新高考背景下數學開放題的教學

倉韜

摘要：在新課改的背景下，隨著核心素養在高中數學教學過程中的推行，培養學生的創造性和發散思維顯得尤為重要。新高考加強了對數學開放題的考查，新教材中開放題的占比越來越大，對教師的開放題教學程度也提出了更高要求，讓我們深刻感受到改進教學的必要性和迫切性。

關鍵詞：數學教學 開放題 創新思維

數學開放題的教學應充分利用教材中的例題和習題，不斷提高開放意識和開放程度，給予學生更廣闊的想象空間和創造空間，讓學生真正成為學習的主人，愛思考愛創造，從而提高學生思考問題解決問題的能力。

下面我們從幾個案例中來探究數學開放題的教學：

案例一

【問題】函數的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反應兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關系和規律，例如，正比例函數可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關系、一定密度的物體的質量與體積的關系、圓的周長與半徑的關系等。

試構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式來描述。

【分析】本題選自人教版教材章節《函數的概念》中的例題，是學生熟悉的一元二次函數背景，通過讓學生自己根據函數創設問題情境，不同的學生創造不同的情境，以此來加深學生對函數關系的理解。學生會根據自己的認知從不同層次理解定義域和函數表達式，這是從抽象到具體的過程，也可以看成不同表示方式之間的相互轉換，可以使學生體會函數的三要素，以及一個函數表達式的廣泛適應性。在課堂上，我們應充分提供機會，給學生表達自己創設情境的機會，你會驚訝地發現他們無窮的想象力和創造力。課堂上學生給出了如下一些情境（部分）：

【情境一】長方形的周長為20，設一邊長為，面積為，把面積表示為的表達式，那么

【情境二】設一個矩形的兩邊長分別為10和，其中，若剪去一個邊長為的正方形，求剩余矩形的面積。

【情境三】摩托車的運行速度為，某時刻突然剎車，剎車后的加速度大小為，求剎車后t s內位移。

【情境四】某商人將每件進價為8元的商品，按每件9元出售，每天可售出9件。若每件提價1元，每天的銷售量會減少1件，求每天所得利潤（元）與每件提價（件）之間的函數關系式。

【情境五】在半徑為5的圓弧上取點，過點作于，以為邊作正方形，設，求正方形的面積與的函數關系式。

案例二

【問題】如圖，函數的圖像由曲線段和直線段構成.

（1）寫出函數的一個解析式;

（2）提出一個能滿足圖像變化規律的實際問題。

【分析】本題選自人教版教材《指數函數與對數函數》復習參考題第13題。第（1）問根據函數圖像特征，用待定系數法直接寫出函數的解析式，為一個分段函數。第（2）問教師應在讓學生充分觀察函數圖像的基礎上，讓學生自主根據函數圖像特征，給函數配上一個合適的情境。觀察函數圖像可知，函數圖像分為兩段，第一段為指數型函數，第二段為一次函數，引導學生關注“先增后減”的增長趨勢，注意到第一段的指數爆炸式增長趨勢，尋找生活中比較吻合的增長問題，激發學生的思維，不同的學生會給出不同的情境。通過給學生充分的表達、展示自己編設的問題情境，能夠加深學生對指數增長模型的理解以及分段函數是同一個函數的認識，為后面學習函數的應用鋪墊。課堂上學生給出了如下情境（部分）：

【情境一】離上課還有5分鐘，小明用了2分鐘急速跑（先慢后快）到距離教室3百米的操場找小華來上課，然后兩個人用了3分鐘的時間勻速走到教室。

【情境二】疫情期間，學校每天要對教室進行消毒。已知消毒水在前兩個小時的消毒功效逐漸增強，在之后的三小時藥效勻速降低。

【情境三】A國在年初爆發了疫情，由于前兩個月沒有重視，確診人數驟增，后來政府意識到疫情嚴重以后，采取了有效防控措施，后三個月確診人數勻速減少。

【情境四】嚴冬時期對室內持續供暖2小時，熱量等級與的關系如圖所示，2小時后停止供暖，室內熱量勻速減低。

【情境五】小陳同學參加冬季長跑，前兩分鐘加速前進，由于體力不支，后三分鐘速度勻速減小。

案例三

【問題】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

【分析】本題選自2020年山東卷第17題，這是新高考的新題型--條件不良題。實際上這類問題就是典型的開放題型，此類題型給了學生很大的選擇空間，也全面考查了學生對解三角形部分知識的掌握程度，不僅要知其然還要知其所以然。多層次多角度考查利用正余弦定理解三角形，這就要求我們平時在教學過程中充分利用解三角形的“知三解三”，對問題進行變式處理，充分發揮學生的主觀能動性，讓學生自行進行編題改題，以此來適應新的高考。該題學生選擇不同條件，解三角形的角度就不同，全方位、多角度的考查了解三角形。

研究發現，新高考背景下對開放題的考查力度之大，這也是核心素養對學生提出的更高要求，“考向即方向”，這也給我們老師平時的教學指明了新的方向，讓我們深刻感受到改進教學的必要性和迫切性，平時的教學過程應充分利用教材中的例題和習題，多進行開放式教學，給予學生更廣闊的想象空間和創造空間，提高學生思考問題和解決問題的能力。此外，多開展開放題的教學不僅能夠讓學生充分感受數學知識的生成過程和應用之廣，還能增強學生學習數學的興趣和自信心，從而真正實現立德樹人的培養目標。

（蘇州外國語學校 江蘇蘇州 215000）