說，上述三種逐差法計算結果誤差是不一樣的，根據誤差分析[1]，使用逐差法時要注意兩點：一要充分利用實驗數據;二要求差時差值盡量大，故采用方法一較為合理，即舍棄中間數值誤差較小.

使用逐差法總是要舍棄數據，沒有充分應用數據減小偶然誤差.還有沒有更好的方法？

2.2 解法二：平均速度法

根據題目條件，銅塊下滑時做勻變速直線運動.由勻變速直線運動的規律可知，中間時刻的瞬時速度等于該段位移內的平均速度，于是有

v13中=s1+s2+s33（ΔT）

v45中=s5+s42（ΔT）

a=v45中-v13中2.5（ΔT）=3（s5+s4）-2（s3+s2+s1）15（ΔT）2=0.4293m/s2≈0.43m/s2

“逐差法”在處理奇數組數據時，總是要舍棄一組數據，而利用“平均速度”法則可以不舍棄任何原始數據，數據均得到充分利用，最大限度地減少了隨機誤差，有利于培養學生科學、嚴謹的態度和尊重事實的證據意識.該方法從學生的基礎知識出發，緊緊圍繞加速度的定義，學生容易理解，也更有利于學生大概念的生成，有很好的教育和實踐意義.

2.3 解法三：圖像法

2.3.1 方法一：v-t圖像法

以起始位置為0時刻，由解法二可求出s1、s2、s3、s4、s5各段中間時刻的瞬時速度見表2.

利用Excel的數據處理功能，可以很方便地作出上述運動的v-t圖像，如圖2.從擬合出的直線圖可以看出，速度和時間的相關系數r2=1，說明二者間有很好的線性關系，擬合的公式為

y=0.4295x+0.2505

結合勻變速運動速度公式v=v0+at可知，該運動的加速度為0.4295m/s2，即約為0.43m/s2，初速度為0.2505m/s.

2.3.2 方法二：s-nT2圖像法

由運動學公式，有

s2=s1+aT2

s3=s1+a2T2

s4=s1+a3T2

s5=s1+a4T2

……

sn+1=s1+anT2

設起始時刻為0時刻，把題中條件轉化為表3數據.

用Origin8.0分析以上數據，求出sn+1和nT2間的關系.Origin軟件是數據分析和繪圖軟件，具有數據的排序、計算、統計、曲線擬合等各種完善的數學分析功能，在教學科研和工程技術中有非常廣泛的應用.該軟件在擬合直線時，采用最小二乘法作為計算內核，得到的結果相對比較精確.

圖3為由Origin8.0軟件擬合出的sn+1和nT2間的直線關系圖.由圖4中Results Log可見，二者間的直線回歸方程為y=a+bx，其中截距a=0.05868，斜率b=0.4295，結合sn+1=s1+anT2，可知物體的加速度為a=0.4295m/s2，即約為0.43m/s2.相關系數r=1，說明sn+1和nT2間有很好的線性關系.

用Excel和Origin8.0軟件處理實驗數據，與逐差法和平均速度法處理實驗數據進行相比，用計算機軟件處理的數據相對誤差要小很多，而且數據間的函數關系形象直觀，簡化了數據處理過程，提高了實驗結果的準確度，也避免了人為因素操作不規范等造成的誤差，充分體現了用計算機軟件處理實驗數據的過程中有顯著的應用價值.

3 結束語

科學探究是物理學科核心素養的重要內容，新課標對科學探究提出了“問題、證據、解釋、交流”四個關鍵因素[2].科學探究在獲取證據后，如何基于證據得到結論，并且對問題作出解釋，最后對過程和結果交流、反思等，其核心是對獲得的實驗數據進行分析和解讀，進一步開展交流討論.在教學過程中，教師要基于核心素養的發展意識，創設合適的問題情境，通過對問題的加工和處理，引導學生運用所學知識科學地分析問題，嘗試提出相關的改進方案，根據方案進行探究，最終完成核心素養的自我建構.教師在教學過程中，要充分利用信息化技術更新教學手段，實現教學手段的多樣化，滿足學生發展的多樣性需求，提升學生的信息素養，開展真正有深度的課堂教學，讓基于核心素養發展的教學真正落地.

參考文獻：

[1]楊俊等. 逐差法求勻變速直線運動加速度的探討[J]. 湖南中學物理，2020（03）：36-37.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

（收稿日期：2021-08-14）