“有理數(shù)加法”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

李中陽(yáng)

[摘 ?要] 以“有理數(shù)加法”為例，立足生活實(shí)際，通過(guò)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納有理數(shù)加法法則，同時(shí)，在設(shè)計(jì)中，滲透分類討論、數(shù)學(xué)結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 有理數(shù);加法;教學(xué)設(shè)計(jì);反思

教學(xué)內(nèi)容及解析

本節(jié)課是人教版七年級(jí)上冊(cè)第1章第三節(jié)“有理數(shù)加法”第1課時(shí)的內(nèi)容. 有理數(shù)的運(yùn)算是有理數(shù)運(yùn)算的起點(diǎn)，是小學(xué)非負(fù)數(shù)加法的拓展，又是有理數(shù)減法、乘法、除法的基礎(chǔ). 對(duì)于后面學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、代數(shù)式運(yùn)算、解方程或不等式等都有幫助. 其中包含的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)也有作用[1].

有理數(shù)加法有較強(qiáng)的生活價(jià)值，反映了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又高于生活. 學(xué)生應(yīng)掌握和理解有理數(shù)加法運(yùn)算的思維方式，即先確定結(jié)果的符號(hào)，再確定結(jié)果的絕對(duì)值. 鑒于此，本節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)為：理解有理數(shù)加法的合理性.

教學(xué)目標(biāo)及解析

教學(xué)目標(biāo)：（1）理解與識(shí)記有理數(shù)加法法則;（2）能直接運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算;（3）在探索有理數(shù)加法法則的過(guò)程中，感受分類討論、數(shù)學(xué)歸納和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想[2].

目標(biāo)解析：（1）能利用不同的問(wèn)題情景解釋有理數(shù)加法的不同情況，如“負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)”用物體先向左運(yùn)動(dòng)再向左運(yùn)動(dòng)來(lái)解釋;（2）對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)相加，能依據(jù)有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算;（3）物體在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)步數(shù)與方向?qū)懗鰧?duì)應(yīng)加數(shù)，根據(jù)終點(diǎn)的位置寫出對(duì)應(yīng)結(jié)果.

教學(xué)問(wèn)題診斷解析

學(xué)生在小學(xué)階段已學(xué)習(xí)了正數(shù)+正數(shù)，正數(shù)+0的運(yùn)算，進(jìn)入初中后學(xué)生又學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)、數(shù)軸與絕對(duì)值等知識(shí)，這些知識(shí)都是學(xué)習(xí)有理數(shù)加法的基礎(chǔ)知識(shí). 當(dāng)數(shù)系擴(kuò)大后，加法的含義發(fā)生了變化，相同或相反意義的量都可以相加，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的困難.

七年級(jí)學(xué)生已具有觀察、猜想的能力，還有一定的合作交流能力，但是由于學(xué)生的思維水平有限，知識(shí)儲(chǔ)備不夠，所以有理數(shù)的加法應(yīng)分幾種情況，如何歸納各種情況，教師需要做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，特別對(duì)于絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，學(xué)生理解有一定的難度. 基于此，本節(jié)課的難點(diǎn)確定為：理解異號(hào)兩數(shù)相加的法則[3].

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引出新課

情境1：原來(lái)的溫度是-4 ℃，上升7 ℃后的溫度是多少呢？

情境2：小明中午支出20元，下午又收入90元，那么小明今天結(jié)余多少錢呢？

教師：生活中存在具有相反意義的量，我們可以用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示，當(dāng)這些量依次發(fā)生變化時(shí)，可以用有理數(shù)加法表示，如上述兩個(gè)情境可以分別用-4+7，-20+90表示，這些算式的結(jié)果是多少呢？今天讓我們一起來(lái)探究有理數(shù)的加法.

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)生活實(shí)際，獲取有理數(shù)加法的數(shù)學(xué)模型，提出問(wèn)題：如何計(jì)算它們的結(jié)果呢？引發(fā)學(xué)生思考，順利進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié).

2. 觀察探究，總結(jié)法則

教師：在小學(xué)已學(xué)習(xí)了正數(shù)+正數(shù)，正數(shù)+0，當(dāng)引入負(fù)數(shù)之后，有理數(shù)加法還會(huì)有哪些情況出現(xiàn)呢？

學(xué)生：正數(shù)+負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)+正數(shù)，負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)+0.

追問(wèn)：上述六種情形，從大的方面可以分成幾種類型呢？

師生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下，師生將上述六種情況歸納為三種情況：相同符號(hào)的兩數(shù)相加，不同符號(hào)的兩數(shù)相加，一個(gè)數(shù)與0相加.

設(shè)計(jì)意圖：在引入新數(shù)即負(fù)數(shù)之后，有理數(shù)的加法運(yùn)算也產(chǎn)生了新的變化，學(xué)生能列出有理數(shù)加法的六種情況，但是把這六種情況歸類成三種類型，學(xué)生存在一定的困難，需要教師的耐心引導(dǎo)與總結(jié).

探究1：一只螞蟻在一條直線上向左或向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)定向右為正，向左為負(fù). 如果螞蟻先向右運(yùn)動(dòng)5米，再向右運(yùn)動(dòng)3米，那么這只螞蟻兩次運(yùn)動(dòng)的結(jié)果是向哪個(gè)方向，運(yùn)動(dòng)了多少米？用算式如何表示呢？

教師首先讓學(xué)生從數(shù)的視角分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后，教師引導(dǎo)學(xué)生從形的角度表示螞蟻的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，如圖1所示.

設(shè)計(jì)意圖：七年級(jí)學(xué)生以形象思維為主，以具體可感的生活問(wèn)題解釋有理數(shù)的加法，有理數(shù)加法的合理性得到了解釋，教師從數(shù)與形兩個(gè)角度加以引導(dǎo)，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

探究2：一只螞蟻先向左運(yùn)動(dòng)5米，再向左運(yùn)動(dòng)3米，那么兩次運(yùn)動(dòng)后，螞蟻向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了多少米？用算式如何表示這個(gè)過(guò)程呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生要明白兩次運(yùn)動(dòng)的相互關(guān)系，如何用算式表示這個(gè)過(guò)程.

追問(wèn)1：算式（-5）+（-3）=-8，結(jié)果合理嗎？其中的負(fù)號(hào)與絕對(duì)值分別代表了什么？

追問(wèn)2：請(qǐng)從符號(hào)與絕對(duì)值兩個(gè)角度考慮，概括相同符號(hào)的兩個(gè)數(shù)相加的情形.

設(shè)計(jì)意圖：此探究是為了說(shuō)明“負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)”的情形與“正數(shù)+正數(shù)”的情形類似，兩種情形綜合，學(xué)生容易得出同號(hào)兩數(shù)相加的有理數(shù)加法法則. 教師重在從研究思路上引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，滲透了從特殊到一般的思想方法.

探究3：（1）一只螞蟻先向左運(yùn)動(dòng)3米，然后向右運(yùn)動(dòng)5米，那么這只螞蟻?zhàn)罱K向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了多少米？請(qǐng)用算式表示這個(gè)過(guò)程.

（2）一只螞蟻先向右運(yùn)動(dòng)3米，然后向左運(yùn)動(dòng)5米，那么這只螞蟻?zhàn)罱K向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了多少米？請(qǐng)用算式表示這個(gè)過(guò)程.

學(xué)生：第一只螞蟻?zhàn)罱K運(yùn)動(dòng)結(jié)果為向右運(yùn)動(dòng)了2米，用算式表示為（-3）+（+5）=+2;第二只螞蟻?zhàn)罱K運(yùn)動(dòng)結(jié)果為向左運(yùn)動(dòng)了2米，用算式表示為（+3）+（-5）=-2.

追問(wèn)1：根據(jù)前面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從有理數(shù)的符號(hào)與絕對(duì)值兩個(gè)視角，你能概括符號(hào)不同的兩個(gè)有理數(shù)相加的法則嗎？

追問(wèn)2：如是這只螞蟻先向右運(yùn)動(dòng)10米，再向左運(yùn)動(dòng)10米，那么這只螞蟻向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了多少米？如何用算式表示這個(gè)過(guò)程呢？

設(shè)計(jì)意圖：利用數(shù)軸驗(yàn)證有理數(shù)加法的意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，用形象直觀的方法驗(yàn)證了有理數(shù)加法的合理性，突破了難點(diǎn). 提高了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

教師：如果一只螞蟻第一段時(shí)間向左運(yùn)動(dòng)12米，第二段時(shí)間原地不動(dòng)，那么這只螞蟻?zhàn)罱K向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了多少米？用算式如何表示這個(gè)過(guò)程呢？

設(shè)計(jì)意圖：此實(shí)例旨在引出一個(gè)數(shù)與0相加的情形.

此時(shí)，師生共同總結(jié)有理數(shù)加法法則：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)取與加數(shù)相同的正負(fù)號(hào)，然后把絕對(duì)值相加;（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)取絕對(duì)值較大加數(shù)的符號(hào)，然后用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值;（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加，其和為0;（4）任何一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：在探究過(guò)程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一種變化，即有理數(shù)運(yùn)算的結(jié)果，不僅要考慮結(jié)果的符號(hào)，而且要考慮結(jié)果的絕對(duì)值. 這種思維方式在向量運(yùn)算、力的合成運(yùn)算中都有體現(xiàn).

3. 典例演練，鞏固新知

例：計(jì)算：（1）（-9）+（-7）;（2）（-9.2）+3.8;（3）0+（-2020）;（4）（-100）+100.

學(xué)生：（-9）+（-7）=-（9+7）=-16. （同號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)取與加數(shù)相同的正負(fù)號(hào)，然后把絕對(duì)值相加）

學(xué)生：（-9.2）+3.8=-（9.2-3.8）=-5.4. （絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)取絕對(duì)值較大加數(shù)的符號(hào)，然后用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值）

學(xué)生：0+（-2020）=-2020. （任何一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù)）

學(xué)生：（-100）+100=0. （互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加，其和為0）

師生活動(dòng)：總結(jié)兩個(gè)有理數(shù)相加的運(yùn)算步驟，（1）判斷是同號(hào)、異號(hào)、互為相反數(shù)，還是其中一個(gè)為0;（2）確定結(jié)果的正負(fù)號(hào);（3）將它們的絕對(duì)值實(shí)施加減運(yùn)算.

教學(xué)反思.

1. 重建加法概念

按照有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算，并不是一件難事，但是讓學(xué)生理解并接受有理數(shù)的加法法則十分困難，為此，本節(jié)課引入了螞蟻在直線爬行的實(shí)例，讓學(xué)生直觀感受有理數(shù)的加法法則的建立過(guò)程.

2. 有理數(shù)加法法則實(shí)際是將其轉(zhuǎn)化為小學(xué)數(shù)學(xué)的加減法運(yùn)算

根據(jù)有理數(shù)的加法法則，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)結(jié)果確定了符號(hào)之后，接下來(lái)進(jìn)行的就是小學(xué)學(xué)過(guò)的正數(shù)或0的加減法運(yùn)算，所以確定結(jié)果的正負(fù)號(hào)是本課的重頭戲.

3. 數(shù)學(xué)思想方法的真落實(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教授學(xué)生知識(shí)，而且要讓學(xué)生掌握思想方法，然后用這些思想方法指導(dǎo)今后的學(xué)習(xí)與生活. 本節(jié)課滲透了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]李冰冰，王潔. 滲透數(shù)學(xué)思想 ?培養(yǎng)運(yùn)算能力——以滬科版“有理數(shù)的加法”教學(xué)為例[J]. 教育文匯，2019（12）.

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[3]賈京周. 基于初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有理數(shù)加法教學(xué)探究[J]. 新教育，2017（34）.

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