深度學習理論視角下的“算理”教學策略

莫照發

[摘 ?要] 計算教學中強調學生對“算理”（計算原理）的理解，這對于發展學生的數學素養和思維能力具有非常重要的意義。根據深度學習理論，計算教學強調學習者對算理的理解，突出對計算方法的本原性追問與思考，深度學習理論視角下的算理教學，就是強調在計算教學過程中，超越傳統的以掌握算法為重點的教學要求，達成對算理的深層理解，順利實現有意義的學習。深度學習理論視角下的算理教學策略包括：利用生動的現實情境，在真實問題中理解算理;提供豐富的感性材料，在全面參與中理解算理;創設問題探究任務，在表達交流中理解算理。

[關鍵詞] 計算教學;算法;算理;深度學習;理解

計算教學是中小學數學教學的重要組成部分，有助于培養學生的數學運算能力，形成核心素養。我國數學教學一貫重視對學生計算能力的培養，但計算教學過于注重方法、技巧的操練，缺乏對計算教學整體上的真正理解[1]。對于一線教師而言，計算教學看似簡單，普遍認為在其教學過程中只涉及知識與技能的應用，通常沒有太大的教學難度;對學生而言，解答計算題也遠沒有解答幾何題、應用題等困難，通常只需要根據計算法則和特定的運算程序，即可保證較高的正確率。因此，計算教學在傳統上更偏重于“算法”（計算方法）教學，即更多地強調學生掌握計算方法。事實上，計算教學是數學教學中需要重新審視的教學領域，除了強調學生掌握計算方法以外，還應突出隱藏于算法之中的計算原理（以下簡稱“算理”）。根據近年來有關深度學習理論的研究，計算教學強調學習者對算理的理解，是課堂教學中不可或缺的一面，對發展學生的數學素養和思維能力具有非常重要的意義。

一、深度學習理論簡析

深度學習（Deep Learning）是對學習狀態的質性描述，強調對知識本質的理解和對學習內容的批判性利用，尋求有效的學習遷移和真實問題的解決，屬于以高階思維為主要特征的高投入性學習[2]。傳統的以單純獲取知識與依靠記憶掌握算法為主要特征的計算學習，根本上講是一種淺層次的認知活動。深度學習則是一種以高階思維（如分析、綜合、評價、創造等）為主要認知活動的學習過程，它強調對復雜概念或知識的理解與運用，其發生基于理解、面向問題解決，具有建構性學習特征。深度學習的主要特征包括：

（1）強調對知識的理解。深度學習理論認為，知識的獲得并非簡單的知識疊加與記憶，而是建立在理解基礎上對知識的整合與運用。因此，深度學習過程要求學習者將新知識與原有認知結構建立起非人為的、本質的聯系，需要學習者對學習內容尋根究底，深入探究知識背后蘊含的數學原理和思想方法，從而實現對知識的再創造和意義建構。

（2）實現有意義的學習。深度學習要求從學習結果上實現廣泛的學習遷移[3]。數學有意義的學習有一個重要的特征便是實現知識的廣泛遷移。遷移是學習者在某種學習活動中將獲得的知識和技能合理運用于其他情境的能力。通過深度數學學習活動，學習者在理解和掌握結構化知識和技能的基礎上批判性吸收學習內容，再將非結構化的知識和技能應用于新的情境，實現有意義的學習。

（3）促進學習者高階思維的發展。深度學習要求學習活動圍繞學習者高層次心智活動層面展開。通常較低階的思維活動包括模仿、記憶、了解等，較高階的思維活動包括分析、綜合、評價、歸納、演繹、反思等。深度學習就是一種由低到高、由表及里逐漸深入的學習過程，可以促進學習者深入理解所學內容，形成問題意識，掌握探究方法。

總之，深度學習是一種以發展學生高階思維為主要目標的學習活動，是基于理解的有意義的學習。

二、深度學習理論視角下算理教學的內涵

根據深度學習理論，培養學生的數學計算素養，不僅要求掌握與計算相關的基礎知識、運算法則、計算技能，更重要的是理解計算方法背后隱藏的計算原理，即對計算方法這一類“知識和技能”進行“為什么”的本原性探究。深度學習理論視角下的算理教學，就是強調在計算教學過程中，超越傳統的以掌握算法為重點的教學要求，達成對算理的深層理解，順利實現有意義的學習。《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調，“理解”不單是能夠描述對象的特征，還要明確其由來，以及闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系[4]。“理解”意味著所學知識的“轉化”（Transform）而不是“囤積”（Banking），即學習者必須對所學知識進行加工，并將其與自身已有的知識和經驗聯系起來，使之成為有意義的東西[5]。如果說算法教學的核心問題是明確“先干什么，再干什么”等程序性知識，那么算理教學的核心問題就是明確“為什么要這樣”“為什么可以這樣”等陳述性知識。以“兩位數乘兩位數”（人教版三年級下冊）的乘法問題為例，從計算的筆算方法來說，是“乘數的相同數位對齊，先用第二個乘數個位上的數去乘第一個乘數，積的末位與乘數的個位對齊;再用第二個乘數十位上的數去乘第一個乘數，積的末位和乘數的十位對齊”，這屬于算法層面的問題。但對“為什么積的末位要和乘數的十位對齊”“為什么積的末位不與乘數的個位對齊”（注：指第二個乘數十位上的數去乘第一個乘數）等問題的深刻理解，則是算理教學需要重點關注的層面。有研究者指出，算理相對于算法而言，更應是計算教學的重中之重[6]。單獨從計算的準確性來講，在大量訓練的基礎上，大部分學生都能掌握某種特定的算法，但只有少部分學生真正懂得內在的算理。因此，對算理的理解既是計算教學的重點，也是計算教學的難點。

根據深度學習理論可知，計算教學應由“掌握算法”為主的學習結果過渡到“理解算理”的計算本質。深度學習理論下算理教學的重要價值在于促進學生高階思維的發展，促進廣泛的學習遷移。通常，相對于學生的年齡特征和學習心理，計算的方法比較容易掌握，但是計算的原理則不容易理解或者在教學中往往被教師所忽視[7]。比如多位數的乘法，無論是一位數乘兩位數，還是兩位數乘兩位數，等等，其計算原理都是相同的。因此，一旦學生真正理解了計算原理，則可以實現廣泛的學習遷移，關于算法的學習也就演變成了以發展高階思維為主的學習活動。

三、深度學習理論視角下的算理教學策略

1. 利用生動的現實情境，在真實問題中理解算理

深度學習重視真實問題的解決，因此教師要善于利用具體的生活情境引導學生理解算理。以“四則混合運算”（人教版四年級下冊）的算理教學為例，在形如“6+8×3”的計算教學中，教學的重點和難點在于對四則混合運算順序的準確理解，即對“為什么先算8×3，而不是先算6+8”的理解。為幫助學生理解算理，教師可以創設學生熟悉的生活情境：“一個單價6元的鉛筆盒和一本單價8元的兒童書， 問購買1個鉛筆盒和3本兒童書，總共需要多少錢？”利用學生日常生活中的購物經驗，學生很容易明白“（6+8）×3”與“6+8×3”的區別，從而深刻理解四則混合計算中遵循的“先乘除后加減”的算理。

2. 提供豐富的感性材料，在全面參與中理解算理

深度學習重視學生的探究和體驗，因此計算教學中要善于利用教具、學具等進行算理的直觀演示。許多低年級的計算教學，過程看似簡單，但讓學生真正理解算理則不容易。例如，“20以內的進位加法”（如“9+6”）（人教版一年級上冊）教學中，從計算方法來看，有“數數法”“湊十法”等多種計算方法可以解決問題，但從算理來看，很多學生都難以理解“湊十法”的算理。為此，在教學中可以利用小木棒輔助算理教學，讓學生通過學具操作明白無論是湊“9+1”還是湊“6+4”，其原理都是一樣的，即都是把零散的小木棒湊成“整捆”，而這一捆的木棒都是“十”，因此它們在算理上是一樣的。小學生由于年齡小，抽象思維能力較弱，在算理教學過程中不能較長時間集中注意力聽課，容易感到枯燥而難懂，教師利用生動的教學資源往往能夠調動其行為、認知和情感全面參與，從而達到很好的教學效果。對于一些計算公式及法則的理解，可以充分利用數形結合思想，通過幾何直觀實現對算理的意義建構。

3. 創設問題探究任務，在表達交流中理解算理

深度學習相關的研究表明，把學習置于復雜的、有意義的問題情境中能夠引領學生真正經歷數學核心問題的探究過程，走向數學意義的深刻理解和深度建構[8]。協作與對話是深度學習的有效實施途徑，學生通過語言表達、同伴交流，能夠增進對知識和技能的理解[9]。因此，計算教學過程中，教師要精心設計學習內容，善于組織課堂合作學習活動，讓學生在合作交流中達成對算法意義的理解。教師在課堂提問時要注意多問幾個“為什么”，讓學生通過合作探究、獨立思考、語言闡釋，增進對算理的認知。例如，若在“多位數的乘法”（人教版三年級上冊）中遇到中間有0的乘數，除一般算法以外，向學生追問“為什么0乘另一個乘數這一過程可以省略不寫？”在“兩位數乘整十數”中，追問“為什么整十數的末尾（即0）可以不用按照數位對齊的規則？”在“兩位數乘兩位數”中，追問“為什么一個乘數的十位數乘另一個乘數的個位數所得的積要對齊十位？”“既然對齊了十位，說明此數應是整十數，那么為什么0可以省略不寫？”“0到底可不可以寫？”等等。這些都是教師在課堂中可以設置的核心問題。以問題引領學生積極地表達與交流，再輔以教師連續地追問、反問，讓學生處于一種良好的“憤”“悱”狀態，最后通過教師適當的引導和幫助，學生在表達與交流中就能不斷地完善其認知結構，在思考活動中增進對算理的深刻理解。

四、結語

總之，一線教師要重視計算教學中的算理教學，計算教學的一個重點和難點是引導學生達成對算理的正確理解。如果學生沒有真正從知識的內在聯系中去理解算理，即使教師幫助學生掌握了算法，也只是“知其然而不知其所以然”，這不是深度學習應有的教學策略，會阻礙學生思維的高階發展。因此，掌握算法只是計算教學中知識和技能學習的基本要求，理解算理才是計算教學中深度學習的基本保證。教師要善于運用各種有效的教學策略，化難為易，為學生搭建各種理解算理的“腳手架”，從教學設計上予以創新，這樣將有利于學生從本質上真正深刻理解知識，更加扎實地掌握計算技能，形成核心數學素養。

參考文獻：

[1] ?徐彥輝. 論數學計算及其教學[J].數學教育學報，2011（02）.

[2] ?康淑敏. 基于學科素養培育的深度學習研究[J]. 教育研究，2016（07）.

[3] ?皮連生. 學與教的心理學[M]. 上海：華東師范大學出版社，2009.

[4] ?史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[5] ?周成海. 怎樣才算理解了所學知識：三位外國學者的意見及啟示[J]. 外國中小學教育，2015（07）.

[6] ?張平奎. 算理理解：計算教學的重中之重[J]. 教學與管理，2019（02）.

[7] ?孔企平. 小學數學教學的理論與方法[M]. 上海：華東師范大學出版社，2002.

[8] ?王志南. 聚焦核心問題，引領兒童走向數學深度學習[J]. 教學與管理，2018（09）.

[9] ?李璇律，田莉. 建構主義視域下的深度學習[J]. 教學與管理，2019（04）.