立足數學理解，實施初中數學概念教學

姚丕貴

[摘 ?要] 概念教學是數學教學的基礎. 當數學理解與概念學習之間形成一個良性的互動關系時，數學理解才能為概念學習奠定堅實的認知基礎. 文章從當前概念教學中學生的數學理解現狀談起，闡述了基于數學理解的初中數學概念教與學，以及用數學理解驅動學生的概念學習過程.

[關鍵詞] 初中數學;概念教學;數學理解

數學概念是數學知識體系的基礎，概念教學是數學教學的基礎. 無論什么時候，概念教學的重要性都不能被忽視. 從教學研究的角度來看，數學概念的學習歷來受到學術界和教學界的重視，而且研究的視角也不是單一的，但無論什么樣的研究視角，都是為了讓學生理解數學概念. 在促進學生理解概念的過程當中，“數學理解”這個詞逐步被提煉出來，因此數學理解成為近年來數學教育研究領域的熱點. 將數學概念教學同數學理解相結合，探討基于數學理解的數學概念教學新模式，具有重要的理論意義和實踐價值.

從當前的初中數學概念教學實際來看，數學理解的重要性還沒有得到應有的重視，尤其是基于數學理解去實施概念教學，還沒有得到普遍的認可. 其中一個重要的原因是存在一定的應試壓力，因此，在概念教學中，教師往往會壓縮時間，從而將節省出來的時間用于學生的解題訓練. 雖說從應試的角度來看，這樣的選擇沒有太大的問題，學生也確實可以在重復的習題訓練當中慢慢地理解相關的數學概念，但從學生發展的角度來看，尤其從數學學科核心素養培育的角度來看，這樣的教學方式忽視了學生在概念學習中的數學理解，在筆者眼里，這不是一個明智的教學選擇. 真正在數學理解的基礎之上實施數學概念教學，實際上是磨刀不誤砍柴工，可以為學生數學認知體系的建立及數學解題能力的培養奠定堅實的基礎. 因此，在核心素養強調培養學生關鍵能力的背景之下，初中數學概念教學依然要立足于學生的數學理解. 下面從三個方面談談筆者的觀點.

當前概念教學中學生的數學理

解現狀

從數學概念建立的邏輯角度來看，無論是簡單的數學概念還是復雜的數學概念，往往有兩種建立途徑：一種基于生活實踐，也就是從生活經驗當中提取相關的認識，然后建立數學概念;另一種基于邏輯推理，即從已有數學概念的基礎之上，通過研究或學習需要提供概念建立的驅動力，然后經過邏輯推理去建立新的概念. 應當說，這兩種途徑并不獨立，在實際運用中，它們有很多相關聯的地方. 有時，一個數學概念是先從生活實踐當中提出來的，再用邏輯推理使其變得更加嚴謹. 縱觀初中數學教材的編寫，可以看到很多這樣的例子. 比如，“平行”概念就可以從諸多生活元素中進行分析與綜合，再運用邏輯推理，借助數學語言來描述，于是得到“平行”的概念.

可以肯定的是，無論選擇哪種途徑，或者將兩種途徑進行綜合運用，都必須追求數學理解. 而從當前的教學現狀來看，數學理解被忽視還有這樣幾種情形：一是教師忽視激活學生的生活經驗，過于強調數學之間的邏輯關系;二是教師重視學生的生活經驗，但是生活經驗與數學概念之間的關系建立得不夠嚴謹，生活經驗不能對數學概念的形成起到很好的支撐作用;三是在學生的樸素認識與嚴謹的數學概念語言描述之間，沒有建立起有機的聯系，學生對數學概念的理解常常很空洞;四是教師試圖通過習題的重復來促進學生理解數學概念，實際上這是一個事倍功半的過程，不僅會影響學生的數學學習興趣，還會影響學生對數學學科的認識，遺患無窮.

事實上，教師應當認識到，在日常數學教學中，有些數學概念是從它的現實模型中直接反映得來的，因此，在對這類概念進行教學時，教師應密切聯系概念的現實模型，讓學生獲得對所研究對象的感知. 這實際上也是追求數學理解的一個重要策略. 教學實踐中多運用這樣的策略，就可以基于數學理解，去有效地實施數學概念教學.

基于數學理解的初中數學概念

教與學

促進學生在概念學習過程中生成數學理解，除了借助生活素材而形成相關的模型之外，一些基本的思想方法的運用也起著重要的作用. 實際的教學經驗表明，歸納法在數學概念教學中具有良好的教學效果. 分析與綜合、歸納與演繹等基本的思想方法，如果能夠與重視生活元素的教學思路相結合，那么學生在概念學習的過程當中，就必然會走在一條數學理解的道路之上. 下面通過一個教學案例來說明.

對于“全等三角形”這一重要概念，從概念組成的角度來看，“全等三角形”實際上是一個復合概念，初中生對三角形的認識已經比較全面，因此這個概念的建立應當將重心放在“全等”這一關鍵詞上. 事實上，學生第一次看到“全等”這個概念時，第一反應是“完全相等”，這就是一種樸素的認識，而且是從“量”的角度建立起來的認識. 仔細分析學生的這一思維過程可以發現，學生的這一認識實際上具有抽象性，教師一方面要認識到學生這樣的認知基礎對“全等三角形”概念的建立有著重要的作用，另一方面也應當認識到，并非所有的學生都具有這樣的認識. 也就是說，如果教師以這一認識作為概念教學的起點，那就有可能忽視另外一部分學生的認知基礎，從而學習這個概念時，這部分學生可能會因為這個原因而變成“學困生”. 考慮到這一點，筆者進行了這樣的教學設計：

一是根據教材的編寫體系，先幫學生建立“全等形”的概念. “全等”與“全等形”只有一字之差，但是在學習的時候卻有很大的區別，后者更強調“形”的建構，必須讓學生認識到什么樣的形才是全等形. 這時教師可以向學生提供相應的素材——事實證明，教師只要提供三個全等形，絕大多數學生就能通過分析與綜合，建立起對全等形的初步認識. 最常見的認識就是“一模一樣的圖形”.

二是引導學生用數學語言去描述自己的認識. 這里可以緊扣學生形成的“一模一樣的圖形”讓學生思考：從數學的角度來看，一模一樣可以怎樣描述？此時可以將學生思維的對象進行簡化，將上面給學生提供的生活實例抽象成數學圖形，從而凸顯這些圖形的長度與角度兩個基本元素. 當學生能夠從長度與角度兩個方面去描述時，實際上他們已經將自己的思維切換到數學視角. 此時學生很容易認識到全等形具有邊和角都相等的特征.

三是引導學生進一步探究全等三角形. 實際上，有了上面的認識之后，學生在這里很自然地會運用演繹的方法得出“全等三角形”的概念. 演繹當然是建立在歸納的基礎之上的，上一個環節中的分析與綜合奠定了學生的歸納基礎，學生可以理解“能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形”，能迅速認識到全等三角形的三條邊和三個角都相等，甚至會形成初步的問題：滿足什么條件時兩個三角形才全等？

用數學理解驅動學生的概念學

習過程

分析上述教學案例可以發現，在這樣的學習過程當中，學生不斷通過自己的思維去加工生活素材，通過基本思想方法的運用去進行數學抽象與邏輯推理，最終建立起了“全等三角形”這樣一個概念. 觀察學生的學習過程會發現，基本上不需要教師做出太多的干預，學生就能對全等三角形形成比較系統的認識：從最初的“全等形”的認識，到“全等三角形”概念的建立，到全等三角形性質的認識，乃至全等三角形判定意識的初步形成. 這種系統認識是傳統講授式教學所無法達到的，其對應的是真正的學生數學理解的過程. 因而這樣的概念教學是有效的！

由此可以得出一個基本判斷：學生在學習數學知識時，首先要理解數學概念，這是學生學習數學知識的基礎. 學生只有學好數學概念，才知道用怎樣的方式研究數學;學生只有理解了數學概念，才能理解數學規律;學生只有理解了數學概念，才能把數學知識應用到解決問題中. 從數學概念的建立到數學概念的運用，對應著學生的系統認知，強調的是學生的數學理解. 當數學理解與概念學習之間形成一個良性的互動關系時，數學理解才能為概念學習奠定堅實的認知基礎，同時數學理解可以在概念學習的過程中得以深化，這正是一個良好的數學學習狀態. 即使在核心素養培育的背景之下，教師也應當在概念教學中追求學生的數學理解，從而讓數學課堂保持良好的狀態.

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