中學生思維發展的心理學研究及其對數學教學的啟示

蘇日娜 喻平

摘要：心理學研究表明，中學生的思維發展有一定的規律，在思維發展的關鍵階段進行適當的教育干預，可以取得較好的教學效果。對相關的研究做簡單的梳理，借助這些研究成果提出一些中學數學教學的建議：在初一至初二階段強調邏輯思維培養;在初三至高一階段加強空間思維的培養;在高一至高二階段突出概括能力的培養。

關鍵詞：思維發展;數學教學;邏輯思維;空間思維;概括能力

心理學一般把人類的思維分為直觀行動思維、具體形象思維、抽象邏輯思維三種形式。前兩種形式適用于學前兒童和小學低年級階段兒童，中學生的思維形式主要是抽象邏輯思維。心理學研究表明，中學生的思維發展有一定的規律，在其思維發展的關鍵階段進行適當的教育干預，可以取得較好的教學效果。本文對中學生思維發展的相關研究做簡單的梳理，并借助這些研究成果提出一些中學數學教學的建議。

一、心理學對中學生思維發展的研究

（一）中學生的思維發展

林崇德教授將抽象邏輯思維分為兩種水平：一種需要具體經驗的支持，屬于經驗型抽象邏輯思維;另一種則是從具體上升為理論，又用理論指導去獲得具體知識，包括歸納過程和演繹過程兩種形式。抽象邏輯思維也可以分為形式邏輯思維和辯證邏輯思維兩個階段：形式邏輯思維是指依據形式邏輯法則來推理的思維;辯證邏輯思維是指在形式邏輯思維的基礎上應用哲學的對立性、轉化性、系統性的思維。

一般說來，初中階段的思維形式多是經驗型，高中階段的思維形式多是理論型。從初二開始，學生的抽象邏輯思維由經驗型向理論型轉化，到高二，這種轉化基本完成。初二明顯表現出飛躍、突變和分化，高二則趨于定型。

全國青少年心理研究協作組曾對全國23個省、市、自治區的初一、初三和高二學生進行大規模的調查研究。研究結果顯示，形式邏輯思維在初一階段就已占據優勢，到高二階段已經基本成熟，說明具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡和轉變在小學階段就已基本完成。歸納推理、演繹推理在各年級間存在顯著差異。初一學生雖已開始具備各種推理能力，但假言、選言、復合、連鎖等演繹推理和運用推理解決問題的能力都還比較弱。與初一學生比較，初三學生的推理能力已有質的區別，說明初二是一個轉折期。而辯證邏輯思維在初一階段已經初步具備，到高二階段明顯占據優勢。在性別差異方面，男女生的思維發展水平沒有顯著差異。而林鐘敏等的研究也表明中學男女生在形式邏輯推理能力方面不存在顯著差異。

黃煜烽等對全國19個省、市的三種不同類型學校的初一、初三、高二學生進行了邏輯推理能力的測量研究，結果發現：在整個中學階段，學生的推理能力隨著年級的提高而發展，而歸納推理的發展在初二階段尤為迅速;在整個中學階段，歸納推理發展的水平要高于演繹推理，而在演繹推理中，直言推理能力發展較好，連鎖推理能力發展較差。

Csapó設計了數字類比、言語類比、數字序列、言語序列、編碼、排除六項歸納推理測驗，以三、五、七、九、十一年級學生為被試。不同年級學生的比較結果表明，歸納推理能力發展最快的時期是五年級到九年級之間;在三年級時學生就有了歸納推理能力，在九年級之后歸納推理能力的發展只有輕微的變化。

在形式邏輯上，假言推理一般有兩種形式：一是充分條件的假言推理，即以一個充分條件的假言判斷為前提的推理，表現形式為“如果……則……”;二是必要條件的假言推理，即以一個必要條件的假言判斷為前提的推理，表現形式為“只有……才……”。李丹等對小學三年級到初中三年級的495名被試進行了測試，結果發現：假言推理能力在小學三年級就有初步表現，但真正掌握要到初中一年級，在小學六年級、初中一年級之間出現加速現象;總的看來，發展階段比直言三段論式推理推遲一年左右。

滕洪昌等對從小學到大學的學生進行測量，發現被試對充分、必要條件假言推理的掌握存在差異，即對必要條件的掌握明顯高于充分條件，這說明學生假言推理能力的發展是不平衡的。但從發展的角度來講，學生的推理能力逐漸提高，有持續上升的趨勢，初中生和高中生沒有顯著差異。

劉志雅等用“和”“或”“當且僅當……那么……”“如果……則……”“只有……才……”等文字呈現形式對各個階段的學生進行了復合命題測試。結果顯示，在兒童期、少年期和成年期中，后兩個時期相對于前一個時期，復合命題的理解能力獲得顯著發展。各種命題類型的理解表現出不同的發展特點：聯言命題的理解在小學階段已基本完備;選言命題和充要條件命題的理解在小學階段也得到初步發展，在初中和大學階段獲得顯著發展并達到較高的水平;充分條件命題和必要條件命題的理解基本上要到初中階段才初步具備，需要終身發展并難以達到較高的水平。

李云峰等發現，直言三段論式正誤辨別過程以具體內容為材料時，中學生在各個年齡階段有顯著差異，但采用相同命題時，中學生并沒有表現出年齡特點。這說明內容的效應隨年齡增長而增強。在初一時，女生的反應時間要長于男生，但正確率較高。他們認為，高一至大一是關鍵期，年齡發展差異在此階段尤為顯著;同時也是男女思維出現差異的重要時期。

郝嘉佳等選取小學二年級、小學五年級、初二和高二約1900名學生，對其具體形象思維、形式邏輯思維和抽象邏輯思維的發展模式和軌跡進行全面描繪。對具體形象思維，主要從心理旋轉和空間想象兩個方面測量;對形式邏輯思維，主要從歸納推理和演繹推理兩個方面測量。調查發現，學生的視知覺空間能力和推理能力在11歲之前逐漸發展，從11歲開始發展變得緩慢。這表明，11歲之前是學生思維發展最為迅速的階段，也是培養學生思維的敏感期。之后，學生的各種思維表現出不同的發展模式。形象歸納推理能力從小學二年級到高二一直保持上升的趨勢;心理旋轉和抽象演繹推理能力高二顯著高于初二，小學五年級高于小學二年級，而初二與小學五年級之間沒有顯著差異，這表明初二之前都是平緩期，初二之后進入發展期。與此相反，空間想象、抽象歸納推理與形象演繹推理能力，初二顯著高于小學五年級，小學五年級顯著高于小學二年級，但初二與高二之間沒有顯著差異，這表明初二之后進入平緩期，初二之前都是發展期。因辯證思維到中學階段才開始發展，基于此，研究發現，高二顯著高于初二。

“青少年科學思維能力的發展與培養”課題組采取定性研究與定量研究相結合的方式，綜合應用文獻法、測驗法，研究了青少年的思維發展。結果顯示，高中生已經具備了抽象思維能力，但還沒有成熟。抽象思維方面，邏輯推理能力較強，分析綜合能力較弱，而抽象概括能力更弱;男女生之間存在差異但不顯著，男生高于女生。中學生的形象思維能力隨著年齡的增長而不斷發展，但仍存在關鍵期和成熟期。從初三到高一這一階段是中學生形象思維能力迅速發展的時期，高二趨于成熟。而且，形象思維能力存在性別差異：初一、初二時并無明顯差異，但初三時男生的發展速度明顯高于女生;男生的形象思維能力在高一階段基本成熟，女生到高二階段才會基本具備形象思維能力。

總之，中學生的思維發展呈逐步上升態勢，思維的不同形式存在一些發展的關鍵期。

（二）思維能力的培養

張緒揚認為，培養思維能力不應該只限于激發腦力活動或興趣，良好的思維方法與習慣尤為重要。他將思維能力分為4個維度，作為實驗的因變量：（1）思維的速度，即單位時間內正確完成的心理操作量;（2）思維的廣度，即思路的開闊程度，表現在解決問題時，能從多方面攝取信息，考慮到與問題有關的各方面的程度;（3）概括力，即通過分析綜合、抽象概括，從具體事實和材料中得出一般原理和結論的能力;（4）發揮力，即發現一事物與其他事物的聯系，在已有信息的基礎上產生大量新信息的能力。他根據英國學者E.Debono的思維課改編教材，在實驗班利用課外活動時間開設思維課，每周1課，共上10周。該教材共10章，所教的思維方法包括：要看到事物的正面和反面，不要簡單地接受或拒絕，而要全面地考慮一種情境的所有因素;要有一些為人們廣泛理解并共同遵守的規則;要注意一種行動的眼前后果和長遠后果，弄清行動的目的;在行動之前，要有一個明確的計劃;要按問題的重要性排列順序，優先解決比較重要的問題;要找到解決問題的新思路，不要拘泥于老一套的辦法;在任何時候都必須做決定;要放棄自己的觀點去考慮別人的觀點。實驗結果表明，這樣的訓練能夠提高思維的速度、開闊思維的廣度、增強概括力，對思維能力的培養有明顯的促進作用。

蔡曉暉等也做了類似的研究，他們的實驗教材是根據英國學者大衛·劉易斯和美國學者詹姆斯·格林的訓練材料改編的，主要特點是培養學生的元認知能力。改編后的教材共分5講：第一講是概述;第二講是如何分析內容結構;第三講是如何更有效地學習;第四講是如何更有效地解決問題;第五講是如何更好地決策。初一和高一的學生經過12周、每周1次課（45分鐘）的訓練，結果顯示，中學生在掌握了一定的思維策略后，能夠在較短的時間內提高其智能水平，在一定范圍內，思維能力訓練的效果是可以遷移的。

趙愛蘭對初二的學生專門開設了7次思維課，內容涉及：未來世界的特征及對人才的要求;創造性思維的種類、特征;中學生最優學習方法，選擇最優學習方法的原則及六環節學習法;快速閱讀及自學方法;創造性思維訓練（通過11個例題學習6種類型創造性思維方法）。實驗表明，創造性思維的專門訓練，可以提高學生的發散思維能力與邏輯推理能力。

林崇德教授把思維品質訓練看作發展學生思維能力的突破口。思維品質包括思維的敏捷性、靈活性、深刻性、批判性和獨創性。思維的敏捷性方面，采用的訓練策略是要求學生在數學運算中提高速度，掌握一些運算方法。思維的靈活性方面，主要采用一題多解的方式，訓練學生的發散思維。思維的深刻性方面，一是要求學生學習領會數學思想方法，二是訓練學生的概括能力;三是培養學生的推理能力特別是連續推理能力。思維的批判性方面，主要訓練學生的反思能力，提高學生的元認知水平。思維的獨創性方面，采用學生獨立編題，解答開放題等方式展開訓練。

二、對中學數學教學的啟示

（一）在初一至初二階段強調邏輯思維的培養

大量的心理學研究表明，初一至初二階段是學生邏輯思維發展的關鍵時期。如果在這個階段不注意培養學生的邏輯思維，即使在后面加強培養，也可能事倍功半。

這里，我們不得不提及2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》和2011年頒布的《義務教育數學課程標準（2011年版）》。兩者都極大地削弱了初中平面幾何證明的內容，降低了邏輯推理的要求。這個做法顯然存在很大的問題：在培養邏輯思維能力最佳的年齡階段削弱了培養邏輯思維能力最佳的內容載體，產生的后果是嚴重的。我們希望，這樣的過失在新一輪課程改革中不再重演。

邏輯思維的培養主要依托邏輯推理的訓練。按照《普通高中數學課程標準（2017年版）》的界定，邏輯推理包括演繹推理和合情推理（歸納與類比）。因此，要對初一至初二階段的學生加強這兩類推理的訓練。

1.在平面幾何教學中嚴格訓練演繹推理。

一般說來，平面幾何問題都是封閉性問題，即條件充分，結論明確，解答就是依據已有的定理、公理、公式等，從條件推出結論，整個過程都是演繹推理。在教學中，可以采用由淺入深、循序漸進的方式訓練學生。比如，分為如下幾個階段：（1）教師寫出證明步驟，讓學生填寫每一步推理的依據;（2）教師寫出證明步驟，但其中缺少某一步，由學生補全這一步;（3）教師寫出證明步驟，但其中至少缺少某兩步，由學生補全缺少的步驟;（4）教師給出題目，由學生自己完成全部證明過程。

此外，完全有必要給學生講一點邏輯規則。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在初中“圖形與幾何”部分有一個關于“定義、命題、定理”的內容，涉及的就是邏輯規則。這個內容可以放到引入證明的階段，讓學生提前知道簡單的邏輯規則，訓練學生用邏輯語言表達命題之間的關系，養成推理意識。例如，命題1：如果一個數是正整數，則它是有理數;命題2：如果一個數是有理數，則它是實數;命題3：如果一個數是正整數，則它是實數。將上述命題用邏輯語言寫出推理的格式如下：若x→y，y→z，則x→z。

2.加強歸納推理與類比推理的訓練。

根據顧泠沅教授的研究，在解題過程中訓練學生的歸納推理能力，可以引導學生首先對已知信息進行表征，然后對共同特性進行識別與歸納，在大腦中形成猜想，最后進行假設檢驗。樣例的典型性和多樣性是影響學生歸納推理準確性的重要因素。選擇的題目典型性高，就表明對這個類型的題目代表性高，從而，將特征歸納推理到整個類別時，就會有較高的準確性。相較于典型性，多樣性的作用不那么穩定：有時，樣例之間的多樣性太高反而會對學生造成壓力。

例1平面上n條直線兩兩相交，其中任意三線不共點。它們能把平面分成多少個部分？

一般而言，這類問題都是從特殊入手，觀察特殊情形，然后歸納出規律。設n條直線把平面分成f（n）個部分，考察n=1，2，3等特殊情形，可得f（1）=2，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3……由此猜想f（n）=f（n-1）+n=f（n-2）+（n-1）+n=…=2+2+…+（n-1）+n=1+n（n-1）2。

歸納思維的訓練在小學教材中比較常見，因此初中生并不陌生。類比推理的訓練在小學教材中相對較少，因此在初中階段應當加強。類比包括知識結論的類比、思想方法的類比等。

比如，教學“因式分解”內容時，可以有目的地選編一些典型的題目，通過改變其“發散點”，引導學生思考拓展，培養學生的類比推理能力。例如，根據a2+（x+y）a+xy=（a+x）（a+y）相應地可以得出：（1）1+（x+y）+xy=（1+x）（1+y）（當a=1時）;（2）（A+B）2+（x+y）（A+B）+xy=（A+B+x）（A+B+y）（當a=A+B 時）;（3）a2+（A+1）a+A=（a+A）（a+1）（當x=A，y=1時）。

3.開展專門的邏輯思維訓練。

在前面的綜述部分已經說明，對學生開展專門的思維訓練確實能夠產生很好的效果。因為這個階段正是學生發展邏輯推理的最佳時期，容易塑造，利于催生。因此，如果學校要打造校本課程，建議設置一門邏輯推理課程，每周上1節課，堅持下去，定能產生明顯的效果。這種訓練不僅是數學學科的教學任務，而且是所有學科共同的教學任務，因為邏輯思維能力的提升會遷移到所有學科的學習中。

（二）在初三至高一階段加強空間思維的培養

從教材編制的傳統看，初二開設平面幾何課程，高一開設立體幾何課程，是有道理的。心理學的諸多研究也支持這一觀點：初三至高一是發展空間思維的最佳時段。

形象思維與空間思維是有區別的。形象思維是以具體表象為材料的思維，是抽象邏輯思維的基礎。而空間思維可與《普通高中數學課程標準（2017年版）》中定義的“直觀想象”等價看待，是數學核心素養。“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的過程。主要包括借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。”

在教學中，可以采用多種方式訓練學生的直觀想象：（1）圖形的變換;（2）在復雜圖形中識別簡單圖;（3）圖形的折疊與展開;（4）數形結合;（5）圖形與計算;（6）圖形推理;（7）根據圖形提出數學問題。這些方式都是訓練學生空間思維的有效手段。下面，舉幾個數形結合的例子：

完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2的幾何模型如圖1所示，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的幾何模型如圖2所示。

例2若a、b是小于1的正數，試證明：a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22。

這是一個代數問題，但用代數的方法證明比較麻煩。其實，這個不等式出自一個幾何模型。如圖3，作邊長為1的正方形ABCD，分別在AB、AD上取AE=a，AG=b。過E、G分別作EF∥AD、GH∥AB，交DC于F、BC于H。EF與GH交于點O。連接OA、OB、OC、OD、AC、BD，則有OA=a2+b2，OB=（1-a）2+b2，OC=（1-a）2+（1-b）2，OD=a2+（1-b）2。而OA+OC ≥AC，OB+OD ≥BD，即a2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥2，（1-a）2+b2+a2+（1-b）2≥2。兩個式子相加，即得結論。

（三）在高一至高二階段突出概括能力的培養

1.采用概念形成的方式教學。

概念形成是指人們對同類事物中若干不同例子進行感知、分析、比較和抽象，歸納概括出這類事物的本質屬性，從而獲得概念的方式。顯然，概念的形成本身就是一個概括的過程，因而，這種教學方式的目標之一就是培養學生的概括能力。

概念形成的教學操作可以為：（1）教師提出一組實例讓學生辨認，指出它們有哪些共同的屬性;（2）由學生提出這一組例子的共同成分的假設，并依據這些假設檢驗每一個例子;（3）通過與已有認知結構的相關觀念聯系，概括抽象出對象共同的、本質的屬性;（4）給出概念的定義;（5）用正例和反例強化。

例如，教學“冪函數”時，可以摒棄直接給出概念定義的傳統方式，嘗試從學生熟悉的背景出發，得到有關實例。比如，已知邊長為x的正方形的面積為y，那么y關于x的函數可以表示成什么？得到y=x2后，再給出一組例子y=x、y=x14、y=x3、y=x、y=1x等，讓學生觀察，歸納出這些函數的共同特征。最后形成定義，取名為冪函數。

2.加強解決變式問題的訓練。

數學問題的解決不僅需要具體知識，還要用到一些一般性方法。在解決數學問題的過程中，學生要學會概括解題方法，以方法來歸類問題。所以在解題教學中，可以重點從變式問題出發，培養學生的抽象概括能力。

例3求y=x+1x，x>0的最小值。

變式1求y=x+1x，x<0的最大值。

變式2求y=2sin x+sin x2，x∈[0，π]的最小值。

變式3已知3x+y=5，x>0，y>0，求xy的最大值。

對于原題，可以直接運用基本不等式得到y=x+1x≥2x·1x=2，當且僅當x=1x，即x=1時，y取到最小值。變式1不滿足“正數”的條件，可以變形為-y=-x+1-x≥2-x·1-x=2，即x=-1時，y取到最大值—2。變式2由于x∈[0，π]，0

解答一組變式問題，實質是要學生概括出解決基本不等式問題的通性通法，即“一正二定三相等”，從而發展學生的概括能力。

3.開展專門的數學抽象訓練。

數學抽象是指從一些具體的事物中找出它們的共性，這是需要概括的。通過數學抽象的訓練，可以培養學生的概括能力。當然，面對一類事物，通過觀察，有時概括出它們的共同屬性并不困難，難的是概括出它們共同的本質屬性。換句話說，概括出的可能只是表面的共同屬性，而非內在的本質屬性。一般說來，數學抽象只關注對象的數量特征和圖形特征。這事實上為數學抽象指明了思維的方向。

例4請你觀察下面一組圖形（如圖4），它們有什么共同屬性？你能為這一組圖形取一個恰當的名字嗎？

通過觀察，學生可能會提出許多觀點，如多邊形、六邊形、六角形等。這些的確是它們的共同屬性，但是，如果只停留在這些屬性層面上，則沒有太大的價值。進一步觀察，教師可以引導學生發現這些六邊形比較特殊，它們的三組對邊都分別平行。類比平行四邊形的定義“兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形”，這種圖形可以取名為平行六邊形。這是一個數學抽象的過程，抽象出了這類圖形的本質特征。顯然，觀察者的概括能力在數學抽象中起著至關重要的作用。

*本文系喻平教授團隊的“數學學習心理學研究及其教學啟示”（中學）系列文章之十。

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