培養“數學抽象”素養，設計“有思維的教學”

過曉偉

【摘要】數學抽象是數學特性之一，它可以讓學生積累從具體到抽象的活動經驗，更好地理解數學概念、方法、體系，養成一般性思考問題的習慣，能主動地用數學抽象的思維方式去解決問題.小學階段則更多通過抽象概括、符號應用和模型思想來培養數學素養，為今后數學抽象打下基礎.

【關鍵詞】核心素養;數學抽象;數學思維

抽象是數學的特性之一，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.可以講，沒有抽象就沒有數學的研究對象，數學的推理和應用都離不開抽象.小學階段的數學抽象，更多表現為概括、推理、符號應用和模型建立.如果我們能把握住學生學習的規律和數學抽象的本質特點，加強培養學生的抽象能力，就能讓學生理解數學知識之間的層次性和結構規律，促進學生的思維發展.以下以蘇教版小學三年級上冊“長方形面積計算”為例，談一談數學抽象在小學階段的滲透與應用.

一、經歷過程，由繁至簡，發揮表象作用

經歷是數學活動的過程性目標，讓學生親身經歷知識、技能形成過程，能更好地培養學生的數學素養.幾何形體在生活中比較常見，但是對于幾何形體的內在認識，學生由于思維特點和實踐經驗的不足，不能對相關知識進行清晰全面的了解.因此，學生在數學學習中參與觀察、操作、比較、概括等形象的實踐活動，特別是經歷知識概念的抽象過程，就能厘清知識的內在的聯系，為進一步抽象提供基礎，同時能架起由具體感知到抽象思維的橋梁.

【片段1】

用“面積單位”直接度量長方形的面積

談話：給你一些1平方厘米的小正方形，你能想辦法量出長方形的面積嗎？看誰想的辦法最巧妙.

學生操作，教師巡視.

交流：你量得的面積是多少？你是怎么看出來的？

預設：（1）滿鋪量.（2）半鋪量.（3）簡鋪量.

小結：像這樣量一量，我們就能知道每排擺4個，擺了這樣的3排.一共有12個1平方厘米的小正方形，面積就是12平方厘米.

（4）一個面積單位度量.

引導：如果只用1個小正方形，你還能量出它的面積嗎？（見圖1、圖2）

指出：用1個小正方形量也能知道每排能擺幾個1平方厘米，能擺幾排，就能知道一共有多少個1平方厘米，也就知道了長方形的面積.

教師讓學生在豐富的實例中經歷學習過程，便于幫助學生獲得充分的感知，為抽象提供幫助.以上的實踐操作中，學生經歷了用多個面積單位到用1個面積單位度量的過程，在腦中建立了12個面積單位滿鋪的表象，獲得了“數—算”的經驗.學生在經歷多個小正方形的鋪設的過程中，通過觀察逐漸獲得小正方形數量總數就等于長方形的面積，腦中也建立了“求長方形的面積就是求出小正方形的個數即可”的想法.接著又經歷了只用1個面積單位度量的過程，又對度量的數量計算方法進行由繁到簡的自我優化，經歷了過程，發展了思維，為接下來的實物抽取過程打下基礎.幾何概念的學習，經歷有思維的學習過程十分重要，只有讓學生在觀察、分析、思考中留下深刻的印象，問題才會在進一步抽取共性知識的過程中迎刃而解.

二、把握時機，由表及里，適時抽象概括

學生經歷了豐富的實踐活動，已經獲得了一定的感性認識，但他們只是通過原有經驗與表面觀察獲得的感性認識，還是比較粗糙和膚淺的.教師可以適時進行理性思維引導，由表及里，去粗存精，引導學生從中選取某種本質屬性，加工、提煉，這種過程就是抽象概括的過程.抽象概括的過程，實際上就是把感性認識上升到理性認識的過程.

【片段2】

用“尺”間接計量長方形的面積

引導：如果一個小正方形都沒有，你還能知道每排擺幾個，擺幾排嗎？

（1）出示長方形，追問：你怎么知道一共擺了多少個1平方厘米的小正方形呢？

（2）長方形變化：現在長方形的面積是多少呢？說出思考過程.

（3）長方形繼續變化：現在，長方形的面積是多少？

（4）再變：長方形的面積是多少？

（5）談話：接著變，還能再變嗎？長方形的面積要怎樣求？（板書：長×寬）（見圖3、圖4）

史寧中教授認為，抽象可以在感性具體與理性具體之間搭建思維的橋梁.以上教師首先通過“如果一個小正方形都沒有，你還能知道每排擺幾個，擺幾排嗎？”這個核心問題及連續幾個變化的問題，讓學生反思先前的操作過程，特別是計算小正方形的方法，引發“每排幾個，擺幾排”與長方形的長與寬之間的關系，通過討論，學生能概括出“每排幾個”等同于“長”的長度，“擺幾排”等同于“寬”的長度，由此螺旋上升為計算長方形的面積不再需要擺和數小正方形了，只要丈量長與寬的長度，計算便知.在這充滿思維的情境中，適時進行概括，不僅讓學生經歷了長方形的大小變化與尺子刻度之間存在的內在關系，而且能讓學生在對具體圖形中充分感知，形成表象后，及時地進行概括，學生很快便能抽取出長方形面積計算的方法和條件.充分感知，把握時機，及時抽象，能使學生的感性認識上升到理性認識，提高學生的思維能力.

三、感悟層次，由淺入深，建立數學模型

數學抽象能力不僅能使學生厘清各數學因素之間的相互聯系、核心和本質，還能培養學生把具體問題抽象成數學模型的能力.對于深度思維的培養，學生需要經歷數學知識產生的過程，體會數學知識之間的層次性和結構規律，教師還需要讓學生找到數學概念的原型，感受到數學知識本身的形式化、模式化的特點，逐步建立初步的“模型思想”.

【片段3】

概括提煉，生發計算公式

小結：看來，不管長方形怎么變，知道了長，就知道每排能擺幾個面積單位，知道了寬，就知道了能擺幾排，用長乘寬就能算出長方形中包含了多少個面積單位，長方形的面積就是多少.這就是長方形的面積計算公式.（板書：長方形的面積=長×寬）.

如果用a表示它的長，用b表示它的寬，S表示長方形的面積，這個公式還能寫成S=ab.（板書：S=ab）

皮亞諾指出：“數學中的一切進步都是引入符號后的反響.”數學其實就是一個符號化、形式化的系統.以上豐富的操作活動與具有思維性的數學活動讓學生對長方形的面積計算方法逐步清晰起來，他們已能用語言描述面積的計算方法.教師相機引入字母，學生便順理成章地獲得了長方形面積字母計算公式其實是一個能描述長方形面積與長、寬之間內在聯系的數學結構表達式.這個用符號建立的表達式不僅能表達數學問題的數量關系和變化規律，而且它將現實的數學問題簡化、抽象為形式化的符號表達，簡明易記.教師通過此公式的得出過程進一步培養了學生的抽象思維能力.

四、應時變式，由此及彼，提升數學思維

豐富的抽象過程能提高學生的抽象能力，而形式多樣的變化習題更能培養學生去偽存真、捕捉共同特征的抽象素養.利用抽象方法做的數學設計，學生在初步了解概念、計算公式后，還需要由此及彼、由表及里地深化，適時運用變式練習從不同的角度或以不同的方式去進一步認識新學知識的本質屬性.在這一過程中，學生通過探索、交流、發現，在與新知識的比較、分析中，逐步形成了新的知識結構與體系.

【片段4】

選一選

圖中每個小正方形表示1 cm2，圖形的面積是（ ?）.

辨一辨

出示題目：有一塊長方形草坪，長50米，寬20米.

（1）這塊草坪的面積是多少平方米？

（2）小明沿著草坪的四周走了一圈，他走了多少米？

變一變

（1）設計一個面積是18平方厘米的長方形.

（2）如果把長方形的長和寬同時乘2，長方形的面積會發生怎樣的變化呢？

以上教師設計了三組（條件變化、面積與周長、等積異形）變式題組，學生抽象思考與討論探究，教師引導、點撥，學生從而梳理例子中的異同，提取概念的本質屬性，不僅掌握了解決這一類問題的方法，獲得整體認識，而且透過了現象弄清了這類問題的本質，對所學內容得到更深層次的理解和認識.

數學抽象既是數學核心素養之一，又是基本的數學思想.教師在教學時，要精心設計數學知識逐步抽象概括的過程，使學生經歷從具體到抽象，又從抽象到具體，由直觀現實化抽象到概括化的發展過程，引導學生進一步構建抽象思維，形成抽象思維系統，最終實現抽象思維與具象層次的轉化.

【參考文獻】

[1] 王華民，蔡旭林，何英.對核心素養“數學抽象”的實踐與認識[J].中學數學（高中版），2016（9）.

[2]王九紅.數學抽象及其對小學數學教學的價值[J].小學數學教育，2015（Z2）：4-6.

[3]章建躍.數學核心素養如何落實在課堂[J].中小學數學（高中版），2016（3）.

[4]劉娟娟.數學抽象及其在教學中的應用[J].教育研究與評論，2012（8）.