關于“雞兔同籠”的教學實踐思考

潘建娥

【摘要】小學數學是小學階段最重要的課程之一。除去常規運算以外，數學教師還要有針對性地培養學生的數學綜合素養。其中，數學思維能力屬于一種宏觀思維，是通過不斷積累數學知識，解決數學問題逐漸形成的。在解決各種數學問題時，我們必須重新轉變數學思維，借助特定的條件創新數學思維。“雞兔同籠”問題就是培養小學生數學思維的典型手段。本文就此進行簡要分析，以供教育同仁借鑒。

【關鍵詞】小學數學;數學思維;雞兔同籠

一、“雞兔同籠”問題概述

提及“雞兔同籠”，我們有必要說一下《孫子算經》這部書，其成書大概在公元四、五世紀，最為典型的數學題當數“孫子算經三三數之剩二”和“雞兔同籠”等。就“雞兔同籠”問題而言，涵蓋了特殊的階梯思維。借助“雞兔同籠”問題，我們可以延伸出典型的思考方式和解題思路。借助其背后的數學思想，能潛移默化地培養小學生的數學思維。

二、“雞兔同籠”問題分析

“雞兔同籠”原題可以進行如下講解：同一只籠子中有雞和兔子兩種動物，若清點動物的頭，共計35個。但從腳下數，兩種動物的腳則有94只。問兩種動物各有多少只？通過列式可以得出：兔子=（94÷2）-35=47-35=12（只）。上述算法被稱作：化歸法。這種數學思維方式非常特殊，是從動物的總腳數出發，將94只腳都視為雞的腳（每個各有兩只腳），算出若是雞，則有47只，但事實上僅有35只動物，則多出來的部分（腳）就是兔子的。

現代教材中多選用“假設法”，如：同一籠中雞和兔子兩種動物，有90個頭，228只腳，問雞和兔子各有多少只？若假設所有動物均為雞，則腳的總數為2x90=180只;對比題中腳數（228只）少了48只，由于兔子有4只腳，則這48只腳均為兔子的腳，則兔子的數量是48÷2=24（只），上述解題中，兔子（24只）的另2只腳，已經在第一次計算（雞）時所包含，故第二次就按照2只腳計算。反之，假設所有動物均為兔子，也能用多出來的腳數算出雞的總數。

三、“雞兔同籠”問題所包含的數學思維

1、猜想思維

此類問題給學生的第一印象就是“應該有多少只雞和兔子呢？”。當學生的猜想被否定時，或者被肯定時，大家的積極性就會被激發出來。大家帶著探究的動力去思考問題，奠定了猜想基礎，并在猜測和計算過程中探尋出相應的規律，在隨后的檢查時驗證自己的猜測和計算。其實，解決所有的數學問題都是以猜想為基礎，在不斷地開拓探索中獲取準確的答案。正因如此，猜想思維對于學生解決問題，乃至提升個人數學素養有百利無一害。

2、列舉思維

此處說的“列舉”是排列出所有的猜想。仍以“雞兔同籠”問題為例，教師可以讓大家繪制一個表格，并將各種假設數據填寫到表格之中。通過該表格，大家可以觀察出相應的規律，并能借助規律解決同類問題。除去表格以外，還可以用畫圖的方式進行列舉（總數不宜過大），這需要大家畫出雞和兔子的頭（可以用※或△等代表），以及動物腳的數量，通過匹配，會有若干只剩余的腳，這樣就能得出兔子腳的只數以及兔子數量。可以說，列舉是建模的“初級”形式，但相比建模更為快捷。

3、轉化思維

轉化思維可以用在同一類問題上，很多“雞兔同籠”問題會在頭、腳數目上存在增減變化，其實質就是轉化思維。轉化思維包括：化繁為簡、抽象思維（問題歸類），這也是我們常說的“舉一反三”。學生們應該巧辨題目，掌握題目之間的異同點，并能分析出題目轉化的過程，然后進行科學地推理，準確的計算。

4、代數思維

“雞兔同籠”問題還可以用一元一次方程的方式解決，即：假設有X只兔子，則雞的數量=總數-X。這種思維就是典型的代數思維，借助這種思維我們能將復雜的陳述瞬間轉化為代數式。借助已知和未知數量解決復雜的問題。學好小學階段的方程知識，將為今后復雜方程式計算奠定良好的基礎。

四、巧借“雞兔同籠”問題培養學生的數學思維

1、強化小學生的思維意識

可以說，數學思維是小學數學教學的重點和難點。而“雞兔同籠”問題有利于培養小學生的數學思維能力。大家最常見的動物多為2足或4足，雞和兔子也是小學生較為喜歡的動物。通過探究兩種動物數量關系，能夠探索到其背后的思維方式。在日常教學中，部分數學教師未能重視數學思維的重要性。因此，我們要扭轉思想觀念，在吃透教材的前提下，及時向小學生滲透數學思維。

2、選擇適宜的思維方式

培養學生的數學思維不是簡單的背誦定理公式，也不是某幾個例題的“堆砌”就能實現的。這需要數學教師采取循序漸進的原則，以“潤物細無聲”的形式引導學生。小學生在探索數學問題時慢慢接觸數學思維，并逐漸汲取相關的理論精華，逐漸內化為自己的思維意識，并經過沉淀提煉形成數學思維。上文中提到“雞兔同籠”涉及到轉化思維、列舉思維、猜想思維，這些思維之間有一定的區別，但又存在關聯性。數學教師應該針對學生的特點加以選擇，如：針對低年級學生宜采用猜想思維，以此提升他們的運算能力;針對高年級學生則宜采用轉化思維，有助于幫助學生提升自我。

總結：

綜上所述，數學思維是非常抽象的能力。數學教師應該將實際問題與理論有機地結合在一起，“雞兔同籠”問題就是典型的“案例”。此類問題有助于教師調整教學觀念，培養學生的數學思維，有效提升教學效果。