課本一道習題的變式及探究

袁小強

[摘 ?要] 某些基本不等式結構不明顯的試題在求最值時不能直接運用基本不等式求最值的結論（和定積最大，積定和最小），此時需要利用換元法，將其化歸為常見的基本不等式的結構.

[關鍵詞] 基本不等式;換元法;化歸;最值

評注：此題用配湊法顯得不太容易，而通過換元，化繁為簡，轉化為求+++的最小值.

對結構比較復雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化、明朗化，在減少多項式項數，降低多項式結構復雜程度等方面有獨到作用. 換元法把某些部分甚至全局，當做一個單位考慮，常常令人豁然開朗. 做一題，通一類，在用基本不等式求最值的過程中，有時問題看似比較復雜，但通過換元能使問題變得簡單，讓我們看到問題的本質. 換元法是常見的化繁為簡、化不熟悉為熟悉的重要思想方法，具有足夠的數學魅力.