關于對角互補四邊形模型的探究與思考

施德儀

[摘 ?要] 對角互補四邊形模型是初中重要的幾何模型，該模型總體上可分為兩大類型，即90°的對角互補模型和120°的對角互補模型. 利用模型特性可推得關于角平分、線段關系和幾何面積等的一些結論以及模型中的四個頂點共圓. 文章將深入解讀模型，結合實例應用模型，并對模型進行拓展探究，從而提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 對角互補;四邊形;模型;旋轉;四點共圓

共頂點模型在初中幾何中十分常用. 共頂點，即四邊形或構成的幾何圖形中存在相對的角互補的情形，通常分為兩大類型：一是含有90°的對角互補，二是含有120°的對角互補. 對于對角互補模型，學生可通過旋轉或相似變換來解決問題. 其中對角互補四邊形模型是比較常見的一類模型，下面進行具體探究.

模型呈現

對角互補四邊形模型同樣有90°型和120°型兩種類型. 不同的模型中含有相應的性質結論，合理利用這些性質結論進行解題，可簡化解題步驟.

分析：由圖像可知，四邊形CDEF為對角互補四邊形，由其性質可知，四點位于同一圓上，故可作其外接圓，借助圓周角定理來推導相關的角度條件.

解：矩形ABCD中，已知∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD，又知BE⊥AC，則C，D，E，F四點均在以CE為直徑的圓上，故可作出該圓，如圖11所示，可推知∠CED=∠CFD. 利用條件可證△ABE≌△DCE，所以∠DEC=∠AEB，利用角度推導可得∠AEB=∠DCF=∠DEC=∠DFC，所以DF=DC.

評析 ?對角互補四邊形的頂點共圓是該模型的顯著特征，模型中隱含了圓的幾何性質，充分利用圓周角定理可推導相關角度的大小. 解題時可以按照“提煉模型→構建輔助圓→圓性質推導”的思路進行建模和解析.

解后反思

1. 深入探究模型，研讀模型性質

對角互補四邊形模型在初中幾何中十分重要，有著極高的研究價值，探究過程要關注模型的知識背景，總結模型的解析策略及性質特征. 對角互補四邊形模型中融合了角平分線、垂直平分線、幾何旋轉，其中隱含了角平分線的性質定理、垂直平分線的性質定理以及三角形全等等知識. 在探究過程中，教師要引導學生借助全等來推導角和邊長的關系. 教學中建議采用“模型解讀→性質總結→應用強化”的思路逐步探究模型，認識模型的性質，完成從“知識認知”到“知識應用”的過渡.

2. 倡導模型拓展，循序引導教學

開展模型探究要遵循循序漸進、由淺入深的原則，同時注重模型拓展. 以上述對角互補四邊形模型為例，教學中除了要注重模型的基本特征、性質講解外，還應合理地拓展模型，如四邊形的四點共圓，可增設一些鋪墊式的問題，引出四邊形的隱圓，合理設問引導學生進行思考. 另外，還可在圓的知識背景中講解四點共圓的性質，或是基于幾何旋轉來看待模型中的全等關系. 教學中教師要關注學生的思維活動，及時啟發學生進行思考，充分引導學生構造模型、轉化條件，激發學生的思維，使學生充分掌握模型.

總之，對角互補四邊形模型的應用價值極高，學生在探究過程中需切換視角全面剖析，可從幾何旋轉、三角形全等、四點共圓等角度深入解讀，關注模型的解析思路，理解模型的性質特征，掌握模型的應用策略，形成分析模型的解題習慣.

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