整合邊角關(guān)系，多解思路探究

張琪

[摘? 要] 圓類復(fù)合問題的突破重點是整合圖形的邊角關(guān)系，合理構(gòu)圖，生成特殊圖形，利用圖形的特殊性質(zhì)解題. 問題的解析思路往往不唯一，變換視角可生成不同解法，文章將對一道圓類復(fù)合問題進行解法探究，并開展解后反思，提出相應(yīng)教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 圓;邊角;關(guān)系;整合;多解

圓是一種特殊的幾何圖形，中考常從知識綜合視角對其加以考查，涉及三角形、四邊形等基礎(chǔ)圖形，融合垂直、平行、相交等幾何關(guān)系. 以圓為背景的壓軸題圖像往往較為復(fù)雜，問題圖像不僅具有多圖形相綜合的特點，同時含有多種解題思路，可從不同視角進行突破，解析過程要把握圖像特性，充分整合邊角關(guān)系.

問題呈現(xiàn)，解答評析

1. 問題呈現(xiàn)

考題：（2020年浙江杭州市中考卷第21題）如圖1，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連接EF.

（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC=30°，求線段EF的長.

（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點P，

①求證：PE=PF.

②若DF=EF，求∠BAC的度數(shù).

2. 常規(guī)解答

（1）求線段EF的長，已知∠BAC=30°和圓半徑長，常規(guī)思路：解三角形求AB長，整合邊角關(guān)系推導(dǎo)△OCB為等邊三角形，由“三線合一”確定△AFB為直角三角形，推導(dǎo)出EF為Rt△AFB斜邊上的中線，從而由邊長關(guān)系確定EF長.

由條件可知△OAE為直角三角形，其中∠BAC=30°，OA=1，則OE=OA=，AE=EB=OE=;分析可知△OCB為等邊三角形，點F為OC的中點，則BF⊥OC，△AFB為以∠AFB為直角的直角三角形，又知點E為AB的中點，由直角三角形斜邊中線性質(zhì)可得EF=AB=.

（2）①求證PE=PF，過點F作BE的垂線，設(shè)垂足為點G，交OB于點H，再連接EH，如圖2所示，只需證明四邊形OFHE為平行四邊形即可，具體如下.

因為∠FGA=∠ABC=90°，則FG∥BC，所以△OFH∽△OCB，由相似性質(zhì)可得==，同理有=，所以FH=OE，分析可證OE∥FH，所以四邊形OFHE為平行四邊形，則PE=PF.

②設(shè)定DF=EF，求∠BAC的度數(shù). 證明FD=FB，推導(dǎo)FO⊥BD，證明△AOB為等腰直角三角形即可.

由OE∥FG∥BC可得==1，可推得EF=FB. 又知DF=EF，則DF=BF，結(jié)合DO=OB，可證FO⊥BD，所以∠AOB=90°，則△AOB是等腰直角三角形，∠BAC=45°.

3. 問題評析

本題目以圓為背景構(gòu)建幾何圖形，主要考查幾何性質(zhì)，圖形雖來源于教材的基本圖形，但所涉條件包含圓、中點、垂直、特殊角等內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵. 第（1）題求線段長，主要考查解直角三角形、等腰三角形“三線合一”特性、直角三角形的斜邊中線性質(zhì). 第（2）題的①問由相似關(guān)系提取等線段長，借助平行四邊形性質(zhì)完成線段等長證明，其考查了相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì). 第（2）題的②問求角度，思路構(gòu)建過程涉及了相似比例關(guān)系和等腰直角三角形證明，其核心是考查學(xué)生的構(gòu)圖能力.

思路拓展，多解探究

考題以圓為背景構(gòu)建了復(fù)合圖形，涉及垂直、中點、角度等特殊內(nèi)容，無論是求解線段長、角度大小，還是證明等量關(guān)系，均需要整合其中的邊角關(guān)系，構(gòu)建特殊的圖形（等腰三角形、直角三角形）、特殊關(guān)系（相似關(guān)系、全等關(guān)系）來輔助推理. 考題的突破思路不同，問題的解法也有一定的差異，下面進行思路拓展，探究多解方法.

1. 關(guān)于第（1）題

可過點F作AB的垂線，設(shè)垂足為點G，從而構(gòu)建Rt△AGF，該三角形中含有特殊的30°角，可在該角中使用三角函數(shù)，從而得到相應(yīng)的邊長. 而在Rt△EFG中，可使用勾股定理來求EF的長.

詳解：過點F作FG⊥AB，垂足設(shè)為G，如圖3所示. 由條件可知Rt△ABC，在該三角形中，已知∠A=30°，AC=2，則BC=AC=1，AB=AC=.

同理在Rt△AEO中，可得AE=AO=，OE=AO=，可推知AF=AO+OF=. 在Rt△AGF中，可得FG=AF=，AG=AF=，則EG=AG-AE=. 而在Rt△EGF中，有EF==.

評析? 上述解法思路的重點是對直角三角形的邊角關(guān)系進行整合，借助三角函數(shù)進行邊長推導(dǎo)，實則就是解直角三角形. 理解三角函數(shù)的內(nèi)涵，掌握其對應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)化方式是學(xué)習(xí)的重點.

2. 關(guān)于第（2）題的①問

在幾何問題中，若共端點且位于同一直線上的等線段，可以通過做輔助平行線來構(gòu)建“8字全等”圖形，從而證明線段等長. 同時由共線線段之間的比例關(guān)系可推導(dǎo)平行線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而推導(dǎo)線段之間的長度關(guān)系.

解法1：（依托△ABO構(gòu)建“8字全等”圖形）

過點F作AB的平行線，交DB于點G，如圖4所示. 分析可證△GOF∽△BOA，由相似性質(zhì)可得==，所以GF=BE. 又知∠FGP=∠EBP，∠GFP=∠BEP，所以△FGP≌△EBP，由全等性質(zhì)可得PE=PF.

解法2：（依托△OPF構(gòu)建“8字全等”圖形）

過點E作OF的平行線，交OB于點G，如圖5所示. 分析可證△BEG∽△BAO，△OFP∽△GEP，由相似性質(zhì)可得==. 又知=，所以FO=EG，從而可證△OFP≌△GEP，由全等性質(zhì)可得PE=PF.

評析? 上述解法思路的重點是構(gòu)造“8字全等”圖形，利用模型可構(gòu)建相似關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，即整合相似圖形的邊角關(guān)系. 需要注意的是，基于不同三角形構(gòu)造的模型有所不同，模型構(gòu)造要依題而定. 在探究學(xué)習(xí)中要注意幾何模型的總結(jié)，如“一線三等角”模型、“中點弦長”模型、“共邊共角”模型等，理解模型本質(zhì)，歸納模型結(jié)論.

3. 關(guān)于第（2）題的②問

對于該問的常規(guī)解法是構(gòu)建等腰三角形，函數(shù)與幾何之間有著緊密的聯(lián)系，求解時還可以從函數(shù)視角進行條件整合，可建立直角坐標系，結(jié)合幾何條件進行頂點坐標推導(dǎo)，通過分析頂點位置來判斷角度大小.

詳解：以點O原點，OB為x軸建立直角坐標系，設(shè)⊙O的半徑為1，如圖6所示. 分析可知點B（1， 0），D（-1，0）. 設(shè)點C（x，y），A（-x，-y），則點F的坐標為，，點E的坐標為，，可得EF的中點坐標為，0，即中點位于x軸上. 由于點P位于x軸上，則點P與EF的中點相重合，所以PF=PE. 由點D，E，F(xiàn)的坐標可得DF2=+12+2，EF2=-x2+y2，因為DF2= EF2，x2+y2=1，可解得x=0，y=±1，所以∠BAC=45°.

評析? 上述是從函數(shù)視角進行的角度推導(dǎo)，通過建坐標系將幾何條件轉(zhuǎn)化為頂點坐標，進而完成角度推導(dǎo). 建立坐標系，將幾何條件坐標化是突破“數(shù)”“形”問題的有效思路，通過數(shù)形結(jié)合的方式可實現(xiàn)問題的高效作答.

解后反思，教學(xué)思考

1. 關(guān)于問題的解法思考

以圓為背景的幾何題復(fù)合性較強，中考命題常利用特殊關(guān)系將基本的圖形串聯(lián)起來，如中點位置、垂直關(guān)系、平行關(guān)系等，求解復(fù)合型問題的基本思路是整合邊角關(guān)系，將條件集中到特殊的圖形中. 如上述常規(guī)求解第（1）問時將邊角關(guān)系整合到直角三角形中，求第（2）題的①問時將邊角關(guān)系整合到平行四邊形中. 具體求解時的關(guān)鍵點有三個：①合理添加輔助線，挖掘圖形隱含特性;②充分利用特殊圖形，挖掘圖形的特殊關(guān)系，如直角特性、全等關(guān)系、相似圖形的對應(yīng)邊比例關(guān)系等;③執(zhí)果索因，由結(jié)論出發(fā)探索成立條件，過程推導(dǎo)有理有據(jù)，思路構(gòu)建清晰明了.

2. 關(guān)于問題的教法思考

本題目為圓類綜合題，從解析過程來看，重點是進行邊角關(guān)系的整合，主要考查特殊圖形的判定及性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生掌握作輔助線、構(gòu)造特殊圖形的方法. 而在實際教學(xué)中不僅需要掌握作圖構(gòu)造的技巧，還應(yīng)關(guān)注作圖構(gòu)造的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生形成完整的思維鏈. 以上述第（2）題的①問為例，求證線段相等，顯然需要將其放在特殊圖形之中，可從相似圖形、平行線的等分模型入手，利用等量關(guān)系代換來完成，顯然作圖時需添加平行線來構(gòu)造相似三角形. 也可以構(gòu)造平行四邊形，利用其特性來證明，則作圖時需要構(gòu)建平行四邊形. 教學(xué)時要讓學(xué)生思考求證線段相等的具體思路，聯(lián)想平行四邊形特性、全等或相似三角形性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考作圖方向，探索構(gòu)圖思路，以培養(yǎng)學(xué)生解題思維為教學(xué)重點.

3. 關(guān)于問題多解思考

上述考題在常規(guī)解法的基礎(chǔ)上進行了解法拓展，形成了新的解題思路. 幾何綜合題的條件眾多、圖形較為復(fù)雜，也決定了可從不同的角度進行探究，可形成不同的解題方法. 以上述第（2）題的①問為例，可從平行四邊形視角進行作圖構(gòu)建，也可基于相似關(guān)系構(gòu)建“8字全等”圖形，由全等特性來構(gòu)建. 開展問題多解探索，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生全面認識問題，還可以拓展解題思路. 在多解探究中要注重解圖方法的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生掌握圖形“離析”的方法，透過圖形整體，關(guān)注局部特征，分離特殊圖形，挖掘特殊關(guān)系，由淺入深逐步認識圖形，生成構(gòu)造思路.