淺談輔助線在全等三角形證明中的應用

孫鳳陽 劉君

【摘要】證明三角形全等是初中幾何學習中的一種重要的解題方法，在證明三角形全等時有時需添加輔助線，這對學生而言，往往是難點.教師應當善于歸納總結一些常見的輔助線作法，從中找出解題規律，進而有效解決問題.

【關鍵詞】全等三角形;輔助線;解題方法

一、引 言

添加輔助線是平面幾何問題求解的重要手段，通過添加輔助線可以將復雜的問題簡單化，對于不同情形的幾何問題，應當選擇適當的方法予以解答.下面介紹證明三角形全等時常見的六種輔助線作法以及相關例題，分別是截長補短法、倍長中線法、作平行線法、補全圖形法、角平分線法、作垂線段法.

二、截長補短法

對于求線段和差的類型題，當題中沒有明顯的等量關系式時，我們可以將較長的線段截短，或者將較短的線段延長，從而獲得相等的線段，為三角形全等的判定增添條件，通過證明三角形全等，進而得出線段的和、差、倍、分關系.

圖1例1 如圖1，已知AP∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于點E，CE的連線交AP于點D，求證：AD+BC=AB.

分析 題中不能直接得出AD+BC=AB，所以需要構造相等的線段.在AB上取一點H，使AD=AH，證明 △DAE≌△HAE，得到∠EHA=∠EDA，進而證明△BEH≌△BEC，得到BH=BC，從而證明AD+BC=AB.

證明 在AB上截取AH=AD，連接EH.

∵AE平分∠PAB，

∴∠DAE=∠HAE.

在△DAE和△HAE中，

AD=AH，

∠DAE=∠HAE，

AE=AE，

∴△DAE≌△HAE（SAS），

∴∠ADE=∠AHE.

∵AD∥BC，

∴∠ADE+∠C=180°.

∵∠AHE+∠EHB=180°，

∴∠EHB=∠C.

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBH=∠EBC.

在△BEH和△BEC中，

∠EHB=∠C，

∠EBH=∠EBC，

BE=BE，

∴△BEH≌△BEC（AAS），

∴BC=BH，

∴AD+BC=AH+BH=AB.

總結 截長補短法是證明線段和、差、倍、分關系的有效方法，通過將線段截長或補短，構成相等的線段，從而構造全等三角形，再利用三角形全等的有關性質證明結論.

三、倍長中線法

在幾何問題中，若已知條件中涉及中線或線段中點時，將三角形中線延長一倍，通過兩個三角形全等，將各條線段轉化到同一個三角形中，利用三角形的三邊關系進行分析和判斷，得出證明結果.

圖2例2 如圖2，在△ABC中，D為BC的中點.

（1）求證AB+AC>2AD;

（2）若AB=5，AC=3，求AD長的取值范圍.

分析 將中線AD延長一倍至點F，證明然后△ACD≌△FBD，得到BF=AC，從而將AB，AC和2AD轉化到△ABF中，從而得出結論.

證明 （1）如圖2，延長AD至F，使DF = AD，連接BF.

∵D是BC的中點，易證△ADC≌△FDB（SAS），

∴AC=BF.

∵在△ABF中，AB+BF>AF，

即AB+AC>2AD.

解 （2）在△ABF中，AB-BF<2AD

∵AB=5，AC=3，

∴5-3<2AD<5+3，

∴1

總結 對于含有中線或線段中點的三角形問題，通過“倍長中線” 可以構造出兩個全等的三角形，進而在求解線段之間的關系時，轉化成三角形的三邊關系，這為我們解決線段之間的關系問題提供了有效方法.

四、作平行線法

通過作平行線法將相等的角轉化，與等腰三角形中兩個相等的底角構成等量關系，形成新的等腰三角形，達到對應角相等的目的，構造全等三角形，為解決問題提供技巧.

圖3例3 如圖3，在△ABC中，點D在AB上，E是AC的延長線上一點，BD=CE，DE交BC于點F，DF=EF，求證：AB=AC.

分析 通過作DP∥AC，易證△DPF≌△ECF，得到DP=CE，又由BD=CE等量代換得到BD=DP，即△DBP為等腰三角形，則有∠B=∠DPB=∠ACB，可得AB=AC.

證明 作DP∥AC交BC于P.

∵DP∥AE，∴∠FDP=∠FEC，∠DPB=∠ACB.

在△DFP和△EFC中，

∠DFP=∠EFC，

DF=EF，

∠PDF=∠CEF，

∴△DFP≌△EFC（SAS），∴DP=EC.

又∵BD=CE，∴DB=DP，

∴∠B=∠DPB=∠ACB，

∴AB=AC.

總結 作平行線法可以將已知角轉化成相等的角，構造兩個三角形全等，或通過全等構造相等的角.作平行線法經常應用于以等腰三角形或等邊三角形為背景的題目中，通過作平行線構造相等的角，從而構造全等三角形.

五、補全圖形法

在一些三角形的證明問題中，將某兩條線段（邊）延長并相交于一點，構成一個完整的圖形，便于我們找到更多的相等關系，從而構造全等三角形，通過進一步證明解決要求證的問題.

圖4例4 如圖4，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于點D，AE⊥BD，交BD的延長線于點E，求證：BD=2AE.