淺談高中數學“一題多解”教學中如何培養數學創新思維

石巖

摘?要：創新思維對我們培養人，培養高素質的人才非常重要。數學創新思維的培養，要培養學生善于合情聯想，要培養學生的發散性思維，要培養學生有求異的精神，要培養學生運用逆向思維。文章以高中數學“一題多解”教學為例逐一闡釋以上培養數學創新思維的方面。

關鍵詞：創新思維;一題多解;合情聯想;發散思維;求異精神;逆向思維

唯創新者進，唯創新者強，唯創新者勝。創新能力和創新精神是發展的動力和要求，而創新能力和創新精神的源泉在于實踐基礎上的創新思維。對數學創新思維進行培養和訓練，對于提高學生的數學思維水平和數學認知創新能力將產生積極的意義。培養數學創新思維是提高學生數學思維水平的需要，數學創新思維的培養能有效地培養學生的數學思維能力，學生的數學思維能力的提高必將讓其受益遠不止于學業的成功。對于數學教師而言，培養數學創新思維是教學不變的目標，是改進教學方法的方向，亦是提高教學效果的途徑之一。

在中學數學的教學中，長期以來我們把大部分精力放在傳授數學知識、訓練解題能力和培養應試能力上，忽視了學習推理和問題解決等技能的培養。數學教師在課堂上直接傳授著數千年累積下來的數學概念、定理和公式等，而對于這些概念、定理和公式是如何被發現和逐步完善的無暇顧及，仿佛這些概念、定理和公式本來就存在，學習者不可對它們有任何的質疑。這樣的教學理念和方式，制約了學生數學創新思維的發展。學生通過數學學習或解決數學問題，只能獲得熟悉情景的數學問題的解決能力，無法自主分析和解決新情景下的數學問題，也許這正是高三復習階段學生數學學習遇到瓶頸的癥結所在。

目前，創新思維的培養和訓練愈來愈多地受到數學教育者的重視。在上海高中數學的新教材中，數學建模的教學要求被提高到前所未有的高度，就是在數學教學中強調數學創新思維最好的例證。同時，在教學實踐中，教師和學生都認識到：唯有有效思維、高效思維才能適應科技進步、時代發展的需要。事實上，很多有效的思維培養和訓練的方法已經廣泛地作為數學教學方法而被加以運用，比如中學生課題研究、小組合作學習等。在實際數學教學中，筆者認為“一題多解”的教學方式有助于培養學生的數學創新思維。

一、 數學創新思維需要數學聯想

數學創新思維需要發揮想象，可以從猜想開始，但不是胡亂的猜想。在高中的數學學習中，可以構建和存儲很多數學小模型，讓我們聯想時有一定的方向，也易于產生合情有效的聯想。

案例1?已知a，b∈R，且a+b+1=0，求（a-2）²+（b-3）²的最小值。

思路1：所求式子中含有兩個未知數，所以我們會考慮把未知量個數減少，再通過二次函數得到最小值。

解法1：由題意得b=-a-1，把其代入算式得：（a-2）²+（-a-4）²=2a²+4a+20=2（a+1）²+18≥18，當且僅當a=-1，b=0時取得最小值18。

思路2：設所求為t，轉化所求式為關于a的一元二次方程，運用判別式得解。

解法2：由題意我們可以設t=（a-2）²+（b-3）²①，把b=-a-1代入①式得2a²+4a+20-t=0，從而有Δ=b²-4ac=16-8（20-t）≥0，解得t≥18，當且僅當a=-1，b=0時取等號，即a=-1，b=0時，（a-2）²+（b-3）²的最小值為18。

這兩種解題思路是相關聯的，都比較基礎，是學生比較容易想到的辦法。

思路3：由條件式可以聯想到直線，由結論式可以聯想到圓。

學好高中數學，必須有豐富的聯想能力，將面臨的問題通過聯想轉換為更為熟悉的數學對象，思路3就是將代數問題轉換為直線與圓的位置關系的幾何觀點來看待，這樣就把求解的問題簡單化了，充分體現了數學創新思維的聯想特性。類似于思路3，我們還可以有

思路4：利用兩點間距離公式的幾何意義，轉化為定點到直線上動點間的距離的最小值就是點到直線的距離進行求解。

數學創新思維的聯想可以是從數到形或從形到數的聯想，可以是性質相近，或圖像形狀相似的同類內容聯想，還可以是對與之具有相反特點的問題作對比聯想。

二、 數學創新思維具有發散性

在解決熟悉的問題時，數學思維定式會讓人覺得得心應手，但是面臨的問題需要自主分析時，思維定式就會變成枷鎖，阻礙新思維。發散性的思維是數學創新思維的核心。發散性思維可以給你解決問題時提供眾多的解決方案。

可見，但是由于x范圍的限制，這一解法不是最優的方案，極易因沒有充分考慮x范圍而產生錯解。

思路2：利用萬能公式換元。

在解決數學問題時，可以變換問題的形式，對于數學的概念、法則、定理、公式、題目等從變換思維角度進行發散式的推廣，這樣不僅可以培養學生的創新思維能力，而且能將知識深入，提高學生分析問題、解決問題的能力?！耙活}多解”能夠讓學生和老師的思維得以碰撞，從而產生新的思考，教師和學生在這一過程中都會有打破思維定式的機會。教師引導學生逐步深入分析問題本質，將疑難點分解，對關鍵點進行點撥，親身經歷思考過程，哪怕是試誤的過程，都是難能可貴的。

三、 數學創新思維鼓勵求異

數學創新思維要求關注數學問題的差異性與特殊性，關注表述與本質、形式與內容的不一致性。對于已經存在數學的定理和結論，需要用求異性的思維來思考和看待，以懷疑和批判的態度去對待，這樣才能讓數學認知越來越趨于完整和全面。

案例3?已知實數x、y滿足x²+y²-xy=3，求x²+y2的取值范圍。