基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)

付佳惠 程國忠

【摘要】用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法.新版人教版必修第一冊(cè)的第2章第3節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”作為初高中的銜接知識(shí)，是高中學(xué)生必備的基礎(chǔ)，對(duì)今后繼續(xù)學(xué)習(xí)其他函數(shù)等知識(shí)尤為重要.本文基于喻平教授提出的CPFS結(jié)構(gòu)理論對(duì)這節(jié)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，力圖在教學(xué)中溝通初高中內(nèi)容，讓學(xué)生平穩(wěn)過渡到高中的學(xué)習(xí)，并在頭腦中形成對(duì)三個(gè)“二次”之間的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，為今后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】不等式;CPFS結(jié)構(gòu);教學(xué)設(shè)計(jì)

一、引 言

新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的實(shí)施，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，出版了新教材 《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》，其中知識(shí)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容與原來相比也發(fā)生了較大變化.在2017版新課標(biāo)中，將原人教A版必修1第3章第1節(jié)“函數(shù)與方程”及必修5第3章“不等式”的內(nèi)容提前了，使其作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的預(yù)備知識(shí)于新版必修第一冊(cè)的第2章第3節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”處綜合學(xué)習(xí).這樣設(shè)計(jì)的目的，其一是由一元二次函數(shù)、方程及不等式的地位所決定，其二是由學(xué)生認(rèn)知發(fā)展所決定.“教材編寫要利于學(xué)生的學(xué)”[1]，作為初高中銜接的過渡知識(shí)，一元二次函數(shù)易與初中所學(xué)的一元一次函數(shù)相聯(lián)系，便于學(xué)生理解.另外，“教材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性” [1]，“以數(shù)學(xué)表達(dá)方式來看，方程相當(dāng)于不等式的一種特殊情況，因此，方程和不等式問題具有一定關(guān)聯(lián)性”[2].同時(shí)，由于三個(gè)“二次”之間有著相同的函數(shù)表達(dá)式——一元二次函數(shù)，也就是說三個(gè)“二次”之間有著非常密切的聯(lián)系.所以，教師在教學(xué)這一章節(jié)時(shí)，一定不要割裂這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，而應(yīng)讓學(xué)生架構(gòu)整體框架，在頭腦中形成完整的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

二、CPFS結(jié)構(gòu)理論的概述

2003年，喻平教授在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論》這一論文中，正式提出了CPFS結(jié)構(gòu)這一新概念.CPFS結(jié)構(gòu)是由概念系、概念域、命題系、命題域組成的一個(gè)系統(tǒng).“概括地講，CPFS結(jié)構(gòu)就是個(gè)體頭腦中形成的由概念或命題組成的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，其中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)（概念、命題）處于一定的位置，它們之間存在等價(jià)關(guān)系、強(qiáng)抽象關(guān)系、弱抽象關(guān)系、廣義抽象關(guān)系之一”[3].

三、基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教材分析

（1）教材地位與作用

本教學(xué)設(shè)計(jì)使用教材為新人教版必修第一冊(cè)第2章第3節(jié)內(nèi)容，該節(jié)內(nèi)容是作為初高中的過渡知識(shí)呈現(xiàn)的，其作用在于讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)的重要性，為學(xué)習(xí)其他函數(shù)打下基礎(chǔ).

（2）教學(xué)目標(biāo)

a.理解三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，掌握一元二次不等式的圖像解法，能在實(shí)際情境中靈活運(yùn)用.

b.通過探索，學(xué)會(huì)解決問題的方法.

c.滲透數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，通過對(duì)實(shí)際問題的分析，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)實(shí)證的意識(shí)，以及科學(xué)探索的實(shí)踐精神.

（3）重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解清楚三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，利用函數(shù)圖像求一元二次不等式的解集.

難點(diǎn)：探究一元二次函數(shù)根的分布情況與不等式解集的關(guān)系.

2.學(xué)情分析

這一階段的學(xué)生處于適應(yīng)期，自主性學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，各類數(shù)學(xué)思想方法的掌握也很薄弱，這對(duì)教師教學(xué)而言挑戰(zhàn)較大.但大部分同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣較高，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有較大的自信心，積極參與課堂活動(dòng).

3.教法分析

用問題串的形式鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生自主思考，利用小組討論的形式引導(dǎo)學(xué)生自己歸納總結(jié)，達(dá)到教學(xué)目標(biāo).

4.教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體，PPT，作圖工具（尺規(guī)）.

5.教學(xué)過程

（1）復(fù)習(xí)回顧

問題1：請(qǐng)同學(xué)們求解2x+1>0的解集.首先回憶一下，初中我們是如何分析這一不等式的？

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回憶分析方法，總結(jié)出解一元一次不等式是通過分析一次函數(shù)圖像及一元一次方程的根這一方法來解決的，為新課的學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.）

（2）情景引入

問題2：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個(gè)矩形區(qū)域種植花卉，若柵欄的長度是24 m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20 m2，則這個(gè)矩形的邊長為多少米？（直接運(yùn)用教材中的問題）

生：我們假設(shè)矩形其中一條邊長為x米，另一條邊長為（12-x）米，可列出關(guān)系式得（12-x）x>20，其中x∈{0

（提醒學(xué)生注意x的取值范圍）

整理，得x2-12x+20<0，x∈{0

師：只要解出這個(gè)不等式就可以解決這道題了.那么我們?cè)趺唇膺@個(gè)不等式呢？你們能發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式與一元一次不等式有什么異同嗎？

生：都只有一個(gè)未知數(shù)和不等號(hào)，但未知數(shù)最高次數(shù)為2.

師：大家能給它取個(gè)名字嗎？

生：一元二次不等式.

師：非常好！像這樣，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.

問題3：我們能否類比一元一次不等式解法，解一元二次不等式呢？小組討論一下.

生：利用一元二次函數(shù)求解.

師：非常好！

問題4：在初中，我們學(xué)習(xí)了從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，類似地，能否從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法呢？

生：應(yīng)該也可以.

師：請(qǐng)同學(xué)們畫出函數(shù)y=x2-12x+20的圖像，并觀察，你能得出什么結(jié)論？

[師用幾何畫板作出函數(shù)圖像（如圖1），并作一點(diǎn)P，可在函數(shù)圖像上自由移動(dòng).]

生：函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（2，0）和（10，0）.