函數(shù)圖形搭臺(tái) 代數(shù)推理唱戲

趙凡

5【摘要】銳角三角函數(shù)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，它對(duì)學(xué)生的函數(shù)知識(shí)和代數(shù)知識(shí)都有很高的要求.學(xué)生只有學(xué)會(huì)用函數(shù)知識(shí)建構(gòu)圖形，科學(xué)運(yùn)用代數(shù)知識(shí)推理，才能夠靈活掌握知識(shí)，提高數(shù)學(xué)成績(jī).學(xué)生通過(guò)對(duì)銳角三角函數(shù)的觀察、推理、想象，能更好地進(jìn)行歸納和猜想，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)能力.教師要引導(dǎo)學(xué)生在銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)中深化函數(shù)思想，重視圖形分析，把握知識(shí)本質(zhì)，提高思維能力.本文主要以“銳角三角函數(shù)”為例探究了函數(shù)圖形和代數(shù)推理相結(jié)合的方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模，理解知識(shí).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);函數(shù);代數(shù);銳角三角函數(shù)

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深化函數(shù)思想，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和探究，促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí).學(xué)生積極探索各種數(shù)量關(guān)系，分析數(shù)學(xué)本質(zhì)，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈可以建構(gòu)知識(shí)框架，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，在體驗(yàn)中理解知識(shí).在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究銳角與數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)會(huì)建構(gòu)圖形，重視分析圖形特點(diǎn)，通過(guò)觀察和體驗(yàn)的方式進(jìn)行邏輯分析和推理判斷，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解和掌握.通過(guò)函數(shù)圖形和代數(shù)推理相結(jié)合的方式，學(xué)生會(huì)搭建知識(shí)模型，提高探究能力.

一、搭建函數(shù)圖形

（一）主動(dòng)搭建圖形，理解函數(shù)概念

在傳統(tǒng)的“銳角三角函數(shù)”教學(xué)中，教師往往采用平鋪直敘的教學(xué)方法，讓學(xué)生反復(fù)朗讀，背誦相關(guān)概念和公式，從而促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)探究.這種教學(xué)方法并沒(méi)有使學(xué)生進(jìn)行思維發(fā)散和圖形建構(gòu)，他們只是消極地接受知識(shí)，背誦已經(jīng)形成的函數(shù)概念和函數(shù)公式.這種單一、呆板的教學(xué)方式不利于學(xué)生理解知識(shí).教師要帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作和實(shí)踐的方式繪制三角形，探究三角函數(shù)概念形成的過(guò)程，使學(xué)生在分析和推理中理解知識(shí).教師可以組織學(xué)生繪制直角三角形，并帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)探究圖形的方式解釋三角函數(shù)概念產(chǎn)生的思維過(guò)程，使學(xué)生在動(dòng)手搭建和繪圖中理解函數(shù)概念，在對(duì)圖形的觀察和分析中理解概念內(nèi)涵，深化認(rèn)識(shí).繪圖時(shí)，教師可以讓學(xué)生先繪制一個(gè)30°的∠A，在角的邊上任意取一點(diǎn)B，做點(diǎn)B的垂線，與另一條邊交于點(diǎn)C，這樣就形成了一個(gè)Rt△ABC.有了圖形作為推理和猜測(cè)的平臺(tái)，學(xué)生的思維會(huì)變得更加形象，他們對(duì)知識(shí)的理解也會(huì)更客觀.

（二）重視直角三角形知識(shí)的探究

銳角三角函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)需要以直角三角形知識(shí)為基礎(chǔ)，學(xué)生只有了解了直角三角形知識(shí)，才能夠更好地理解銳角三角函數(shù).通過(guò)對(duì)直角三角形的觀察，學(xué)生會(huì)更好地體會(huì)三角形的邊角關(guān)系，在觀察中感受知識(shí)，在分析中理解知識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.在對(duì)直角三角形的分析中，學(xué)生可以體會(huì)到直角三角形除直角外的五個(gè)元素之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)三邊之間存在的勾股定理關(guān)系，體會(huì)除直角外的另外兩個(gè)角之和為90°.通過(guò)動(dòng)手繪制直角三角形，學(xué)生會(huì)對(duì)這些關(guān)系和元素形成更深刻的理解和認(rèn)識(shí).學(xué)生在觀察中會(huì)看到，在直角三角形中，當(dāng)角確定時(shí)，邊的比值也就確定了;反過(guò)來(lái)，如果邊的比值確定了，那么角的大小也確定了.在圖形的幫助下，學(xué)生會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想理解概念，進(jìn)行推理論證，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，學(xué)會(huì)科學(xué)運(yùn)算.學(xué)生在畫圖分析中會(huì)結(jié)合具體的直角三角形進(jìn)行分析判斷，感知角與邊的關(guān)系，理解函數(shù)知識(shí).

（三）結(jié)合實(shí)際生活情境

融入生活的數(shù)學(xué)知識(shí)更容易讓學(xué)生理解.教師要促進(jìn)學(xué)生融入生活情境，產(chǎn)生直觀體驗(yàn)和感悟.教師要鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中利用生活情境來(lái)感悟和分析，從生活情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理.生活中的現(xiàn)象更加直觀、具體，有利于學(xué)生主動(dòng)想象和聯(lián)想，從而在實(shí)踐中分析和理解知識(shí).例如，在本課的學(xué)習(xí)中，教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)如下生活情境：為了滿足線上學(xué)習(xí)的需要，住在1樓的小明家和住在2樓的小剛家都需要重新安裝網(wǎng)線.在網(wǎng)線安裝過(guò)程中，工作人員在一樓搭起了兩個(gè)梯子，直接將網(wǎng)線通到小明和小剛家的窗戶.請(qǐng)判斷一下哪個(gè)梯子更陡，如何用數(shù)據(jù)做出更準(zhǔn)確的判斷？生活情境會(huì)讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，從而主動(dòng)猜想和思考，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度分析原因.結(jié)合生活情境，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到判斷哪個(gè)梯子更陡時(shí)，也就是分析梯子與地面的夾角哪個(gè)更大.學(xué)生會(huì)將生活中的具體情境抽象成幾何圖形，把探究的問(wèn)題簡(jiǎn)化.學(xué)生在思考中會(huì)認(rèn)識(shí)到，角度的大小與樓層的高度和梯子與墻面之間的水平距離的比值有關(guān)，比值越大，梯子越陡.通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，學(xué)生可以靈活轉(zhuǎn)化知識(shí)，既拓展了思維空間，又有利于理解知識(shí).

二、運(yùn)用代數(shù)推理

（一）推理圖形范圍內(nèi)的三角函數(shù)值

在數(shù)學(xué)知識(shí)的探究過(guò)程中，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐和體驗(yàn)理解知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生在動(dòng)手中學(xué)會(huì)分析，并通過(guò)主動(dòng)感知的方式理解知識(shí).在實(shí)踐中，學(xué)生的思維會(huì)快速運(yùn)轉(zhuǎn)，積極進(jìn)行推理判斷.銳角三角函數(shù)知識(shí)需要學(xué)生通過(guò)推理和分析來(lái)獲得，例如，在課堂伊始，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生畫一個(gè)∠A為30°的直角三角形和一個(gè)∠A為50°的直角三角形，三角形邊的長(zhǎng)度不限制.畫好圖后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生量出三角形三條邊的長(zhǎng)度，每一名學(xué)生應(yīng)該都是不一樣的.之后，教師組織學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，分別用直角邊a、b來(lái)比斜邊c.當(dāng)學(xué)生計(jì)算出結(jié)果后，教師可以組織學(xué)生相互比較他們的數(shù)值.學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們繪制的直角三角形的邊長(zhǎng)是不同的，但是得到的比值是一樣的.有了這個(gè)動(dòng)手繪畫和計(jì)算的過(guò)程，學(xué)生就大膽猜想，改變∠A大小時(shí)，相應(yīng)的三個(gè)比值應(yīng)該也是改變的.這樣，學(xué)生就會(huì)對(duì)∠A為50°的直角三角形進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算，得出具體的數(shù)據(jù).通過(guò)動(dòng)手繪畫和計(jì)算，學(xué)生學(xué)會(huì)了推理和判斷，在邏輯思考中掌握了三角函數(shù)正弦、余弦、正切的計(jì)算方法，并從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，提高了對(duì)知識(shí)的理解能力.學(xué)生通過(guò)推理和計(jì)算形成了客觀性理解，激發(fā)了探究知識(shí)的主動(dòng)性，發(fā)揮了潛能.

（二）推理真實(shí)情境中的三角函數(shù)值

教師以真實(shí)情境中的數(shù)學(xué)知識(shí)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行推理、分析會(huì)激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的實(shí)用性，從而主動(dòng)分析和思考，參與推理判斷過(guò)程.教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察真實(shí)情境中的數(shù)學(xué)，并通過(guò)推理的方式進(jìn)行邏輯運(yùn)算，拓展思維.例如，教師可以引入問(wèn)題：意大利比薩斜塔的塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心2.1米，1972年發(fā)生地震，這座高54.5米的斜塔在大幅度搖擺后中心點(diǎn)偏離中心線5.2米.如果要你根據(jù)這些信息，用塔身中心線與垂直中心線所成的角為θ描述斜塔的傾斜程度，該如何表示？在探究中，學(xué)生會(huì)融入真實(shí)的情境，主動(dòng)質(zhì)疑，積極思考，產(chǎn)生探究欲望和主動(dòng)性.學(xué)生會(huì)通過(guò)推理的方式把真實(shí)情境中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，利用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題.學(xué)生會(huì)在大腦中畫出一個(gè)直角三角形，使中心線成為一條直角邊，偏離的5.2米成為另一條直角邊，而傾斜的塔身為斜邊.這樣就會(huì)把問(wèn)題通過(guò)三角函數(shù)的方式表示出來(lái).在推理中，學(xué)生會(huì)計(jì)算出相關(guān)的數(shù)值，運(yùn)用數(shù)學(xué)計(jì)算的方式推理三角函數(shù)值.教師通過(guò)這種方式，可以提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力.