深入挖掘教材　體會數學精神

張傳民

摘? 要：對教材的深入挖掘和研究可以加深對知識的理解，以便更好地體會數學理性精神和探究精神. 以“雙曲線的標準方程”為例，從課的整體設計、定義的引入、距離差的拓展、無理式的處理、焦點在[y]軸的方程的說明、例題分析六個方面對教材進行深入思考.

關鍵詞：挖掘教材;雙曲線;標準方程

深入挖掘教材，可以加深對知識的理解，使學生更好地體會數學的理性精神和探究精神. 同時，深入研究教材，對教師專業能力的提高也很有幫助. 本文以人教B版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（選修2—1）》（以下統稱“教材”）中的“雙曲線的標準方程”一節課為例，從定義的引入、距離差的拓展、無理式的處理、焦點在[y]軸方程的說明四個方面討論如何對教材進行有效研究和挖掘.

一、雙曲線的定義是如何引入的

引入定義時堅持如下三個原則. 系統性原則：圓錐曲線是一個系統，在引入時要兼顧橢圓、雙曲線、拋物線整個體系的一致性. 不能橢圓用這種方法，雙曲線用那種方法，拋物線又換成另一種方法，這樣不利于學生整體把握圓錐曲線的一致性. 活動性原則：盡可能設計情境讓學生能動手活動、動腦思考，還要注意活動中學生的合作、交流. 生活化原則：引用的例子應該是學生日常生活中能觀察到的，從而增加數學與生活之間的聯系，做到數學就在學生身邊，學習數學可以解決生活中的問題.

1. 設計思路1：利用橢圓類比設計

思考：如果把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會發生怎樣的變化？

學生合作探討構造滿足[0<MF1-MF2<F1F2]的點[M]的軌跡.

這時學生提出：利用幾何畫板軟件，通過構造兩個圓的方法畫出曲線的圖形.

作圖依據：設兩定點[A，B]，且[AB]<[F1F2]，點[C]在線段[AB]兩側運動時，則有[AC-BC=AB]為定值，如圖1所示.

以點[F1]為圓心、[AC]為半徑作圓，以點[F2]為圓心、[BC]為半徑作圓，設兩圓的交點為[M]，如圖1所示，則[MF1-MF2=常數].

這時符合題意的圖象做出來了，學生能發現圖象可以出現兩支. 由此獲得雙曲線的定義.

反思：這種引出雙曲線定義的方法是多數教師常用的方法，它的優點是能由橢圓的定義進一步類比出雙曲線的定義，簡單明了. 缺點是過分強調橢圓與雙曲線共性的類比，而對雙曲線的個性特點認識不足. 到后來雙曲線漸近線的出現會略顯突兀.

在用拉鏈演示雙曲線的形成過程時，圖象畫得不流暢. 用幾何畫板軟件構造兩個圓的方法能清晰地作出雙曲線的兩支. 但是構造兩個圓解決問題，如果沒有教師的提示，學生是不容易想到的. 這里，在復習橢圓時，可以不再單純復習記憶性知識，還可以讓學生做下列問題復習：求與定圓[x-22+y2=49]內切，且與定圓[x+22+y2=1]外切的動圓圓心的軌跡方程. 學生可以求出它是方程為[x216+y212=1]的橢圓. 這樣，再遇到差是定值的問題時，學生容易想到利用兩個圓的關系來解決. 例如，構造與定圓[x-22+y2=4]和[x+22+y2=1]都相外切的動圓圓心的軌跡. 可以利用幾何畫板軟件演示曲線的形成過程，這樣探究相對自然一些.

2. 設計思路2：利用折紙游戲設計

出示大量圖片，讓學生直觀感受現實生活中存在著大量的雙曲線的例子，然后再進行折紙游戲. 在白紙上畫一個圓[F1]，在圓[F1]外取一定點[F2]，在圓[F1]上任取一點[P]，將白紙對折，使點[P]和點[F2]重合，并留下一條折痕;再在圓周上任取其他點，重復上述步驟，便可以得到折痕形成的曲線.

學生動手折疊，成果展示折痕，如圖2所示. 教師用幾何畫板軟件演示曲線生成的過程，并讓學生思考：曲線上的點具有什么樣的特點？從而總結歸納出點[M]的特點，如圖3所示. 可以得到[MF1-MF2=][MF1-PM=PF1=r]，進而得到雙曲線的定義.

反思：這樣做的好處是學生經歷了雙曲線的產生過程，體會到發現的驚喜，感受到數學的神奇. 同時，雙曲線的定義呼之欲出. 如果這樣設計的話，建議整章的設計可以考慮一以貫之，即在學習橢圓時利用折紙游戲折出橢圓，學習拋物線時也利用折紙游戲折出拋物線.

這樣設計的缺點是對于“為什么做折紙游戲？”“一開始，人們是如何想到并設計出這樣的折紙游戲的？”沒有向學生詳細說明，有點強加給學生的感覺，也就是說這個折紙游戲的產生不自然.

3. 設計思路3：利用同心圓距離差設計

向學生發放如圖4所示的一張紙. 學生很快能想起來在學習橢圓時，利用兩個同心圓的交點畫出橢圓的方法. 因此，這個題目背景學生比較熟悉.

然后讓每個小組的6名學生分工完成下面的問題.

問題：用[r1，r2]分別表示圓心為[A，B]的圓的半徑，找出圖中滿足如下條件的兩圓的交點，并用光滑的曲線連接交點.

學生畫完后交流畫出的圖象，然后思考這種曲線的特點，并試著給這種曲線下定義.

反思：這種設計方式可以較好地利用學生在前面學習橢圓時的畫圖方法，學生通過分組合作學習能夠發現不同情況下所得的圖象，可以很容易地總結出雙曲線的定義. 這種方法在研究橢圓、拋物線時都可以使用.

二、距離差的拓展

除了距離和與距離差的絕對值還有如下拓展思考.

拓展1：一動點到兩定點的距離的乘積等于定值[m2]，求此動點的軌跡（卡西尼卵形線）.

解：設兩定點間的距離為[2a]，兩定點為[A-a，0]和[Ba，0]，設動點[Mx，y].

依題意，得[MBMA=m2].

即[x+a2+y2x-a2+y2=m2].

平方并整理，得[x2+y22-2a2x2-y2+a4-m4=0].

拓展2：一動點到兩定點的距離之比為常數（常數大于0且不等于1）的點的軌跡（阿波羅尼斯圓）.

人教B版《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修2》第98頁的例3和第105頁的“探索與研究”欄目均有涉及.

拓展3：一動點到兩定點的距離的平方和為定值的點的軌跡（圓）.

設點[Px，y]到定點[A-a，0]和[Ba，0]的距離的平方和等于[4b2]，且[a>0，b>0]. 根據題意，得[x+a2+y2+x-a2+y2=4b2]，即[x2+y2=2b2-a2].

拓展4：一動點到定點和到定直線的距離之比等于常數的點的軌跡.（將其中一個定點改為定直線，可以拓展圓錐曲線的第二定義.）

拓展5：在空間中，到一定點[A]和一定平面[α]的距離之比為常數[h]的點的軌跡，取決于定點和定平面的位置關系，以及常數[h]的大小.

三、無理式的處理方法

四、焦點在[y]軸上的雙曲線方程的說明

對于焦點在[y]軸上的雙曲線的方程，教材只是簡單地說，將[x2a2-y2b2=1]中的[x，y]互換就可以得到[y2a2-][x2b2=1]，至于原因沒有詳細說明.

方法1：直接法. 類比焦點在[x]軸上的雙曲線方程的推導方法. 以線段[F1F2]所在的直線為[y]軸，以線段[F1F2]的垂直平分線為[x]軸，可以推導.

方法2：按步驟列出方程，比較兩個方程的結構的異同.

焦點在[x]軸上：[x+c2+y2-x-c2+y2=±2a].

焦點在[y]軸上：[x2+y+c2-x2+y-c2=±2a].

結構相同，只是字母[x，y]交換了位置，直接得到方程.

方法3：利用坐標軸的旋轉. 先將圖5中的坐標軸按順時針旋轉[90°]得到圖6，也就是圖7.

具體過程：設所求曲線上任意一點的坐標為[Px，y]，已知曲線[x2a2-y2b2=1]上的點的坐標為[Qx0，y0]，則利用坐標軸旋轉公式[x=x0cosθ+y0sinθ，y=-x0sinθ+y0cosθ，] 其中，[θ]為坐標軸旋轉的角度. 把[θ=-π2]代入公式，得[x=-y0，y=x0.] 反解，得[x0=y，y0=-x.] 又因為[Qx0，y0]在曲線[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2a2-x2b2=1].

方法4：利用圖象得旋轉求解.

設所求曲線上任意一點的坐標為[Px，y]，已知曲線[x2a2-y2b2=1]上的點的坐標為[Qx0，y0]，則利用圖象旋轉公式[x=x0cosθ-y0sinθ，y=x0sinθ+y0cosθ，]? 其中，[θ]為坐標軸旋轉角度. 把[θ=π2]代入公式，可以得到[x=-y0，y=x0.] 反解，得[x0=y，y0=-x.] 又因為[Qx0，y0]在曲線[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2a2-x2b2=1].

處處留心皆學問，對教材的深入、反復挖掘，能使教師更深入地理解教材，從而能引導學生把握數學內容的本質，感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

參考文獻：

[1]陶興模. 關于雙曲線標準方程的說課[J]. 上海中學數學，2017（12）：5-6.

[2]陳立軍. 談“橢圓、雙曲線標準方程”推導過程中教育價值的開發[J]. 中學教研（數學），2012（3）：36-38.

[3]程琛. 雙曲線的發生教學研究[D]. 武漢：華中師范大學，2014.