借助“高等代數”知識，解決高中幾何問題

陳平

摘要：在高中數學教學中，幾何知識是重點內容，不過由于知識本身的復雜性，很多學生都無法深入理解，沒有認識到幾何的本質，影響到了學習效果。“高等代數”在高中幾何中的應用，符合學生的認知特點。基于此，本文從高中幾何與“高等代數”的聯系入手，分析了“高等代數”在高中幾何中的應用，希望對同仁有所幫助。

關鍵詞：高等代數? 高中幾何? 數學教學

一、高中幾何與“高等代數”知識的聯系

“高等代數”是解析幾何研究的重要工具。在高中幾何教學中應用“高等代數”知識，可以實現兩者的合二為一，兩者本身就相互聯系、相互促進，相對應的課程之間也存在重合之處。如高中幾何中的共線和共面問題就需要借助線性相關知識來表示，教師可以引入“高等代數”來敘述幾何的概念，從數學思維和教學角度來看，兩者本身就有共通性。

“高等代數”的很多知識，包括行列式、矩陣、線性變換等，都可以應用到幾何教學中。以解析幾何為例，解析幾何的主要內容為二維（三維）空間的直線與二次曲線，以及空間曲線與曲面的平移變換等，兩者本身就有重復的內容。從學生的角度來看，利用“高等代數”知識可以更加容易理解幾何知識，將高中幾何應用到解決問題中，知識之間相互交融。

計算機技術如今在教學中得到了廣泛應用，將幾何問題進行代數化的處理也為可能。在高中幾何教學中應用“高等代數”知識，既能讓學生學習幾何知識，又能讓學生對“高等代數”有更深刻的認知，方便學生學習高等數學。

二、“高等代數”知識在高中幾何中的應用

1.多項式恒等定理知識

設有關于x的多項式

對所有x，P（x）= Q（x）恒成立的充要條件是：

特別地，P（x）=0 的充要條件是所有的

上述為多項式恒等定理的內容，借助這一“高等代數”知識，學生能解決高中幾何中的曲線過定點和求公切線方程等問題。

2.線性方程組知識

教師借助線性方程組的知識來解決高中幾何問題，可以深入分析幾何和“高等代數”之間的聯系和相互滲透情況。

3.柯西不等式

柯西不等式為：

則

當且僅當bi=（i=1，2，…，n）或存在一個數k，使得ai=kbi（i=1，2…n）時，等號成立。

柯西不等式本身對稱和諧，教師對其進行變形處理，也就能用“高等代數”知識來解決幾何問題。柯西不等式在幾何問題求解中得到了廣泛的應用，學生可以借助這一知識點來解決重要不等式的問題，也能解決幾何的相關問題。

例1：實數x，y滿足方程x2+y2=6x-4y-9，則2x-3y的最大值與最小值的和等于多少？

解：設t=2x-3y，

，由柯西不等式得

，

，

隨即確定t的最小值與最大值分別為

，? ? ? ? ? ? ?。

相應的，2x-3y的最大值與最小值的和為24。

三、“高等代數”知識融入高中幾何教學的發展

隨著基礎教育的不斷發展，對教師的綜合素養也提出了更高的要求。教師要實現知識的融會貫通，方便學生展開知識建構，而不是讓學生對知識的理解出現分離。

在高中幾何教學中，教師除了要讓學生掌握知識點之外，也要讓學生掌握知識點的來龍去脈，并將相關知識融入其中，實現舉一反三。教師借助計算機技術展開教學，可以讓學生從被動學習轉化為主動參與學習，將“高等代數”知識融入高中幾何，實現知識點的融會貫通，讓數學知識成為有機整體，讓學生更加全面地理解知識。

綜上所述，在高中幾何教學中，學生很難深入理解抽象的幾何知識，“高等代數”知識在其中起到了重要的作用，教師充分借助“高等代數”知識，解決高中幾何問題，可以讓學生更為深入地理解幾何問題，也能形成數學思維，起到意想不到的效果。

參考文獻：

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[2]邱小偉，曾昌濤，陳惠.高中數學課型構建與實例分析——以《直線與圓的位置關系》為例[J].重慶工商大學學報（自然科學版），2020（3）.

（作者單位：河北省保定市第一中學）