讓傳統板書成為激發數學思維的支架

陳算榮 董琳琳 陳建祥

摘? 要：在傳統板書逐漸被現代媒體板書取代的當下，有必要為其發聲. 等比數列前[n]項和公式是高中數學的重要公式之一，在引導學生探究等比數列前[n]項和公式的過程中，很多教師的處理浮于表面，沒有達到探尋方法實質的效果，學生的思維并沒有得到主動發展. 抓住知識的本質，巧妙利用傳統板書，可以有效引導學生進行類比思考，從而幫助學生主動發現錯位相減法，體驗探尋公式推導方法的過程.

關鍵詞：傳統板書;等比數列;數學思維;教學支架

一、引言

“等比數列前[n]項和”經常出現在高中公開教學選題中，不僅因為等比數列前[n]項和公式是高中數學的一個重要公式，也因為其推導過程中蘊涵著類比、特殊到一般等數學思想方法，是培養學生數學運算和邏輯推理等素養的落地點. 然而，很多公開教學課在公式推導探究過程中出現“有形無實”的現象，忽略公式生成過程的教學，并沒有很好地發展學生的數學思維，體現和落實核心素養.

在日常教學中，一些教師在引導學生探究等比數列前[n]項和公式的推導時，表面上讓學生類比等差數列前[n]項和公式的推導，但是對于類比什么、如何類比的處理不盡如人意. 學生在等比數列前[n]項和公式的推導過程中雖然能夠體會到倒序相加法行不通，但是尋找合適的方法的過程卻被教師的“替代思維”給淹沒了. 教師往往急于告知學生“是什么”，至于“怎么樣”和“為什么”學生不得而知. 因此，學生并沒有真實經歷發現和理解錯位相減法的過程. 這樣的教學會導致學生死記硬背公式，而體會不到公式推導過程中的數學本質和數學之美.

上述現象的出現和問題的存在，究其原因，主要有以下三個方面：（1）教師對公式推導方法的知識本質分析不到位;（2）教師對啟發學生思考及落實核心素養的路徑不清晰;（3）很多教師在使用幻燈片等多媒體技術進行等比數列前[n]項和公式教學時，忽略了對傳統板書的價值開發.

基于這些問題及診斷，我們開展了教學設計思考和教學實踐. 本文旨在通過呈現公式推導關鍵部分的教學實施片斷，以及相應的板書設計和使用，闡明如何在教學過程中抓住知識本質，巧用傳統板書，引導學生思考和探索等比數列前[n]項和公式的推導方法，幫助學生把握錯位相減法的實質，感悟數列求和過程中蘊涵的數學思想. 同時，讓學生充分感受等比數列前[n]項和公式表露出來的數學之美，加深學生的印象，營造高效的數學課堂.

二、教學實施片斷

課的開始，教師先給出問題情境：古印度的國王舍罕王打算重賞國際象棋的發明者宰相西薩·班·達依爾，問他想要得到什么賞賜. 這位宰相跪在國王面前說：“陛下，請您在國際象棋棋盤的第一個小格內賞給我1粒麥子，在第二個小格內賞給我2粒麥子，在第三個小格內賞給我4粒麥子，依此類推，每一個小格內的麥子數量都是前一個小格內的麥子數量的2倍. 陛下啊，請把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”國王能滿足宰相的要求嗎？

然后，教師引導學生從中提煉出要解決的數學問題：麥粒總數=[1+2+22+…+263]. 接著，教師引導學生表述：這是一個求以[1]為首項、[2]為公比的等比數列前[64]項和的問題. 由此引出本節課的課題.

下面是妙用板書促進學生思考和探索等比數列前[n]項和公式的教學過程.

1. 關聯舊知

教師提出：為了探索等比數列前[n]項和公式，我們不妨先來解決這個具體的數學問題. 如何求以[1]為首項、[2]為公比的等比數列前[64]項的和？

教師將這個具體數列求和的式子板書在主板書左側，編號為①.

教師在巡視過程中發現大部分學生借鑒等差數列求和的方法，運用倒序相加法得到等式[2Sn=263+1+][262+2+…+231+232]，但都無法繼續求解.

教師啟發：追本溯源，為什么等差數列可以用“倒序相加法”求和而等比數列卻不能？請同學們回到這兩類數列的定義進行思考.

經過啟發，學生領悟到這兩類數列的本質區別：等差數列是后一項與前一項的差為定值，等比數列則是后一項與前一項的比為定值. 在等差數列求和的過程中，由等差數列的通項公式可以得到[a1+an=2a1+][n-1d=a2+an-1=…]，然而在這個具體的等比數列問題里，則有[1+263≠2+262≠22+261≠…]，無法構造出類似等差數列中的兩項和相等的形式，所以“倒序相加法”行不通.

教師在學生講述的過程中用板書輔助，見副板書的右側. 副板書如圖1所示.

教師追問：等差數列能用“倒序相加法”求和是由等差數列的定義和通項公式的特點這個核心知識決定的. 那么，類比思考，要尋找適合求等比數列前[n]項和公式的推導方法，我們應該從等比數列的哪些知識入手呢？

教師追問的意圖是讓學生意識到要抓住等比數列的定義及通項公式，尋找適合的方法構造相同項.

為了進一步啟發學生思考，教師指出：等差數列前[n]項求和公式的推導是通過構造相同的項，達到減少項數的目的，進而化簡求和. 我們不妨借鑒這個思路，結合等比數列的特點進行求和. 教師在講解過程中輔以板書，見圖1的左側.

【實施意圖】圖1是一幅完整的副板書，呈現的目的是將等差數列求和公式推導過程中的重要知識點有條理地羅列出來，作為學生類比思考和繼續探究的支架. 既喚醒學生的先驗知識經驗，又啟發學生遷移“減少項數”的思想，結合等比數列的特點進行公式推導. 簡潔醒目的板書既能幫助學生迅速把握重點，也能夠體現數學的簡潔之美.

2. 問題解決

教師提問：讓我們再次思考如何化簡[S64=1+2+][22+…+263]. 同學們先獨立思考，然后以四人為一個小組交流探討.

教師巡視、聆聽并參與個別小組的討論，發現一部分學生嘗試在等式兩邊同時乘以[2]，但沒有考慮到關聯原等式;也有部分學生寫成[21=222=…=263262=2]，然而，學生沒有學習過合分比定理，不能想到構造[2+22+…+2631+2+…+262]，故不知道后面如何繼續探究.

在此情況下，教師進一步啟發：有一些同學寫成[21=222=…=263262=2]的形式，但是不知道如何利用. 能想到這個形式非常好，但是由于我們現有的知識有限，暫時還不能有效利用它，課后老師補充知識后再一起探究. 另外，還有些同學在等式兩邊同時乘以[2]，得到了一個新等式，得到的這個新等式與原等式之間有什么關系呢？請大家一起看黑板思考.

這時，教師板書兩個等式，將學生構造出的新和式寫在原和式①的正下方，讓每一項對齊，并標編號②，如圖2所示.

兩個等式規整對齊能讓學生感受數學的對稱之美，也便于學生發現相同項之間的位置關系，為后續教學做鋪墊.

在教師的啟發下，學生發現兩個等式中有很多相同項. 這時，教師及時追問：這些相同項的位置有什么特點？學生不難發現他們的位置是錯開的. 這時，教師用斜線連接上下兩項錯位的相同項，幫助學生直觀感受，并將兩個等式重新寫成相同項對齊的方式，框選相同項部分，如圖3所示.

教師啟發：怎樣利用兩個等式中的相同項，達到減少項數的目的呢？

教師一邊啟發一邊指著副板書的左側說：減少項數，構造相同的項.

經過啟發，學生聯系解方程時“消元”的經驗，將兩式相減消去相同項，計算得到結果[S64=264-1].

教師進一步啟發：因為這些相同項的位置是錯開的，我們給這個方法取個什么樣的名字呢？在問題導引下，學生類比之前“倒序相加法”的起名方法，取名“錯位相減法”，這個名稱就自然誕生了.

接下來，教師在黑板上板書學生的思考過程，如圖4所示.

【實施意圖】在嘗試自主探索的過程中，學生依據前一環節教師的啟發鋪墊，把思考的重點放在如何利用等式前后兩項的關系上. 對于這一關系，學生自然會有不同的利用形式，其探索過程處在邊走邊看的態勢，故而教師的適時引導很重要. 圖2和圖3是把學生的思維顯性化和直觀化，也給予學生更直接的視覺沖擊.

3. 歸納提升

教師引導：梳理一下剛才的問題解決過程，能利用錯位相減法解決等比數列求和問題的根本原因是什么？實現減少項數的過程中，我們利用了等比數列的什么知識？

在教師的引導下，學生總結得出：因為等比數列的前一項乘以公比[2]以后就變為了后一項，我們運用的是等比數列的定義和通項公式的特點. 教師這時在副板書左側的圖中增加“等比數列的定義”字樣，再增加箭頭，寫上“錯位相減法”，形成圖5，從而在同一個圖中體現兩類數列求和過程的共性和區別.

【實施意圖】圖5是對副板書左側的完善，呈現等差數列和等比數列前[n]項和公式的推導方法的探索路徑，讓學生意識到兩者的基本路徑是一樣的，方法的不同取決于等差數列和等比數列定義的本質不同，這是一種類結構化路徑的體現.

4. 類比遷移

教師提問：類比剛才的求和過程，如何求以[a1]為首項、以[q]為公比的等比數列的前[n]項和[Sn]呢？

教師在主板書上板書一般等比數列的求和式，便于學生類比首項為1、公比為2的等比數列的前64項和[S64=][1+2+…+263]的化簡過程，如圖6所示.

【實施意圖】學生根據具體等比數列求和問題的解決經驗，完全有能力主動進行知識遷移. 教師在此過程中注意引導學生對公比[q]討論分析. 教師根據學生的匯報，完善求和公式的推導過程. 至此，公比[q≠1]的等比數列前[n]項和公式推導完成.

教師啟發：利用錯位相減法推導得到公比[q≠1]時等比數列前[n]項和公式[Sn=a11-qn1-q=a1-anq1-q]. 整體分析等差數列和等比數列的求和公式的推導過程，你是否把握了數列求和的關鍵？

本節課主板書和副板書最終呈現效果，如圖7所示.

【實施意圖】回顧本節課的探究經歷，學生深切感受到數列求和應該結合數列本身的特征，在此基礎上尋找適當的方法減少求和式的項數，以化簡求和. 整個過程中主板書既引導學生進行數學思考，又再現學生的思維結果，將求和公式推導過程完整展示. 從板書布局上看，左右對比，體現由特殊到一般的數學思想;從公式書寫上看，上下對稱，體現數學的對稱美與簡潔美.

三、實踐反思

在數學課堂教學中，教師不應該僅利用板書呈現知識和問題解決的過程，更應該注重利用板書激發學生進行數學思考. 上述實例中，教師利用副板書激活學生的先驗知識經驗，利用主板書啟發學生進行數學思考，引導學生探索錯位相減法的本質，推導等比數列求和公式，主、副板書巧妙聯系起來，體現知識之間的聯系與區別. 總體上看，整個板書是對數列求和知識點的濃縮，突出知識間的整體性和差異性，幫助學生構建完整的知識體系. 這樣的數學教學不僅有利于提升學生的數學思維能力，讓學生深刻體會到數學教學的形象性、審美性，而且自然地利用學生已有的先驗知識，進行類比、遷移和創新，直至內化，有效達到了培養和發展學生數學學科核心素養的目的.

板書藝術作為數學教學藝術中不可缺少的一個組成元素，在數學課堂教學中發揮著重要作用. 它既是教師頭腦中知識結構的再現和課堂設計的縮影，又是學生進行自主知識建構的模板和學生認知的“腳手架”. 同時，板書是促進師生互動、提高課堂教學效率的有效輔助手段. 巧妙運用板書，有助于啟發、引導學生進行數學思考，幫助學生主動發現解決問題的方法和策略，從而促進學生數學學科核心素養的發展.

在信息技術迅猛發展的當下，傳統板書逐漸被多媒體所取代，這一現象需要引起教師的重視. 數學學習重在培養學生的數學思維，傳統板書有助于教師引導和呈現學生思維的發生、發展過程. 希望此文能給一線教師帶來一些啟迪，并引發對數學課堂傳統板書的重視和研究.

參考文獻：

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