探索幾何類比，生成破題方法

楊衛(wèi)兵

[摘 ?要] 幾何類比探究題的解析思路較為特殊，需要通過知識遷移、模型方法類比來突破，同時該類問題可按照一定的解題流程進行剖析，逐步從圖形分析過渡到類比構(gòu)建思路. 文章將以一道幾何類比探究題為例，探究解析過程，總結(jié)破題策略，并開展教學(xué)反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者進行交流.

[關(guān)鍵詞] 類比;幾何;探究;特殊模型;策略

類比探究題常出現(xiàn)在中考幾何壓軸題的位置，試題形式通常為分環(huán)節(jié)設(shè)問，且一般設(shè)置三小問. 第一環(huán)節(jié)以發(fā)現(xiàn)問題、證明問題為主，第二環(huán)節(jié)圍繞“類比”進行知識探究，第三環(huán)節(jié)側(cè)重知識的應(yīng)用與拓展. 其中類比探究是問題考查的核心，涉及模型類比、方法類比和知識類比，解析時要充分把握“問題發(fā)現(xiàn)與證明”環(huán)節(jié)的核心特征，注意總結(jié)歸納.

幾何類比探究題所探究的內(nèi)容較為多樣，包括常見的數(shù)學(xué)模型、線段與角度的求解方法等，常涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法，解析過程要關(guān)注“變化”中的“不變”，充分利用特殊模型的結(jié)論來簡化過程.

關(guān)于實例問題的思路分析

【證明推斷】 如圖1所示，已知四邊形ABCD為正方形，點E和Q分別是BC和AB邊上的點，DQ⊥AE，垂足為O，點G和F分別位于CD和AB上，GF⊥AE.

①試求證DQ=AE;

②推導(dǎo)的值.

【類比探究】 如圖2所示，在矩形ABCD中，設(shè)=k（k為常數(shù)）. 現(xiàn)將矩形ABCD沿著GF折疊，使點A恰好落在BC邊上的點E處，可得四邊形FEPG，設(shè)EP與CD相交于點H，連接AE與GF，設(shè)交點為O. 試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并寫明理由;

【拓展應(yīng)用】

在上述“類比探究”條件成立的情況下，連接CP，當(dāng)k=時，有tan∠CGP=，GF=2，試求CP的長.

解析：環(huán)節(jié)一為“證明推斷”，以正方形為背景，融合了雙垂直關(guān)系，需要關(guān)注線段關(guān)系的推導(dǎo)過程.

①證明：由正方形的性質(zhì)可得AB=DA，∠ABE=∠DAQ=90°，則有∠QAO+∠OAD=90°，由題可推知∠ADO+∠OAD=90°，于是可得∠QAO=∠ADO，所以△ABE≌△DAQ（ASA），由全等性質(zhì)可證DQ=AE.

②該問推導(dǎo)線段的比例關(guān)系，由DQ⊥AE和GF⊥AE可證DQ∥GF，結(jié)合FQ∥DG可證四邊形DQFG是平行四邊形，由其性質(zhì)可得FG=DQ. 又知AE=DQ，所以FG=AE，從而可得=1.

環(huán)節(jié)二為“類比探究”，該環(huán)節(jié)對矩形進行了折疊，四邊形為普通的矩形，探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，可以類比環(huán)節(jié)一中幾何模型的解析方法，逐步突破. 對于其中的線段關(guān)系，可以借助全等或相似性質(zhì)來構(gòu)建.

過點G作AB的垂線，設(shè)垂足為M，如圖3所示. 通過角度推導(dǎo)可得∠BAE=∠MGF，從而可證△ABE∽△GMF，所以=. 因為∠AMG=∠D=∠DAM=90°，所以四邊形AMGD為矩形，則有GM=AD，所以===k，即=k.

環(huán)節(jié)三為“拓展探究”，需要對上述環(huán)節(jié)進行總結(jié)歸納，顯然模型的核心解法是推演其中的三角形全等或相似關(guān)系，利用模型的性質(zhì)來推導(dǎo)線段之間的長度關(guān)系.

可過點P作BC延長線上的垂線，設(shè)垂足為M，如圖4所示. 根據(jù)其中的平行關(guān)系可得∠CGP=∠BFE，所以tan∠CGP=tan∠BFE=. 可設(shè)BE=3a，BF=4a，則EF=AF=5a. 因為=，GF=2，可得AE=3. 在Rt△ABE中使用勾股定理可解得a=1，則BE=3，AB=9. 根據(jù)比例關(guān)系可得BC=6，進一步得到BE=CE=3，AD=PE=BC=6. 通過角度推導(dǎo)可證△FBE∽△EMP，由相似性質(zhì)可得==，代入線段長有==，可解得EM=，PM=，所以CM=EM-EC=，由勾股定理可得PC==.

關(guān)于解題策略的深入分析

上述是關(guān)于幾何模型及解法的類比探究題，以矩形為背景，類比了三角形相似模型的推斷方法以及線段關(guān)系的轉(zhuǎn)化思路，問題的解題策略有著一定的參考價值. 下面以上述問題為例進行解題思路的概括.

1. 解題過程中的“四招”突破

類比探究題的解析過程可概括為找特征、探思路、提模型、照搬抄，具體內(nèi)容如下.

（1）找特征，關(guān)注模型中的特殊角、特殊圖形、特殊點以及幾何折疊和旋轉(zhuǎn)等過程.

如本題中AE分別與DQ，F(xiàn)G為垂直關(guān)系，四邊形ABCD為正方形，矩形折疊后點A和E關(guān)于直線FG對稱，則點O為線段AE的中點. 同時存在等角，故可利用其中的等角、等邊關(guān)系構(gòu)建相似或全等三角形.

（2）探思路，借助類比探究環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，從特殊到一般，總結(jié)問題的解析方法，探究問題的突破思路.

如上述問題，“證明推斷”環(huán)節(jié)以正方形為背景，推斷證明線段關(guān)系可通過提取其中的全等模型，利用模型性質(zhì)來完成. 故“類比探究”環(huán)節(jié)雖然給出的是一般的矩形，但依然可以采用此思路，利用余角關(guān)系推導(dǎo)等角關(guān)系，提取其中的相似模型，利用相似性質(zhì)完成線段關(guān)系的推導(dǎo).

（3）提模型，提取圖像中的幾何模型，利用模型性質(zhì)進行幾何推導(dǎo).

幾何綜合題的圖像一般較為復(fù)雜，但圖像中往往隱含了一些特殊的幾何模型，充分利用模型的結(jié)論可簡化解析過程. 以上述問題為例，利用全等三角形的性質(zhì)求等線段的長，利用相似模型求線段之間的比例關(guān)系，利用直角模型的勾股定理求線段的長等.

（4）照搬抄，即照搬前一環(huán)節(jié)解析問題的方法和思路來解決后一環(huán)節(jié)的問題，包括輔助線的作法、圖像中的模型、條件轉(zhuǎn)化推導(dǎo)的思路等.

上述類比探究題的核心是幾何模型，包括其中的直角模型、全等模型和相似模型，第二環(huán)節(jié)作輔助線后直接構(gòu)建了三角形相似模型，后續(xù)利用模型的性質(zhì)即可完成線段關(guān)系的推導(dǎo).

2. 幾何探究題中常見的模型

特殊模型是擊破類比探究題的利器，提取圖像中的模型有助于解題思路的構(gòu)建，因此在解題探究中要注重模型的總結(jié)積累. 下面以常用的旋轉(zhuǎn)模型為例進行深入講解.

（1）“A”字形（手拉手）旋轉(zhuǎn)模型

手拉手模型在幾何探究中十分常見，該模型結(jié)構(gòu)中存在有公共頂點的兩個三角形，且有等線段或等比例線段關(guān)系，連接對應(yīng)頂點后可形成“手拉手”的模式，從動態(tài)角度可將兩個三角形視為是旋轉(zhuǎn)關(guān)系，構(gòu)建了旋轉(zhuǎn)模型，如圖5、圖6所示.

（2）“K”字形旋轉(zhuǎn)模型

“K”字形旋轉(zhuǎn)模型的核心是垂直，即該模型中存在三個直角，也稱“三垂直”模型. 該模型在角度和線段和之間存在著顯著的關(guān)聯(lián). 若以其中一個頂點進行翻折，則可生成相應(yīng)的“K”字形旋轉(zhuǎn)模型，如圖7、圖8所示. 實際上該旋轉(zhuǎn)模型具備“K”字形模型的所有特征，故對應(yīng)結(jié)論也成立.

關(guān)于類比探究題的教學(xué)反思

幾何類比探究題是初中數(shù)學(xué)的經(jīng)典問題，問題的知識跨度大，綜合性強，命題立意也較為高遠，所涉分問題的關(guān)聯(lián)遞進特征顯著. 上述對該類問題進行了實例探究與方法總結(jié)，對于拓展學(xué)生的解題思維有著一定的幫助，下面結(jié)合教學(xué)實踐進行思考.

1. 重視讀圖，總結(jié)思考

求解幾何類比探究題的關(guān)鍵步驟是讀圖審題，通常需要在第一環(huán)節(jié)對問題中的圖像特征有著充分的了解，找到突破圖像解析的關(guān)鍵，并在此基礎(chǔ)上進行深入思考，總結(jié)解析的思路，對問題中的關(guān)鍵條件、圖形的每一個特征，都要有深刻的理解. 圖像解析的思路往往是后續(xù)類比的關(guān)鍵，因而解題探究時要注意總結(jié)解圖的方法思路，尤其要注意圖像中的模型特征. 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握讀圖的基本思路、構(gòu)圖技巧以及圖像探究的方向，提升學(xué)生的審題能力.

2. 注重類比，知識遷移

“類比”是幾何類比探究題的核心，該類問題的構(gòu)思極為巧妙，主要考查學(xué)生的類比遷移能力，問題往往由簡單的模型、結(jié)論作為起點，逐步深入，形成復(fù)合模型，但解決問題的核心方法、思想、思路是相一致的，依然是對基本概念、結(jié)論、模型的衍生拓展，因此發(fā)現(xiàn)和類比使用其中的性質(zhì)是突破問題的關(guān)鍵. 在教學(xué)中，教師要強化學(xué)生的知識基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識關(guān)聯(lián)、掌握類比的方法技巧，培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

3. 歸納模型，形成策略

幾何類比探究題的形式多變，類型多樣. 解題探究時將重點放在對題型的劃分、模型的歸納和方法的總結(jié)上，以引導(dǎo)學(xué)生形成解題策略為教學(xué)的核心任務(wù). 以上述類比探究題為例，在完成實例探究后筆者和學(xué)生一起深入反思了考題，總結(jié)了問題突破的“四招”以及常用的幾何模型，后續(xù)學(xué)生解題時可充分利用該策略來構(gòu)建思路. 教學(xué)中教師可指導(dǎo)學(xué)生對類型題進行對比分析，提煉解析方法，形成具體、系統(tǒng)的解題策略，以提升學(xué)生的核心素養(yǎng)為最終目標(biāo).

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