深化知識理解　彰顯育人導向

摘? 要：以一節習題課為例，闡述教師需要深化知識理解，優化課堂習題，重視信息技術，調整教學方法，做到將動手操作、構建思路、知識總結的機會留給學生，從而發揮數學教學的育人導向.

關鍵詞：知識理解;育人導向;數學教學;習題課;[GeoGebra]軟件

《普通高中數學課程標準（2017年版）》實施以來，育人為本已經成為數學教育界的共識. 然而，在日常數學教學中，依然存在“重知識輕素養”“重教師講授輕學生參與”的現象. 這不利于發揮數學的育人價值. 要扭轉這種現象，教師就要重視信息技術，調整教學方法，將動手操作、構建思路和課堂總結的機會留給學生，把表揚與鼓勵的話語說給學生. 基于該理念，筆者結合一節習題課與同行分享拙見.

一、課堂概述

課前，授課教師板書兩道例題，并作出相應圖形.

例1 如圖1，矩形[ABCD]中，[AB=4， AD=2.] 若[M，N]分別是[CD，BC]的中點，則[AM ? MN]的值為（? ? ）.

例2? 如圖2，在[△ABC]中，[AB⊥AC]，[M]為[BC]的中點.

（1）若[AB=AC]，求[AB+2AC]與[2AB+AC]夾角的余弦值;

（2）若[O]是線段[AM]上的一點，且[AB=AC=2]，求[OA ? OB+OC ? OA]的最小值.

上課鈴響，教師指定一位學生板演例1，學生的解答過程如下.

[AM ? MN=AD+DM ? MC+CN=AD ? MC+][AD ? CN+DM ? MC+DM ? CN].

因為[M，N]分別是[CD，BC]的中點，

所以[DM=2， MC=2， CN=1].

學生未解答完畢，教師就讓他回到座位上，然后繼續講解.

方法1：基向量法.

接著，教師描述解析法（建立適當的平面直角坐標系，用坐標法解決問題的方法），并強調“建系”的一般原則（盡可能對稱，盡可能多的點在坐標軸上）. 然后指出利用解析法求平面向量的數量積的關鍵是準確找出相關點的坐標，邊講邊板書.（沒有給學生留時間建系.）

方法2：解析法.

建立如圖3所示的平面直角坐標系，則可以得到[A0，0，B4，0，C4，2，D0，2，M2，2，N4，1][AM=2，2， MN=2，-1， AM ? MN=2×2+2×][-1=2].

最后教師點評，基向量法“只能硬攻，不能巧求”，解析法“不能硬攻，只需巧求”.

（2）例2的概述.

教師讓學生結合圖2理解例2，邊講邊板書.

方法1：基向量法.

（1）[AB=a， AC=b，cosθ=a+2b ? 2a+ba+2b2a+b=45.]

（2）設[AO=λAM0≤λ≤1， OA=-λAM=-λ2a+b，][OB=OA+AB=1-λ2a-λ2b]，[OC=OA+AC=-λ2a+][1-λ2b]. 原式=[OA ? OB+OC=-λ2a+b ? 1-λa+1-λb=][2λ2-λ=2λ-122-12≥-12]，最小值為[-12].

接著教師講了以下兩種方法.

（二次函數法）令[OA=t， OM=1-t，0≤t≤1，][OA ? OB+OC=2OA ? OM=-2OA ? OM=-2t1-t=][2t2-t=][2t-122-12≥-12].

（基本不等式法）令[OA=a， OM=b，a+b=1，][ OA ? OB+OC=2OA ? OM=-2ab≥-2a+b22=-12.]

方法2：解析法.

建立如圖4所示的平面直角坐標系.

（1）設[AB=AC=tt>0. A0，0，Bt，0，C0，t，][AB=t，0， AC=0，t. ]

則[AB+2AC=t，2t，2AB+AC=2t，t，cosθ=][2t2+2t25t ? 5t=45];

（2）由題得[t=2，A0，0，B2，0，C0，2，][M22， 22].

設[Om，m 0≤m≤1， OA=-m，-m， OB=][2-m，-m， OC=-m， 2-m.]

故[OA ? OB+OC ? OA=OA ? OB+OC=-m，-m ?][2-2m， 2-2m=4m2-22m≥-12].

最后，教師強調“要根據[AO=λAM 0≤λ≤1]，求點[O]的坐標”，并再次總結，基向量法“只可硬攻，不可巧求”，解析法“不可硬攻，只可巧求”.

二、教學建議

在這節課上，授課教師展示了扎實的教學功底，彰顯了傳統數學教學的魅力. 然而，值得思考的是，在本節課的教學過程中，授課教師無疑成為了主角，引領著整個“劇情”的發展. 學生淪為了配角，充當著這場“戲劇”的看客. 顯然，這樣的情形不利于學生數學思維的發展與素養的提升. 數學教師的職責不只是給傳授學生知識，還在于教會學生用數學的思維思考世界，以彰顯數學教學的育人導向. 為此，本節課教學過程有四個方面值得優化.

1. 深化知識理解

向量基底法與坐標法是解決平面向量數量積問題的兩種基本方法. 它們均以平面向量基本定理為理論基礎，都屬于向量法. 向量基底法突出向量的形的屬性. 它以兩個不共線的向量作為基底，用平面向量的線性運算表示目標向量，再利用數量積的定義求解問題. 其中，選擇合適的基底是基礎，利用“閉合回路”表示待求向量是關鍵. 而坐標法突出向量數的特征. 它以垂直關系（或構建垂直關系）為切入點，建立平面直角坐標系，將待求向量坐標化，再利用向量數量積的坐標運算法則求解問題. 其中，建立合理的坐標系是前提，向量的坐標化是關鍵. 一般而言，向量基底法是利用向量解決平面向量數量積問題的通法. 能用坐標法解決的問題，向量基底法同樣可以解決;而向量基底法能解決的一些問題，坐標法有時不能或者不易解決. 至于選擇哪一種方法，需要具體問題具體分析.

當然，例1的解法不局限于向量基底法與坐標法，還有以下兩種方法.

（1）被教師否定而學生沒有完成的方法.

[AM ? MN=AD+DM ? MC+CN=AD ? MC+][AD ? CN+DM ? MC+DM ? CN].

因為[M，N]分別是[CD，BC]的中點，

所以[DM=2]，[MC=2]，[CN=1]，[AD⊥MC]，[DM⊥CN].

所以[AM ? MN=ADCNcosπ+DMMCcos0=2.]

（2）回歸平面向量數量積的定義.

由[M，N]分別是[CD，BC]的中點，得[DM=][MC=2， CN=1].

所以[AM=22， MN=5，∠AMD=π4].

設[∠NMC=θ，] 則[sinθ=55，cosθ=255，cosθ+π4=][cosθcosπ4-sinθsinπ4=1010].

所以[AM ? MN=AMMNcosθ+π4=2].

2. 優化課堂習題

習題課重在借助例題、習題深化對已學的概念、定義、定理、公式及法則的理解，突出應用. 因此，一些教師就將講題、練題等機械化活動作為習題課的內容，沒有發揮習題課應有的教學功能，結果導致例題沒少講、習題沒少練，教學效果卻不盡如人意. 因此，教師要認真思考習題課的教學主題，精心組織、優化教學內容，使得教學有章法、學習有效果. 例如，本節課的教學內容是利用向量基底法和坐標法解決向量的數量積問題. 然而，從學的角度來看，學生僅僅知道了求向量數量積的兩種方法，而對于兩者的區別是什么、聯系在哪里、孰優孰劣、當面對復雜的問題時該如何抉擇仍存在困難. 從教的角度來看，兩個例題的載體（矩形、等腰直角三角形）類同（垂直關系），使得例題承載的教學價值弱化，無法讓學生辨別兩種解法的區別. 因此，兩道例題可以加以整合，進而優化教學內容. 具體如下.

題目1? 在矩形[ABCD]中，[AB=4， AD=2]. 若[M，N]分別是[AB，BC]的中點.

（1）求[AM ? MN]的值.

（2）求[AC]與[2AD+AM]的夾角的余弦值;

（3）若[P]是線段[DM]的中點，[O]是[AP]上的一點，求[OA ? OM+OA ? OD]的最小值.

題目2? 在梯形[ABCD]中，[AB∥CD，AB=4，CD=][2]，且[∠A=π3]，點[P]是直線[AD]上的任意一點. 求[PB+2PC]的最小值.

題目3? 在[△ABC]中，[AB=4，AC=2]，點[O]是[△ABC]的外接圓的圓心. 求[OA ? BC]的值.

由于例1含有等腰直角三角形元素，因此可以將例2整合到例1中，即題目1. 這樣避免學生重復（選基底、建坐標系）做題，把更多的精力用在題目的審閱與解法的領悟上. 設計題目2既是改變問題的考查形式，將數量積的考查融入對向量的模的考查中，又是讓學生學會識別問題，即在沒有特殊關系（不垂直）的情況下，學會選擇合理的解題方法. 雖然用兩種方法都可以，但坐標法對學生建系的觀察、分析和選擇能力要求較高，有一定難度. 也可以結合平面幾何知識，挖掘試題的本質（實際上是兩條平行線之間的距離），讓學生明白不只有兩種方法，還有其他方法可以解決問題. 題目3告訴學生建系不容易時，可以用向量基底法解決，從而讓學生領悟向量基底法的通法作用.

3. 重視信息技術

當然，題目2還有進一步思考的空間. 由于僅知道梯形[ABCD]的上底和下底的長度及腰[AD]的方向，因此梯形的形狀會隨著點[D]在直線[AD]上位置的變化而變化. 而點[P]是直線[AD]上的任意一點，它的位置的變化也會引起[PB+2PC]的變化. 那么，這兩種變化會對[PB+2PC]取最小值有何影響？

對于這個問題，我們可以借助[GeoGebra]軟件開展數學探究，過程如下：首先，利用[GeoGebra]軟件構造[△PBE]，使得[PE=2PC]，然后構造[BE]的中點[F]，則[PB+2PC=2PF]（如圖5），然后借助“軌跡”工具構造出點[F]的軌跡（過點[B]且與直線[AD]平行的直線），則[PB+2PC]的最小值就是這兩條平行線間距離的2倍.

[GeoGebra]軟件作為一款動態數學軟件，功能強大，操作便利，能讓靜態的數學內容“動”起來，使抽象的數學知識形象起來，進而成為培養學生直觀想象素養的有力工具. 如今，[GeoGebra]軟件的應用已經深入高中數學教材，也走進了高中數學課堂，發揮著啟迪學生智慧、提升學生素養的功效，有效緩解了傳統教學手段“只可意會，不可言傳”的窘境.

4. 調整教學方法

（1）把動手操作的機會留給學生.

數學素養的形成離不開思考討論、操作辨析及反思內化. 在這個過程中，學生需要一定的時間與空間. 教師要把握好教學時機，該放手的時候要放手，讓學生自己思考并內化于心. 如果教師事無巨細地為學生包辦一切，反而不利于學生的發展. 例如，在課前授課時，教師把兩道例題寫在黑板上，從而節約教學時間，這無可厚非;但在學生沒有看題的情況下，教師自行畫出圖形的做法就值得商榷. 因為例題本身沒有給出圖形，教師“搶走”了學生作圖的權利，導致學生錯失了作圖、想圖及借圖說話的機會，也錯失了一次用數學思維思考問題的完整過程. 在講解例1時，授課教師先描述解析法，強調建立平面直角坐標系的一般規則（兩個“盡可能”），接著建立平面直角坐標系解決問題. 學生沒有經歷建系的過程，也缺乏對不同建系方式的比較，對兩個“盡可能”的理解也不夠深刻，只知其然，不知其所以然. 其后果是當遇到新的問題情境時，學生無法把這種經驗進行遷移，只能照本宣科，無法真正領會解析法的思想. 因此，教師不應該把作圖、建系等動手操作的機會“據為己有”，而應該留給學生，讓學生在動手操作中積累基本活動經驗，提升數學學科核心素養.

（2）把構建思路的任務交給學生.

數學教學離不開解題. 引導學生綜合運用所學知識，構建恰當的解題思路是數學教師的責任. 解題思路的形成是一個構筑條件與結論之間聯系的動態過程，也是錘煉學生數學思維的動態過程. 因此，教師應該把構建解題思路的任務還給學生. 然而，在本節課上，授課教師并沒有這樣做，而是把解題的思路全盤托出，呈現給學生. 例2的第（2）小題，授課教師利用基向量法求出[OA ? OB+OC ? OA]的最小值[-12]之后，因為[OM]是[△ABC]的斜邊[BC]上的中線，可得[OA ? OB+OC=-2OA ? OM]. 再令[OA=t， OM=][1-t]，得到[OA ? OB+OC=2t2-t]，然后借助二次函數求解該題;或者令[OA=a， OM=b]，于是有[a+b=1]，故[OA ? OB+OC=-2ab]，然后利用基本不等式進行求解. 但這些“巧妙”的方法，不是學生想出來的，而是授課教師講出來的，由于缺乏自主的思考，這些方法可能會被學生記住一時，但終究會被“風吹雨打”去. 所以，教師上課僅有激情還不夠，還要合理利用這種激情，把內心的“火熱”轉化成課堂的“實效”. 應該給學生時間與機會，讓學生參與思路的構建過程，幫助他們學會思考.

（3）把總結提升的機會讓給學生.

一節課的精華往往濃縮在課堂小結中. 課堂小結既是梳理數學知識與思想方法、構建知識結構的過程，也是促進學生反思、提升與升華的過程. 教師應該把課堂總結的機會留給學生，讓學生回顧、反思并內化為自己的東西. 在本節課上，授課教師根據基向量法和解析法的特點，別出心裁地用四字詞語（只可硬攻，不可巧求，不可硬攻，只可巧求）加以總結，讓人耳目一新. 然而，這還不夠，教師不應只著眼于一節課，而應著眼于教會學生總結、反思、內化. 例如，可以使用提示性問題“通過本節課的學習，你能說說我們研究了哪些問題？”“使用了哪些方法？”“你能簡述這些方法的一般過程嗎？”“你能說說這兩種方法的區別何在？聯系在哪里嗎？”“你能說說用這兩種方法解題的關鍵在哪里？”“你知道如何根據問題情境選擇方法嗎？”等等.

（4）把表揚和鼓勵的語言送給學生.

教師要對學生取得的進步給予表揚，對進步緩慢的學生也給予鼓勵. 這既是關愛學生的表現，也是教師“眼中有人，心中有學生”的體現. 然而，在實際教學中，一些教師忙于完成教學任務，往往忽略了這一重要的環節. 在本節課上，學生板演例1，由于教師看到學生沒有按照自己預設的方法構建基底，于是不等他做完題就讓學生下去. 這樣的教學行為不僅會讓學生感到無奈與失落，也在一定程度上打擊了學生的學習積極性. 相反，如果教師能多一點耐心，多給學生一點時間和鼓勵，學生可能就會帶來一個驚喜（實際上按照學生的思路完全可以解決問題）. 因此，教師不要吝嗇自己的表揚與鼓勵，把它送給學生.

總之，“育人為本”是課程改革精神的體現. 作為廣大數學教師中的一員，應該心中裝著學生，設身處地為學生的發展著想，并把這種想法付諸教學實踐之中.

參考文獻：

[1]安振亞. 從課例點評談青年教師如何上好一節課[J]. 中國數學教育（高中版），2020（3）：33-35，39.

收稿日期：2021-07-06

基金項目：安徽省教育信息技術研究課題——借助GeoGebra培養高中生數學直觀想象素養的實踐研究（AH2020045）.

作者簡介：安振亞（1981— ），男，中學高級教師，主要從事數學教育教學與解題研究.