為學生創設更大的自主探究空間

唐永

摘? 要：對“不同函數增長的差異”一課的教學設計從整體性和細節性兩個方面進行研究，分析設計中的六個關鍵細節問題，并給出教學建議. 同時，提出探究性教學要深刻理解課程標準的要求與教材的編寫意圖，要為學生創設更大的自主探究空間.

關鍵詞：核心素養;教學設計;細節問題;探究教學

一、教學設計案例

1. 創設情境

（1）上海四行倉庫抗戰紀念館：八月份參觀人數直線上升.

（2）新聞視頻：新冠肺炎疫情指數級增長.

2. 數學建構

探究1：指數函數與一次函數增長的差異.

問題1：選取適當的指數函數與一次函數，探索它們在區間[0，+∞]上的增長差異，你能描述一下指數函數增長的特點嗎？

追問1：以函數[y=2x]和[y=2x]為例，在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象. 觀察這兩個函數的圖象，它們在位置上有什么關系？這說明了什么？

追問2：取更大的[x]值，在更大范圍內觀察它們的增長情況，從圖象和數表上，你能發現什么？

追問3：若以函數[y=2x]和[y=100x]為例呢？選擇不同的指數函數和一次函數重復上述過程，你得到的結論分別是什么？

追問4：通過對特定的指數函數和一次函數的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結論？

探究2：對數函數與一次函數增長的差異.

問題2：選取適當的對數函數與一次函數，探索它們在區間[0，+∞]上的增長差異. 你能描述一下對數函數增長的特點嗎？

追問1：不妨以函數[y=lgx]和[y=110x]為例，在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象. 觀察這兩個函數的圖象在位置上有什么關系？這說明了什么？

追問2：如果將[y=lgx]縱坐標擴大[1 000]倍，再對函數[y=1 000lgx]和函數[y=110x]的增長情況進行比較，仍有上述規律嗎？

追問3：通過對特定的對數函數和一次函數的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結論？

問題3：如果將一次函數、指數函數和對數函數同時比較，你能得到什么結論？

追問1：在同一平面直角坐標系中畫出一次函數[y=2x]，指數函數[y=2x]和對數函數[y=log2x]的圖象，比較他們的增長有何差異？

追問2：一次函數[y=kx k>0]，指數函數[y=ax][a>1]和對數函數[y=logbx b>1]的增長有何差異？

3. 數學應用

4. 課堂小結

具體內容略.

二、課時教學設計的整體性分析

本輪課程改革提倡單元教學設計，強調從宏觀上把握知識體系，從整體上綜合協調數學知識、思想方法、能力素養等各要素之間的關系，把課時教學放置到整章、大單元系統中加以統籌，明確課時在本單元乃至整個知識體系中的位置，理清知識的上下位關系，從整體上架構，克服課時教學將學習內容碎片化的不足.

本節課內容選自人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）必修第一冊第四章“4.4.3 不同增長函數的差異”. 對本章的整體進行分析：先有指數運算、對數運算為研究指數函數、對數函數做好數學運算上的準備;再建立指數函數和對數函數的概念，研究其圖象與性質;然后把幾個函數放在一起，從增長差異比較的角度進一步認識這些函數的特征（個別研究到比較研究，為的是能夠在面臨問題時作出選擇判斷）;最后是數學應用. 函數的應用、二分法與求方程的近似解是數學內部的應用，數學模型是將數學知識用于解決實際問題. 現實中直線上升、指數爆炸、對數增長的現象大量存在，冪函數、指數函數和對數函數在現實生活中的應用非常普遍. 這樣，“增長差異的比較”的地位作用就非常明顯了.

三、課時教學設計的細節性研究

具體到本節課內容，首先，要想清楚要解決的問題是什么：一是增長快慢;二是增長方式. 先快后慢、先慢后快、穩定等. 第二個問題就是如何用數學的方式來刻畫，教材上用了表（數）、圖（形）相結合的方式，描述性的語言較多，如“增長速度不在同一個‘檔次’”“越來越……”之類. 其次，要研究一些細節問題，如“創設什么情境引入更恰當”“如何用數學的方式刻畫快慢”“如何更精確地量化增長差異”“要不要給出增量比的符號[ΔyΔx]”等. 這些細節有些可能關乎全局，需要精心雕琢.

1. 選擇什么情境引入更恰當

情境引入主要有以下三種形式. ① 結合當今社會熱點現象、熱點問題. 例如，隨著電影《八佰》熱映，參觀上海四行倉庫抗戰紀念館的人數直線上升;2020年初，新冠肺炎疫情暴發階段，感染人數呈指數級增長;等等. ② 選自教材中的“情境”. 例如，[A，B]兩地景區2011年至2015年的游客人次及逐年增加量. ③ 教師自編生活“情境”. 例如，開車上班速度與時間的函數.

創設問題情境，應該考慮整個章節的教學連貫性，盡量選取可以在多個課時使用的較為綜合性的情境素材，設計章節系列學習活動（問題串）. 之前的教學中，教材通過[A，B]兩地景區游客人次引入指數函數的概念，所以建議本節課繼續選擇“[A，B]兩地景區游客人次”作為問題情境，深入研究它們增長方式的差異.

2. 為什么只在區間[0，+∞]上進行研究

許多參賽教師忽略了這個問題，這也應該是探究的一部分. 事實上，在區間[-∞，0]上，指數函數[y=2x]的值恒大于0，一次函數[y=2x]的值恒小于0，對數函數[y=log2x]沒意義，所以重點研究區間[0，+∞]上它們的增長差異，可以使研究結論更具廣泛性和價值性.

3. 如何用數學語言刻畫“指數函數[y=2x]的增長趨勢最終會快于一次函數[y=2x]的增長趨勢”

教材選擇指數函數[y=2x]和一次函數[y=2x]，在[0，+∞]內兩個函數圖象有兩個交點，當[x>2]時，都有[2x>2x]. 但是，這并不意味著[y=ax]與[y=kx]總有交點，如函數[y=ex]的圖象恒在直線[y=x]的上方. 因此，有參賽教師表述“總存在一個交點，在這個交點之后，都有[2x>2x]”是不嚴謹的. 如何用數學語言刻畫這種趨勢是本節課的一個難點，許多教師采取直接講述“總會存在一個[x0]，當[x>x0]時，恒有[2x>2x]”，這樣學生就失去了一次珍貴的抽象概括機會. 只有當學生討論明白：如果兩個函數有交點，在這個交點之后，總會存在一個[x0];若沒有交點，仍然存在一個[x0]（事實是存在無數個[x0]）. 自然能夠用符號語言表達了，學生的數學抽象、邏輯推理素養也得到了提升.

4. 線性函數[y=kx k>0]在增長差異的比較中充當什么角色

本章通過指數函數與一次函數增長差異的實例引入指數函數的概念，本小節之所以繼續選擇一次函數[y=2x]與指數函數[y=2x]進行比較，除了能體現這兩種函數增長差異外，還能較好地體現指數函數[y=2x]“爆炸性”增長的特點. 在與對數函數[y=lgx]的比較中， 選擇一次函數[y=110x]而沒有選擇一次函數[y=2x，]是因為一次函數[y=110x]的增長速度比一次函數[y=2x]更慢，而且一次函數[y=110x]與對數函數[y=lgx]有交點，這樣更能直觀體現對數函數[y=lgx]的增長逐漸趨緩的特點. 由于學生對線性函數已經有了認知基礎，其變化規律非常直觀. 因此，線性函數作為“中間量”，架起了指數函數與對數函數比較的橋梁，作為“一把尺子”，度量指數函數和對數函數的增長差異，更能突出“指數爆炸”和“對數增長”的特征.

5. 要不要補充變化率[ΔyΔx]

這是最具爭議的問題. 有的教師認為此時講變化率會加重學習負擔;而有的教師則認為，不講變化率就很難講清變化趨勢. 實際上，數學中有精準的方法，也就是用導數，用瞬時變化率來刻畫變化率. 在這個問題上，筆者傾向于補充. 章建躍博士曾指出，加強一般觀念指導數學學習與探究活動，發展學生的理性思維.“運算”是一般觀念，在指數函數概念的抽象過程中，對[A]地景區每年的游客人次作減法運算，得到游客人次的年增加量，對[B]地景區每年的游客人次做除法運算，得到游客人次的年增長率. 學生已經有了這方面的運算基礎，補充運算[ΔyΔx=y2-y1x2-x1]，學生是能夠理解的，教學中即使不補充，也可以引導學生觀察表格中的數據，自變量[x]的增加量相同，即[Δx]恒為定值，只要看函數值[y]的增量[Δy]即可. 本質上是滲透了變化率，從變化率的角度讓學生感受不同函數的增長差異.

6.“直線上升”“對數增長”“指數爆炸”在生活中有什么含義

讓學生列舉生活中符合指對數增長的案例，感受三者之間的差異，體會數學來源于生活又應用于生活，這是一個不可或缺的環節.

“指數爆炸”可以有以下理解：① 任何事物都不能無限制地指數增長，否則就會產生災難，如澳大利亞兔子數量“大爆炸”;② 從事業的角度，妥善進行投資，實現財富指數增長，就有可能成為商界大亨;③ 從努力學習的角度，多一分努力，就多一分收獲. [1.01365≈37.8]，[1.02365≈1 377.4]. 在學習上要霸氣和張揚，呈現指數增長;在做人上，要像對數函數一樣，沉穩收斂.“對數增長”的例子，如體育運動，體育鍛煉的前幾天，進步神速，但過一段時間穩定下來后，再進步就沒有那么容易了，想成為職業選手更是難上加難.

四、課時教學設計案例反思

1. 要深刻理解課程標準的要求和教材的編寫意圖

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）對“函數與數學模型”提出的內容與要求是：① 理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具，在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律. ② 結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義.③ 收集、閱讀一些現實生活、生產實際或者經濟領域中的數學模型，體會人們是如何借助函數刻畫實際問題的，感悟數學模型中參數的現實意義.

面對實際問題時，為了準確描述它的變化規律，需要選擇恰當的函數類型來構建數學模型，為此就要先分析清楚不同類型函數的增長差異. 教材通過具體實例對不同函數的增長差異進行比較，緊接著安排了“函數的應用（二）”一節，引導學生深入學習運用模型思想發現和提出問題、分析和解決問題的方法. 由于增長差異的比較與現實世界有著非常緊密的聯系，所以是加強綜合實踐活動、推進高中數學育人方式改革的一個有力抓手.

2. 要為學生創設更多的探究可能

探究教學是指教師針對教學中的某個教學內容，精心設計能引發學生積極探索的教學過程，使學生在體驗數學研究的過程中提高獨立思考、合情推理等方面的能力. 因此，在教學中要重視探究內容的創設和探究時機的把握.

（1）讓學生去探索研究.

對一個數學對象的研究往往可以從四個角度進行分析：為什么研究，研究什么，如何研究，研究結果. 引入不同類型現實問題情境，增長方式存在很大差異，這就是“為什么研究”. 在確定研究內容“一次函數、指數函數和對數函數三類函數增長的差異比較”之后，“如何研究”就是最重要的環節.

在上述教學案例中，出示探究1后，緊接著提出問題1及4個追問，把學生的思維強行帶入教師預設的軌道，禁錮了學生的思維，看似探究實則是“假探究”.舍得留出時間給學生，讓學生自行規劃研究思路（從具體到抽象、從特殊到一般），思考具體問題，如研究的區間、函數的選擇、圖象的繪制、函數的調整、信息技術的支持等. 探究1具有示范性，引導學生類比上述研究過程，繼續探究2，進一步領會研究方法. 例如，在更大的范圍內，用幾何畫板軟件畫函數[y=2x]和[y=100x]的圖象，交點可能顯示不出，此時就是學生探索的最好契機：如果在幾何畫板軟件的數軸上同時改變[x]軸和[y]軸的單位長度，圖象會發生什么改變？（大小改變但形狀不變）;如果只改變[x]軸（或[y]軸）的單位長度，圖象會發生什么改變？（圖象會被伸壓，但由于本堂課研究的是幾個函數增長的差異，所以不影響繼續研究）.

（2）讓學生去體驗感悟.

知識的學習只有通過自身的體驗才能得到同化和順應. 教學中要鼓勵學生敢于結合已有經驗說出自己的感受，發揮自己的想象，體驗和感悟知識產生、形成和發展的過程. 只有這樣，才能促進學生深刻理解數學本質，實現深度學習. 例如，在上述案例中學生觀看新冠肺炎疫情傳播視頻時，驚呼數據的增長之快，自發地說出“爆炸增長”，此時可以“趁熱打鐵”，讓學生借助工具計算[1.01]的平方和立方，進而提出問題：猜測[1.01365]大概是多少？[1.01365≈37.8]，讓學生直觀感知“指數爆炸”的含義.

在總結“函數[y=2x]與[y=2x]在[0，+∞]上都是單調遞增，但它們的增長速度不同，而且不在同一個程度上”時，引導學生發揮想象：取更大的[x]值，在更大的范圍內兩個函數圖象的關系是什么？隨著自變量的取值越來越大，函數[y=2x]的圖象幾乎與[x]軸垂直，可謂是“一飛沖天”，函數值“爆炸式”增長，函數[y=2x]的增長速度保持不變，與函數[y=2x]的增長速度相比，幾乎“微不足道”.

（3）讓學生去概括表達.

新高考加大了對關鍵能力的考查力度. 其中，閱讀理解和語言表達能力是學生亟需提高的. 符號語言的使用，使數學表達具有簡潔性、抽象性、邏輯性等特點，可以極大地縮減數學思維過程，更有利于學生認識和表達數學對象的本質. 例如，作出函數[y=2x]與[y=2x]在區間[0，+∞]上的圖象，歸納它們在位置上的關系和趨勢時，讓學生反復推敲總結，最終提煉出符號語言“總會存在一個[x0]，當[x>x0]時，恒有[2x>2x]”. 概括“三種函數的增長差異”時讓學生用不同的語言表達，如文字語言“一次函數的增長速度總是不變;指數函數的增長速度會越來越快，并且指數函數的函數值最終總會大于一次函數的函數值;對數函數的增長速度會越來越慢，并且對數函數的函數值最終總會小于一次函數的函數值”;符號語言“總存在一個[x0]，當[x>x0]時，有[ax>kx]，[kx>logbx]，[a>1，b>1，k>0]”;甚至用詩歌的形式表達，如“增長模型各不同，指數增長最震撼，直線增長穩上升，對數增長慢悠悠”.

3. 要注重落實核心素養的課堂定位

《標準》中提到，函數單元要重點提升學生的數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象和邏輯推理素養. 本節課主要提升學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理和數學建模素養. 那么，課堂教學中如何讓這些核心素養落地生根？

（1）從函數性質的角度來看.

增長差異是對函數單調性的進一步深化，不同函數的增長差異刻畫了它們增長方式及變化速度的差異. 補充[x1，x2]上的變化率[ΔyΔx]的概念，作函數[y=2x]和[y=2x]的圖象時，在數表中增加一列數據[ΔyΔx]，從數據上能夠直觀看出函數[y=2x]的變化率恒定，即增長速度保持不變. 而函數[y=2x]的變化率越來越大，即增長速度在增大，引導學生從代數角度理解圖象的陡緩程度. 利用幾何畫板軟件畫出函數[y=2x]，[y=2x]和[y=log2x]的圖象. 通過比較圖象，分析三個函數增長的快慢，特別是當[x]的值比較大時，直觀感知函數值的差異，進一步形成更一般的猜想. 借助數表、幾何畫板軟件和GeoGebra軟件進行教學，讓學生經歷通過圖形建立直觀猜想、通過計算驗證結論的思維與操作過程，提升學生的直觀想象和邏輯推理素養，通過概括與表達提升學生的數學抽象素養.

（2）能否選擇合適的函數模型刻畫實際問題的變化規律.

學生選擇合適的函數模型刻畫實際問題的變化規律的基礎是對各類函數的特征有準確的把握，對每類函數到底刻畫了哪類現實問題的變化規律有深入的了解，同時對各類函數的增長差異心中有數. 由此可見，發展學生的數學建模素養：一是準確理解各類基本初等函數的概念、性質，以及不同類型函數刻畫了哪一類現實問題的變化規律，準確把握各類函數的增長差異;二是加強用函數建立數學模型解決實際問題的實踐. 前一個是數學知識基礎，后一個是數學建模實踐，兩者缺一不可. 設計案例中補充了一個簡單應用，讓學生活學活用，理論與實踐相結合，提升學生的數據分析和數學建模素養.

五、結束語

教學設計是課堂教學成功的決定性因素，具有示范、研討的意義. 教師要準確理解和把握課程目標、課程內容，合理設計課時目標，創設恰當情境，在情境的引導下，讓學生發現問題和提出問題，在多媒體的支持下解決問題，落實“四基”，培養“四能”，促進學生數學學科核心素養的形成和發展. 在探究性教學中，教師應該給予學生充分探索、交流的時間與空間，促使學生養成仔細觀察、主動探索、自覺交流、善于表達的習慣，使學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.

參考文獻：

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