小學數學計算的算理結構及教學策略

薛翠艷

[摘 ?要] 算理結構是計算的內在脈絡、靈活。在小學數學計算教學中，立足學生的經驗、回歸算法本源、利用直觀表象、溝通結構脈絡，促進學生分析、理解、應用計算的算理結構。在理解算理的基礎上構建算法，有助于豐富學生的數學化思維方式，促進學生計算能力的可持續發展。

[關鍵詞] 小學數學;計算教學;算理結構;教學策略

計算教學是小學數學教學的重要組成部分，是小學生數學核心素養的基石。沒有良好的計算素養，學生的數學核心素養就無從談起。著名的教育家赫爾巴特認為，“所有比較確定的知識，都必須從計算開始”。引導學生計算，不僅要讓學生掌握技能、技巧等，更重要的是要讓學生理解計算算理。其中，算理結構是計算的內在脈絡、靈活，對算理結構的分析、理解有助于學生掌握計算方法、法則等，進而促進學生形成計算思想和方法等。在小學數學計算教學中，教師要引導學生深度分析、洞察計算的算理結構，讓計算的算理結構成為學生計算心理的重要組成部分。

一、立足學生的經驗，分析計算的算理結構

所謂“算理”，是指“計算的理論依據”。在小學數學學科中，算理包括計算的概念、性質、定律等。算理是計算法則的內在支撐，解決的是“為什么這樣計算”的問題。在計算教學中，理解算理是一個核心的、關鍵的環節，發揮著基礎性的功能和作用。只有深度理解了算理、把握了算理，才能有效地構造算法、進行計算。在小學數學教學中，首先要立足學生的經驗，引導學生分析算理結構、理解算理。可以這樣說，經驗是學生理解算理的基石。

經驗不僅包括學生的生活經驗，也包括知識經驗。比如教學“小數的加法和減法”（北師大版第8冊）這部分內容時，教師可以從以下兩個經驗層面來引導學生認知、建構算法：一是基于“整數加減法的內在算理”來助推學生理解“小數加減法的算理”。我們知道，“小數點對齊”本質上也是“數位對齊”，是“計數單位相同才能直接相加減”。這樣分析算理結構有助于學生整合算法。二是利用學生的經驗來理解內在算理。教學中，教師或學生可以給抽象的小數加上“單位”——比如“1.23+3.5”，加上“元”“米”等單位——促進學生理解“小數加減法的內在算理”，從而讓學生掌握“小數加減法的法則”。通過數學計算算理與學生的知識經驗的融通，能讓學生真正理解算理。同時，激活學生的經驗，能為學生理解算理提供動力源泉，讓算理在學生的心靈中扎根。

立足學生的經驗，分析計算的算理結構，要注重引導方式，要助推學生自主發現、建構，要將新算理與學生的知識經驗無縫對接。教學中，教師要引導學生整合算理、再構建算理，促進學生完成經驗遷移和算理再創造。當學生理解了算理之后，就能“循理入法”“以理馭法”。

二、回歸算法本源，分析計算的算理結構

相對于算法，算理應當更“接地氣”。算法是抽象化、形式化、數學化的，而算理則是經驗化、具體化、生活化的。在小學數學計算教學中，教師要善于發掘算法的本源，即在算法的生發、生長過程中引導學生理解算理。教學中，教師可以采用“以退為進”的策略，正如著名的數學教育家華羅庚所說，“學習數學要善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅”。

比如教學“有幾瓶牛奶——9加幾”（北師大版第1冊）這部分內容，教師可以引導學生從“數概念”“運算意義”的本源性視角去思考、探究。比如教學中可以出示一個情境圖：“在盒子里放了9瓶牛奶，在盒子外放了6瓶牛奶?！比缓髥l學生思考：“一共有多少瓶牛奶？”觀察并思考情境圖之后，學生會認識到，“求一共有多少瓶牛奶”就是“將盒子里的牛奶與盒子外的牛奶合并起來”?！昂喜ⅰ背闪藢W生理解算理的關鍵。為此，教師可以引導學生進行多元化操作：其一，從加法的基數意義上引導學生先數盒子里的牛奶瓶數，接著數盒子外的牛奶瓶數;其二，從加法的序數意義上引導學生從盒子里的牛奶瓶數開始數起（即以9為起點數起），直接接著數盒子外的牛奶瓶數;其三，可以引導學生觀察“盒子里差一瓶牛奶就可以湊成10瓶牛奶”，從而幫助學生建立“湊十法”的計算模型。如此，從加法的計算本源——“合并”上引導學生建構多樣化的算法，促進學生理解算理、建構法則。在小學數學教學中，“數概念”“數意義”等是學生算法建構的源頭，必須有意識地夯實。

在小學數學教學中，最基本的“加減乘除”的算法都是有其本源意義的。比如“加法”的表征是“合并”，“乘法”的表征是“相同加數的‘反復合并’”;“減法”的表征是“分解”，“除法”的表征是“相同減數的‘分解’”。在計算教學中，教師完全可以借助于數概念、數意義等的支撐，促進學生理解計算算理、建構計算算法。

三、利用直觀表象，分析計算的算理結構

計算的算理結構是抽象化、形式化的，因此教師可以借助于形象化的圖式、具象化的操作等手段、方法，幫助學生建立算理的直觀表象，促進學生分析計算的算理結構。在小學計算教學中，教師可以借助于具有“齊性”特質的數學學具，比如小棒、圓片等，引導學生進行操作。通過對這些數學學具的操作（如重組、合并、分解等），引導學生分析計算的算理結構。在這個過程中，引導學生建立算理的直觀表象，進而助推學生理解、遷移、應用計算的算理結構。

比如教學“分數乘分數”（北師大版第10冊）這部分內容，教師可以啟發學生根據分數的意義畫出直觀的長方形圖。比如教學“×”，先讓學生畫出一個長方形表示單位“1”，然后將這個長方形豎著（或橫著）平均分成3份，涂上斜線（單陰影）表示其中的2份;在此基礎上，將圖中的按相反的方向（原豎著現在橫著，原橫著現在豎著）平均分成5份，再用雙陰影表示其中的3份。接著，啟發學生：×就是將整個長方形平均分成了多少份？表示了其中的多少份？學生經歷了畫圖的過程，通過結果的直觀呈現，發現×=。由此，學生猜想：分數乘分數就是用分母相乘的積作新分數的分母（平均分的總份數），用分子相乘的積作新分數的分子（表示的總份數）。同時，學生會再一次舉例驗證，并且從分數乘分數的意義上加以理解，即分數乘分數表示的是幾分之幾的幾分之幾。在這個過程中，教師要引導學生進行比較、分析、概括。經過一系列的操作過程，學生就能建立“分數”（單陰影）、“分數乘分數”（雙陰影）的算理認知，算理表象積極內化，學生對計算法則的理解便更加清晰、更加深入。

華羅庚曾經說過，“數無形時少直覺，形少數時難入微”。直觀表象是學生理解算理結構的基石。在數學教學中，教師可以引導學生借助于動手操作（如畫圖），將抽象的算理轉化成直觀圖形，從而幫助學生建立直觀表象。借助于幾何圖形的直觀表象，支撐學生理解算理，同時還促進學生的直觀思維和抽象邏輯思維的協調發展。

四、溝通結構脈絡，分析計算的算理結構

在小學數學計算教學中，教師還要將不同計算的算理、算法進行溝通，引導學生認識到算理、算法內在的一致性。通過溝通結構脈絡，引導學生分析計算的算理結構。為了讓學生擺脫非本質的認識，教師必須引導學生進行分析、比較，把握知識的相同點和不同點，進而達到對算理結構的深層次理解。溝通結構脈絡，有助于學生理解計算算理，從形式化走向結構化。

比如教學“異分母分數相加減”（北師大版第10冊）這部分內容之后，筆者將“整數加減法”“小數加減法”一起引入其中，引導學生比較算法。通過算法比較，深化學生的計算識別力，讓學生主動把握算理的內涵，從而積極地類比算理，獲得遷移能力。通過算法比較，學生認為，盡管“整數加減法”“小數加減法”和“分數加減法”的計算法則不同，但其本質（算理）是相同的，都是“只有計數單位相同才能直接相加減”。這樣進行比較，讓學生深刻理解不同加減法的計算算理內在的一致性。在算理的內在關聯中，學生形成了對“整數加減法”“小數加減法”和“分數加減法”的算理、算法的整體性認知，有助于學生的算法遷移、算法應用。在算理的融通中，學生對計算算理不僅“知其然”，更“知其所以然”。

結構性的算理是算理教學的暗線。將結構性的算理顯現出來，有助于凸顯算理蘊含的數學思想和方法，有助于學生精致化理解算理。理解算理結構，有助于學生的算法遷移、算法應用，讓學生感受到、體驗到算理結構的力量。在理解算理的基礎上構建算法，有助于豐富學生的數學化思維方式，促進學生計算能力的可持續發展。

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