“教學熵”場景下小學數學概念的有效建構

陳小彬

【摘 要】著名的物理學家、數學家克勞修斯提出熵增理論，他認為：萬物都遵循熵增定律，如果無法抵抗熵值的增加，那么就會成為被環境所迭代的人。教學過程要充分應用“反熵增思維”，讓教學“熵”助力兒童數學思維從“消減”走向“重建”。

【關鍵詞】教學熵 學習系統 問題情境 多元評價

當下教育所提倡的教育視野要從“知識課堂”走向“生命課堂”，教學方式要從“獨白”走向“對話”，教學活動要從“封閉”走向“開放”，這正是反“熵增”思維。在為思維發展而教的背景下，教學“熵”有助于兒童從原來靜聽的模式中走出來，讓他們不僅是接受者、聽者、答者、學習者，而且是發現者、參與者、問者、討論者、活動的策劃者、踐行者、自控互控和自評互評者。從而真正實現兒童數學概念在教學“熵”場景下的有效建構。

一、何謂“教學熵”

根據熱力學第二定律：熵永遠在增加。學生在學習“系統”中也存在著“熵增”，兒童數學思維的活躍度就是由“熵”決定的，當熵增達到最大值時，則走向孤立、閉塞，學生的思維就走向“死”結。“教學熵”就是反“熵增”思維，建立一個流動的、開放的兒童學習系統，打破思維平衡，構建從無序到有序的學習過程，來避免“熵增”。

因此，在“教學熵”視域下教學，賦予兒童學習思維的高度自由、學習方式的高度自主、學習體系的高度結構化，讓兒童學習在與外界的交換中使得整個系統產生耗散，同時產生“負熵”，從而讓兒童思維不斷進行“重建”，即從無序走向有序、從低階走向高階、從零散走向結構化。

二、“教學熵”給兒童數學思維帶來了什么

1.開放系統：讓兒童認知從散點向體系的縱深集結

教學過程要為學生提供能與現實生活世界和個體經驗世界溝通的內容，要有助于學生形成內外世界既區別又融通的觀念。“教學熵”主張開放學習系統，關注作為人的生命實踐活動的過程形態和關系形態的知識，從而促進兒童認知從散點向體系的縱深集結。

2.問題驅動：讓兒童思考從無序向有序的層級遞進

“思維是從問題的提出開始的，問題是思維的影子。”“教學熵”主張打破“熱平衡”，不斷地遠離平衡。因此，數學教學設計要貼近學生生活實際，引發學生積極地思考和探究，然后以思考為目的，環環相扣、層層推進，引導學生把生活問題抽象成數學問題。學生經歷相互啟發與等待、糾正與肯定的過程，發揮學生的自主性，從而讓兒童思考從無序向有序的層級遞進。

3.碰撞融通：讓兒童思維從低階向高階的多維躍遷

每個學生積極主動的參與、生生深度的合作交流、師生的有效互動是思維涌動的原動力。“教學熵”視域下，教師要指向目標實現的開放性問題，為全體學生參與到課堂教學活動中創設平臺，關注教學過程中師生、生生思維碰撞，捕捉和展現學生思維過程中有教育價值的資源，并通過這些資源的有效利用來促進每個學生思維從低階向高階的多維躍遷。

三、“教學熵”場景下小學數學概念建構的行動研究

（一）開放“學習系統”，讓數學概念在“外聯”與“內驅”中集成生發

1.打開學習“朋友圈”，統計思維在“碰撞”與“聯動”中激活

在萬物互聯的當下，學習不可能成為“單邊”活動，建構學習“朋友圈”已經成為學習的重要方式，師生互動、生生共聯、家校共育、線上共學共享都是學習的重要“同盟軍”，面對“活”起來的大課堂，面對“動”起來的新兒童，只有開發學習系統，積極有效回應“動”，才有可能促進形成新的具有連續興奮點的思維提升，使學習過程真正成為師生、生生共同參與的動態生成的遞進過程，讓學習向縱深推進。

例如蘇教版數學四年級上冊《可能性》的數學。

教學中通過生生互動、師生互動、親子互動、網絡互動，多元打造學生學習“朋友圈”，幫助學生解決學習過程中的困難，促進他們的思維發展，從而形成結構化的思維方式。小學生社會生活經驗不足，通過親子互動，可以提升兒童收集信息、整合資源的能力;通過生生互動，可以產生思維火花，讓他們找到解決問題的路徑，從而實現兒童思維在“碰撞”與“聯動”中激活。

2.觸發生長“引力波”，問題思考在“悟錯”與“化錯”中突圍

在教學過程中教師往往談到“錯誤”就色變，其實錯誤往往也是把脈學生思維邏輯起點的憑借。教師有效地利用學生的錯誤資源，努力做好資源回收呈現、交流互動的準備，再通過點撥性的問題思考引導學生大膽嘗試，恰恰能夠打開學生思路。在面對學生錯誤資源的時候，教師不僅要注意正確答案與錯誤答案的區別，也要注意學生思維邏輯的內在關聯，還要注意思維正向與逆向之間在轉換意義上的多向關聯，從而促進學生從“錯誤”到“悟錯”，再到“化錯”的思維轉變。

例如，蘇教版數學四年級下冊《解決問題的策略（畫圖）》中，教師提問：“你能想到什么辦法，幫助我們直觀地、清楚地看清數量關系，找到解決問題的辦法嗎？”

隨后依次展示、點評、完善學生作品。

以上教學中，教師指向教學目標，對學生的思維錯誤或不完善的思考進行逐層遞進的呈現，減少認知的盲目性，不斷讓學生喚醒和提取自己已有認知結構中的相關知識，建立新知識與已有認知結構的聯系，促進學生應用已有知識理解新知識，也有利于對新知識的組織和系統化。

（二）設計“問題情境”，數學概念在“低階”與“高階”中能動建構

1.在“是什么”的發問中歸納總結，促進數學概念從模糊走向清晰

在數學知識的教學過程中，教師不能僅僅停留在知識的告知層面，要通過“多元聯系表示”，利用數學對象表現形式的多樣性，對同一數學問題用多種形式進行表征，比如，根據數學原理的內容特點和學習需要，以組合的方式給出，或者以動態的方式靈活地向學生提供圖、表、文字或符號等各種表示方法，使學生能了解數學對象更多不同方面的特征，再通過比較、分析、溝通、聯系，引發學生的數學思考，促進學生在歸納總結中真正理解“是什么”。

例如蘇教版數學五年級下冊《分數的意義》教學：

師：這是一塊餅的四分之三，這是四塊餅的四分之三，這是五塊餅的四分之三，這三幅圖中的單位“1”相同嗎？誰來說一說分別把誰看作單位“1”。

師：誰來說說四分之三表示什么？

生1：把一塊餅平均分成4份，取其中的3份。

師：這里只表示了1個餅的，那下面的兩個沒有包含進去，你能概括地說一說嗎？

生2：四分之三就是表示把單位“1”平均分成4份，取其中的3份。

師：（小結）無論是一塊餅、四塊餅還是五塊餅，都可以把它看作單位“1”，把它平均分成4份，取其中的3份，就表示。

教學中，通過學生自主探索與研究，對同一對象進行不同方式的表征，在此情境中，學生可以在把握數學對象不同方面的基礎上，將不同表示中所蘊含的信息組合在一起，這就大大增加了建立數學對象不同方面聯系性，理解并把握數學對象本質特征的可能性。

2.在“為什么”的追問中探索理解，促進數學思考從淺表走向深層

心理學研究表明，每個學生都有發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力和創造潛能，所有數學知識的學習只有通過學生自身的“再創造”活動，才能納入其認知結構中，才可能成為被學生內化的知識。因此，數學學習過程中“為什么”的追問尤其重要，它既有促進學生理解知識的效能，更有促進學生對新知識進行合理編碼，使之更有效地促進數學思考，理解數學原理的效能。

例如蘇教版數學三年級上冊《認識分數》教學：

師展示學生作品，并按，分類呈現在黑板上。

師：（縱向觀察）涂色部分都是表示，他們是怎樣得到圖形的的？

師：（追問）這些涂色部分的形狀和大小不一樣，為什么都能用表示？

生：他們都是把圖形平均分成了4份。

師：為什么這些圖形涂色部分都能用表示？

生：都是把圖形平均分成8份，每一份都是它的。

師：（追問）由上面的操作你還能想到什么？

師：（橫向觀察）都是相同的圖形，涂色的都是其中的一份，為什么表示的分數卻不同？

從上面的教學片段中，可以看出教師聚焦分數概念的本質，層層遞進地追問“為什么”，引導學生思考分數概念建構的過程形態的知識，關注學生學習過程中點狀知識背后的關系形態的知識。

（三）重建“多元評價”，數學概念在“感性”與“理性”中聚合奔騰

為“理解而教”已然成為當下教育的需求，理解的過程也是一個循序漸進的過程，為了能夠精準地助力兒童數學思維發展，應該如何評價學生所處在的不同層次呢？SOLO分類評價法無疑成為一個較好的選擇。SOLO分類評價法是把學習結果從低到高劃分為五個層次（如下表）。根據這樣的評價體系，在教學過程中我們對學生思維發展建立評測點。

學習是動態的，理解水平是變化的，理解是循序漸進的。學生數學學習過程中，以SOLO分類理論為開放式評價探索，根據能力、思維操作、一致性與收斂和應答結構等方面對學生的學習進行層級對應，關注學生對知識理解深度來進行學習效能的評價，不僅能反映學生學習的“量”，還能反映學習的“質”。而這個“質”，就是學生的思維水平。

在為“理解而教”的當下教育，兒童思維生長已經刻不容緩。為了讓兒童思維不斷重建，通過實踐證明，在“教學熵”理論視域下，開放“學習系統”，讓數學概念在“外聯”與“內驅”中集成生發;設計“問題情境”，讓數學概念在“追問”與“探尋”中能動建構;重建“多元評價”，讓兒童概念在“感性”與“理性”中聚合奔騰，不斷抵消兒童數學學習過程中“熵增”現象，并產生“負熵”。從而真正實現兒童數學思維從散點向體系縱深集結，從無序向有序層級遞進，從低階向高階多維躍遷。