借助幾何直觀，將幾何探究引向深入(1)

方成勇 郭海英

摘 要：幾何探究教學是初中數學課堂教學難點，往往出現意味追求速度，學生簡單進行模仿，缺乏發現、提出問題的意識能力.教學實踐說明，通過有意識地關注學生思考難點，有邏輯組織學生展開幾何探究，借助幾何直觀的優勢，引導學生進行類比、直觀體驗，測量感知，給予學生充分機會去發現、提出問題，引導學生分析、解決問題并優化過程，激發學生自主探究的活力.

關鍵詞：幾何探究;幾何直觀;類比

1 理念重構與優化

1.1概念界定

幾何直觀，即指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力.

2 實踐研究

在了解了相關教材對比之后，結合教科書與學生實際情況，進行了本節課的教學設計與實施。基于教學目標的可測性，設計本節課目標如下：

本節課的數學思想方法是類比思想，類比平行四邊形邊、角性質的研究思路，通過分析發現組成要素間的大小關系、位置關系（即對角線與對角線的大小關系、位置關系），并進一步分析組成要素與相關要素的關系（即邊與對角線的關系），從合作探究中經歷度量、觀察、實驗，從幾個具體四邊形中發現共性，再推廣到一般，利用特殊到一般的思路將歸納出平行四邊形對角線的性質.

2.1分析學習的起點：類比研究，確定路徑

通過提問平行四邊形的性質有哪些、如何對這些性質展開研究的，獲得了研究幾何一般思路：先對要研究的對象進行觀察（比如觀察角的大小、邊的長短），然后發現它們之間的關系，利用度量驗證關系寫出猜想，最后對猜想進行證明.簡單的說研究幾何性質的步驟就是：①確定研究對象;②觀察（數量關系與位置關系）;③度量與猜想;⑤證明獲得性質.

【評析】通過對平行四邊形從邊、角性質研究方法的歸納，學生經歷圖形性質完整的探究過程， 體會到幾何圖形性質研究的基本思路與方法，為對角線性質研究展開奠定方法基礎，增強學習的預見性與主動性.

2.2確定研究的對象：直觀體驗，測量感知

類比平行四邊形邊角的性質研究，確定了研究對象為對角線，根據定義任意畫一個平行四邊形ABCD，連接AC與BD，思考對角線AC，BD該如何展開研究，寫下你要研究的對象并說說你的發現.

教學片段：

通過回顧全等三角形性質中里研究了邊的關系后，還研究了邊上的中線、高線等相關要素的關系.除了研究對角線本身，我們還可以研究對角線和哪些量的關系，如圖5由學生提出問題，通過討論獲得相應結論.

生7：我的問題是對角線BD與邊AD，AB有什么關系？即一條對角線與兩鄰邊關系.

生7：AC+BD>2AD，∵AO+DO>AD，AC=2AO，BD=2BO ∴AC+BD>2AD.

生8：我的問題是對角線AC，BD與邊AD有什么關系？即兩條對角線與一邊關系.

生8：過點C作CE//BD，交AD延長線于點E，在□ABCD中AD//BC，AD=BC

∵CE//BD，CB//ED，∴四邊形BCED為平行四邊形，即BD=CE，BC=DE，∴AC+BD>2AD.

生9：我的問題是△AOD，△COB，△DOC，△BOA四個三角形面積、周長有什么關系？

生9：四個三角形面積都相等，因為等底同高;周長相差的值就是邊長相差值.

【評析】從組成要素對角線展開探究到和對角線相關的要素之間關系的探究，不斷經歷

幾何圖形性質研究的一般思路，借助幾何直觀體會在從組成要素到相關要素之間存在千絲萬縷聯系.在對相關要素性質研究中不斷地將問題轉化為組成要素的關系，應用對角線互相平分的性質進行證明和應用，加深對性質的理解.

2.3根據重點的落實，由靜及動，拓展延伸

例題所蘊含的本質規律有助于學生形成正確思維方式，通過變式練習和幾何畫板展示，在變化過程中探求不變的本質，展開邏輯地思考，使學生在認識上發生質的飛躍.

例1 如圖7，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O.過點O作直線EF分別交AB，CD于點E，F. 求證：OE=OF

生10：要證OE=OF，即證明三角形全等，只需找到OE，OF所在的三角形即可.

如在△DOE和△BOF中，在平行四邊形ABCD中，OD=OB，CD//AB，所以∠ODE=∠OBF，

∠DOE=∠BOF，所以△DOE≌△BOF（AAS），在△COE和△AOF中同理可得.

追問：如圖8，當E點在直線CD上運動，結論還成立嗎？為什么？

生10：仍然成立，由平行四邊形對角線互相平分得AO=CO，所以△DOE≌△BOF仍然成立.

追問：除了EO=FO，還能得到哪些結論？

生11：同理得GO=HO，還可以得到FG=HE.

【評析】基于學生的最近發展區，符合學生的階段認知特點，從“靜止”到“運動”，不同角度對例題進行了拓展延伸，牢牢抓住了點E與點F關于點O中心對稱.通過拓展延伸，加深學生對同類問題深層次理解，體會變化過程中不變的關系，做到知其然，并知其所以然.

3實踐反思

3.1關注學生問題是驅動深入探究的動力

《課標》特別強調：“在日常教學活動中，教師應努力挖掘教學內容中可能蘊含的與四個方面目標有關的教學價值。”在日常教學中我們往往會忽略一些有價值的資源，而對于這些具有價值的資源，我們有必要將其重新回歸課堂.本課探究就是取材于學生在八年級下學習平行四邊形性質3時學生遇到的遇到的疑問：為什么連接AC，BD后直接研究OA與OC，OB與OD是否相等？連接對角線后除了對角線互相平分還有其他的性質嗎？

這兩個問題的思考就要求教師引導學生借助幾何直觀有邏輯進行思考、分析，獲取研究對象，同時在探究展開時有系統方法的指導，搞清楚這兩個問題對于學生在之后幾何研究具有重要的指導意義.

3.2關注數學活動經驗的積累是激發深入探究的活力

《課標》強調：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。”深度探究就是讓學生經歷操作、思考、推理、反思等過程，對數學知識加以領會和感悟，積累分析和解決問題的基本經驗，進而將這些經驗遷移應用到后續的數學學習中.而這些經驗的取得必須經歷大量的數學活動.

3.3關注學生的感悟是落實深入探究結果的內核

悟是學生對問題的理解最好的狀態，通過潤物細無聲式的感受與思考，才能促進數學思維的發展和素養的提升.本節課為學生搭建了許多悟的時機，在學習起點處通過回顧感悟幾何性質研究一般路徑：借助幾何直觀獲得研究對象，通過觀察、測量、猜想、證明獲得性質，在例1和例2后通過感悟得到解決四邊形問題的基本思路：將四邊形問題轉化成三角形問題.通過教師適時追問引導、生生互動，幫助學生及時感悟、內化.

總之，借助幾何直觀為了讓學生有更直觀、更整體的體驗，把握幾何研究一般思路，遵循學生的個性特征，讓學生經歷問題的發現、提出、分析、解決、優化的過程，學會思考、學會學習.

參考文獻：

[1]王希平.重視幾何直觀 揭示幾何圖形性質[J].數學通報，2005（2）：13-14.

[2]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011 年版）[M]北京： 北京師范 大學出版社，2012.

[3]章建躍.章建躍教育隨想錄（上卷）[M].浙江：浙江教育出版社，2017.402-403.

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