初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

連元坤

[摘 ?要] 在不同的背景之下，對(duì)數(shù)學(xué)思維的理解是有所不同的，而不同的理解往往對(duì)應(yīng)著不同的教學(xué)實(shí)踐行為. 對(duì)核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)思維的理解，應(yīng)當(dāng)包括這樣兩個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”，二是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)地思維”. 考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、提升學(xué)科素養(yǎng)的主要載體，那么教師所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)指向高階思維的發(fā)展，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)一定要抓住思維的基本特征. 思維的多向性是高階思維的根本體現(xiàn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要抓手.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;思維培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題. 對(duì)于數(shù)學(xué)思維的價(jià)值，歷來(lái)受到數(shù)學(xué)教學(xué)研究者以及教師的重視，普遍認(rèn)同的一個(gè)觀點(diǎn)就是：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，最為重要的一部分就是培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，當(dāng)學(xué)生擁有良好的數(shù)學(xué)思維后，學(xué)生往往能夠更好地運(yùn)用自己的知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行有效的遷移，解決在練習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題. 需要注意的是，在不同的背景之下，對(duì)數(shù)學(xué)思維的理解是有所不同的，而不同的理解往往對(duì)應(yīng)著不同的教學(xué)實(shí)踐行為：在追求數(shù)學(xué)知識(shí)價(jià)值的時(shí)代，數(shù)學(xué)思維服務(wù)于學(xué)生知識(shí)的建構(gòu);在追求數(shù)學(xué)思想和方法的價(jià)值的時(shí)代，數(shù)學(xué)思維起著支撐學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想和方法的作用;在課程改革中，數(shù)學(xué)思維又與數(shù)學(xué)思想和方法一起，被包括在三維目標(biāo)中. 當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，追求核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，那么在核心素養(yǎng)的背景之下，數(shù)學(xué)思維又應(yīng)當(dāng)如何理解呢？數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)又應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行呢？對(duì)這些問(wèn)題的回答，筆者在實(shí)踐中進(jìn)行了探究. 現(xiàn)以人教版“三角形的穩(wěn)定性”的教學(xué)為例，略談筆者的一些思索.

核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)思維的

理解

從核心素養(yǎng)的表述來(lái)看，其中強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力離不開(kāi)具體的思維支撐，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就是為關(guān)鍵能力的形成打基礎(chǔ);從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表述來(lái)看，六個(gè)要素中與數(shù)學(xué)思維關(guān)系最為直接的，當(dāng)屬邏輯推理，一個(gè)基于嚴(yán)密數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行推理的過(guò)程，必然是數(shù)學(xué)思維的過(guò)程. 但實(shí)際上其他的要素與數(shù)學(xué)思維也密切相關(guān)，比如說(shuō)離開(kāi)了數(shù)學(xué)思維就談不上數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵在于剝離實(shí)際事物中的非數(shù)學(xué)因素，這就需要判斷什么樣的因素是數(shù)學(xué)因素，什么樣的因素是非數(shù)學(xué)因素，這顯然是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果. 反之，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)思維，那么數(shù)學(xué)抽象就很難獲得成功. 具體來(lái)說(shuō)，對(duì)核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)思維的理解，應(yīng)當(dāng)包括這樣兩個(gè)方面：

一是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”. 思維是一個(gè)廣泛的概念，在任何學(xué)科中都能談及思維，因此數(shù)學(xué)思維實(shí)際上是思維的一個(gè)下位概念. 在數(shù)學(xué)學(xué)科的視野下理解思維，也就是所謂的數(shù)學(xué)思維，首先必須強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)就是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”，數(shù)學(xué)思維是隸屬于數(shù)學(xué)的. 當(dāng)學(xué)生開(kāi)始鍛煉數(shù)學(xué)思維的時(shí)候，意味著是帶著數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)工具去鍛煉思維的.

比如“三角形的穩(wěn)定性”這一知識(shí)，從生活的角度來(lái)看，“穩(wěn)定性”有“固定”的意思，而從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，穩(wěn)定性則是指“三角形的邊長(zhǎng)、內(nèi)角是固定的值”. 盡管兩個(gè)理解中都有“固定”的內(nèi)涵，但唯有從邊長(zhǎng)、內(nèi)角大小等角度去界定，這才是真正的以“數(shù)量”去描述“圖形”，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，彰顯著數(shù)學(xué)思維的價(jià)值.

二是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)地思維”. 如果說(shuō)“數(shù)學(xué)的思維”是一個(gè)靜態(tài)的概念的話，那么“數(shù)學(xué)地思維”就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的概念. “數(shù)學(xué)地思維”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系在于其是對(duì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物，用數(shù)學(xué)的邏輯判斷事物，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述事物”的高度概括，意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中有觀察、判斷和描述的動(dòng)態(tài)需要，意味著學(xué)生是伴隨著這些過(guò)程完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的.

比如，“三角形的穩(wěn)定性”這一知識(shí)中，給學(xué)生提供生活中的一些三角形圖形（如圖1），要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，就必須讓他們?cè)凇盀槭裁捶苛阂O(shè)計(jì)成這個(gè)形狀”這一問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)之下進(jìn)行思考. 只有這樣學(xué)生才會(huì)有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评恚詈笥谜Z(yǔ)言來(lái)描述. 這樣的一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程就是“數(shù)學(xué)地思維”過(guò)程，學(xué)生的思維能力可以在這樣的過(guò)程中得到充分的培養(yǎng).

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)

既然當(dāng)前教育的大背景是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，那對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，就要在這樣的背景之下去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、提升學(xué)科素養(yǎng)的主要載體，那么教師所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)指向高階思維的發(fā)展（學(xué)生思維能力培養(yǎng)的標(biāo)志，就是從低階思維走向高階思維）. 在目標(biāo)設(shè)計(jì)的時(shí)候要突出關(guān)鍵能力導(dǎo)向，在內(nèi)容設(shè)計(jì)的時(shí)候要突出問(wèn)題任務(wù)導(dǎo)向，在過(guò)程設(shè)計(jì)的時(shí)候要突出主體實(shí)踐導(dǎo)向，在評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的時(shí)候要突出批判反思導(dǎo)向. 只要滿足了這些條件，那么學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)過(guò)程中就能夠投入高階的學(xué)習(xí)活動(dòng)，進(jìn)而經(jīng)歷鍛煉高階思維的過(guò)程，最終發(fā)展高階思維能力.

例如，在“三角形的穩(wěn)定性”這一知識(shí)的教學(xué)中，筆者在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)的時(shí)候，就特別強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生通過(guò)有效的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，得出三角形具有穩(wěn)定性”這一目標(biāo)，因?yàn)樵诠P者看來(lái)，只有明確了這兩個(gè)要素（實(shí)際上當(dāng)學(xué)生得出三角形具有穩(wěn)定性這一認(rèn)識(shí)之后，數(shù)學(xué)建模這一要素也得到了體現(xiàn)），才能讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)意識(shí)去鍛煉思維.

而在具體的內(nèi)容設(shè)計(jì)與過(guò)程設(shè)計(jì)中，筆者重點(diǎn)設(shè)計(jì)了一個(gè)充滿對(duì)比性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程. 也就是分別讓學(xué)生用準(zhǔn)備好的學(xué)具（若干根可以連接的木片），然后分別去組成三角形、四邊形、五邊形等，再分別去扭動(dòng)，看它們的形狀是否發(fā)生改變. 通過(guò)學(xué)生的體驗(yàn)與比較可以發(fā)現(xiàn)，唯有三角形的形狀是不會(huì)改變的. 由于這是一個(gè)學(xué)生自己體驗(yàn)的比較過(guò)程，因此學(xué)生可以形成比較深刻的直覺(jué)性認(rèn)識(shí)，這一認(rèn)識(shí)中有一個(gè)很重要的比較思路，即促使學(xué)生思考“三角形的形狀不會(huì)改變說(shuō)明了什么”. 教師此時(shí)可以順著學(xué)生的思維提出一個(gè)問(wèn)題：“如果從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看三角形的這一特征，那應(yīng)當(dāng)如何來(lái)描述？”這實(shí)際上是一個(gè)將學(xué)生的思維從一般性思維引向數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，而在這一問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生的思維也就更加具有數(shù)學(xué)意味，他們會(huì)思考“三角形的這種固定，如果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述，那么應(yīng)該如何描述？”思考過(guò)程中學(xué)生給出的答案是具有階梯性的，比如有學(xué)生剛開(kāi)始認(rèn)為“只要一個(gè)圖形的邊或者角固定不變，那就說(shuō)明這個(gè)圖形是穩(wěn)定的”，后來(lái)才發(fā)現(xiàn)不應(yīng)當(dāng)是“或”，而應(yīng)當(dāng)是“且”. 為了闡述這一觀點(diǎn)，學(xué)生也舉出了相應(yīng)的例子，比如平行四邊形在變化的過(guò)程中邊的長(zhǎng)度不變，又比如說(shuō)用皮筋繃成的三角形可以在角度不變的情況下改變邊的長(zhǎng)度. 學(xué)生能夠主動(dòng)地想到這些例子來(lái)證明自己的觀點(diǎn)，就說(shuō)明學(xué)生處于一個(gè)深度思維的狀態(tài)，具有了高階思維的水平，是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到培養(yǎng)的實(shí)實(shí)在在的過(guò)程.

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)要抓住基本

特征

著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞，在他的經(jīng)典著作《怎樣解題》中曾經(jīng)這樣啟發(fā)學(xué)生：解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要善于聯(lián)想——你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有聯(lián)系且早已解決的問(wèn)題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？這樣一段通俗的表述，深刻地見(jiàn)識(shí)了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的重要價(jià)值以及具體的運(yùn)用策略. 也就是說(shuō)在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題的時(shí)候，從已有的經(jīng)驗(yàn)中尋找蛛絲馬跡，進(jìn)行廣泛的聯(lián)系，這樣往往可以將思維的觸角伸向陌生的領(lǐng)域. 在這個(gè)過(guò)程中，筆者以為必須特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)一定要抓住思維的基本特征.

在眾多特征中，筆者想重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是思維的多向性. 所謂思維的多向性，就是從不同的角度思考問(wèn)題，既思前因，又思后果，擴(kuò)大思路有所突破. 這種多向性具體表現(xiàn)在能自如地從一種心理運(yùn)算轉(zhuǎn)換到另一種性質(zhì)不同的心理運(yùn)算過(guò)程. 這是高階思維的根本體現(xiàn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要抓手，瞄準(zhǔn)學(xué)生的思維，多向性去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，既可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有一定的深度，又可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有一定的廣度. 在同時(shí)滿足了深度和廣度這兩個(gè)要求之后，學(xué)生在新的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)以及新的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，往往能夠進(jìn)行更為廣泛的聯(lián)系，進(jìn)行更加深度的推理，而只要做到這一點(diǎn)，就不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地.

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