“量的積累”到“質的飛躍”

孟勇

[摘 ?要] 反思是數學學習中的一個重要環節，高中的知識點多，題型多變，很多學生在題海中苦苦作戰卻始終不見成效，不會反思、提煉、總結、內化是原因之一. 教學過程中，教師都會留一些時間讓學生整理、歸納，對于一些學生而言卻毫無收獲，所以教學中有必要做一些適當的引導，教學生如何反思.

[關鍵詞] 學習反思;數學教學;解析幾何;反思教學

筆者在2020年帶的高三班級為藝術班，高三上學期基本沒有上課，下學期第六周的數學檢測中，解析幾何的解答情況引發筆者進行了思考.

題目再現：高三下學期第六周周練第18題

原題：如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，焦點在x軸上的橢圓C：+=1經過點（b，2e），其中e為橢圓C的離心率.過點T（1，0）作斜率為k（k>0）的直線l交橢圓C于A，B兩點（A在x軸下方）.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）過點O且平行于l的直線交橢圓C于點M，N，求的值;

（3）記直線l與y軸的交點為P，若=，求直線l的斜率k.

1. 解答情況的反饋

本題選自2017屆南京市、鹽城市高三數學第一次模擬考試第18題，屬于常見的直線與橢圓問題. 藝術班共42位學生，僅有13位學生能完成第一問的解答，第二問可以做到韋達定理;能夠做到第二問的答案、拿到10分的只有一位學生，但這位學生的解題過程比較煩瑣，沒有利用韋達定理整體代入的求值思路，而是用斜率k表示點的坐標，然后代入兩點之間的距離公式進行計算，整個計算過程相當麻煩！萬幸的是“功夫不負有心人”，這位學生最后居然算出來了！本題共16分，該班的平均分是4.21分，得分率僅為26.3%.

這道題這么低的得分率，讀者們可能認為對藝術班的學生來說是正常的，畢竟他們用于文化學習的時間相對較少，而且計算能力又普遍較弱. 但是，此題作為高考數學的必考題型，經過六周的訓練、評講，仍然只有部分學生能完成第一問的解答，這不得不讓筆者反思“教”“學”兩方面是否存在問題.

2. 舊題回顧

以上是六周內筆者引導學生解決過的解析幾何問題，筆者在教學過程中，對藝術班解決解析幾何問題的得分定位是突破10分，在訓練、講評過程中特別注意解題的規范化，注重“一題多解”，比較解題方法，強化學生優化解題過程的意識. 盡管解決過這么多的直線與橢圓問題，但學生在考試中仍然是普遍不會做解析幾何問題的第二問，因此“教”與“學”兩方面都需要反思.

（1）“教”的方面：教師在講評過程中易著重講解“如何算”，而忽略“如何分析”. 解析幾何問題的解決過程正是要關注好這兩個任務，才能保證學生良好的計算正確率及引發學生去思考如何優化計算過程. 對于計算能力一般的學生，一但開始了計算，一般很少會有精力再去關注優化的問題，所以教師在解析幾何的突破方面應引導學生重視問題分析過程，通過分析確定好解題路徑. 原題的得分率較低的一個主要原因，就是學生對解題目標不清晰，在解答之前沒有一個明確的解題路徑. 大部分學生是根據以往的經驗猜測需要聯立方程、利用韋達定理，但并不清楚這一過程與解答問題之間的聯系，所以沒有繼續解答下去的信心和方向，更不要說學生在解答問題前會好好思考如何優化計算過程.

（2）“學”的方面：學生的課后反思不到位，或者說學生不會反思. 筆者所在的學校比較重視學生的課后反思，每天都會有一節自修課引導學生自主整理、消化一天所學的知識內容. 但從檢測效果來看，學生并沒有在已經解決過的問題中總結出實用的解題經驗去提升自己的解題能力. 學生對解析幾何問題的反思往往被煩瑣的計算過程所阻礙，即使能順利地自我反思，也往往是模仿教師再去計算一遍，而不是去思考為什么要這樣計算，解決過的問題之間的相同點有哪些、不同點有哪些，以及這些不同點在解決策略上有怎樣的區別.

基于該想法，筆者設計了一節“通過解題路徑的預設，確定解析幾何問題的解題目標，優化計算過程，增強學生解題信心”的專題反思課.

教學過程

展示學生對原題的解答過程，問：為什么不再算下去？

答：不知道該怎么算了.

問：前面我們已經解決過的問題是如何處理的？

1. 舊題回顧，總結提升

通過學案的形式展示最近解決過的一些解析幾何問題（前文已經羅列）. 筆者在課堂上留下了一些時間讓學生回顧各題的解決方法，并鼓勵學生在課堂上說出來，筆者把每道題的解答路徑在黑板上寫了出來.

問：以上問題的解決過程中比較重要的環節在哪里？

答：分析環節，能得到問題的解決方法.

問：你們的看法跟我一樣，為什么是分析環節比較重要呢？

答：通過分析得到解題方法后，計算就有了明確的目標.

問：通過對以上題目的回顧，你們發現了它們之間的相同點和不同點嗎？

答：相同點是它們都是直線與橢圓問題;不同點是有些直線與橢圓已知一個交點，有些直線與橢圓的兩個交點都不確定.

問：那么在處理的過程中有什么不同？

答：一般情況下，已知一個交點，另一個交點比較容易求出;而若兩個交點都不確定，則可以使用韋達定理得到兩個交點坐標之間的關系.

本環節花了大概25分鐘的時間，一共分析了6道解析幾何問題常規的解答思路，并總結了6道解析幾何問題解法的共同點和不同點，目的是讓學生再遇到類似問題時能找到正確的解答方向.

2. 學以致用

問：通過以上的回顧小結，你們能告訴我試卷上這道題應該從哪里開始解答嗎？

接下來，只需要在解題路徑的引導下，完成每一步計算就可以了. 前期的分析直接決定了解析幾何問題的解答成功率.

3. 教學反思

這是一節比較特殊的講解解析幾何的專題課，涉及了7道解析幾何問題. 經過以上的分析，明確了直線和橢圓聯立方程的目的，明確了原題的解題路徑，更重要的是借助于直線方程優化了計算過程，同時增強了學生的解題信心. 本節課的主要任務是克服學生不敢算的心理，計算能力的培養不是一兩節課就可以解決的，需要經過一定的獨立解決解析幾何問題的經驗積累.

本節課通過對考題的講解及對舊題的回顧、反思、總結，第一個目的是讓學生對解析幾何中的直線與橢圓問題的解決形成一個固定的思維模式——先分析后演繹;第二個目的是通過對比讓學生發現不同樣條件下的不同解法. 常見的直線與橢圓問題大致可以分為兩類：一類是直線與橢圓有一個已知交點，解決方法一般是直接解出另一個交點;另一類是直線與橢圓的兩個交點都不確定，解決方法一般是通過韋達定理構造兩根之積、兩根之和，然后用整體代入、設而不求的方法求解.

結束語

著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾指出，“反思是數學思維活動的核心和動力”. 他強調，學生學習數學是一個經驗、理解和反思的過程，其核心是數學過程的再現. 《普通高中數學課程標準（實驗）》也提到了“反思與建構”及“關注學生能否不斷反思自己的數學學習過程”等詞條. 足見反思在學習過程中的重要性. 教師在平時的教學過程中，除了留足時間讓學生反思，還應指導學生該如何反思！這樣的教學才能起到事半功倍的效果.