反比例函數(shù)問題中的特殊模型探究

蔣飛

[摘? 要] 反比例函數(shù)具有極強的知識綜合性，常與關(guān)聯(lián)知識構(gòu)建特殊模型，如幾何面積、三角函數(shù)、不等式、實際問題等，該類綜合題側(cè)重考查學(xué)生探究反比例函數(shù)模型的能力. 文章將結(jié)合實例探究反比例函數(shù)的四大特殊模型并總結(jié)解題方法，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 反比例函數(shù);面積;三角函數(shù);不等式;三角板;模型

問題綜述

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，具有“數(shù)”與“形”兩大性質(zhì)特征，這使得反比例函數(shù)與幾何、代數(shù)、方程、不等式有著緊密的關(guān)聯(lián). 中考常以綜合的形式考查相關(guān)知識，如以反比例函數(shù)為背景，綜合一次函數(shù)、幾何、三角函數(shù)、不等式以及現(xiàn)實情形等構(gòu)建問題模型，可全面考查學(xué)生的知識基礎(chǔ)、方法綜合、探究拓展能力. 掌握反比例函數(shù)的知識內(nèi)容是基礎(chǔ)，問題突破的關(guān)鍵是把握知識關(guān)聯(lián)，核心策略是合理構(gòu)建模型，數(shù)形結(jié)合解析，下面結(jié)合實例深入探究反比例函數(shù)背景中的問題模型.

實例探究

探究一：反比例函數(shù)中的幾何面積模型

反比例函數(shù)常與幾何圖形相結(jié)合，其中求解圖形面積是常見的問題形式，知識聯(lián)系點是曲線上的點，由點坐標(biāo)可求曲線表達式，也可求解線段長. 突破重點是結(jié)合面積公式構(gòu)建模型.

例1? （2020年徐州市中考卷第26題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點A（0，-4），B（2，0）交反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像于點C（3，a），點P在反比例函數(shù)的圖像上，橫坐標(biāo)為n0<n<3，PQ∥/y軸交直線AB于點Q，D是y軸上任意一點，連接PD，QD.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;

（2）求△DPQ面積的最大值.

問題簡析：（1）設(shè)直線AB為y=kx+b，分別將點A和B代入直線AB，可解得k=2，b=-4，則直線AB為y=2x-4. 將點C（3，a）代入直線AB，可解得a=2，則C（3，2）點C位于反比例函數(shù)圖像上，代入y=中可得m=6，則反比例函數(shù)的表達式為y=.

（2）PQ是平行于y軸的線段，則可將△DPQ視為是以PQ為底，點D為頂點的三角形，點D位于y軸上，則高就為點P的橫坐標(biāo)值. 設(shè)Pn，，則Q（n，2n-4），其中0<n<3，則PQ=-（2n-4）？搖=-2n+4，所以S=n-2n+4，分析可知，當(dāng)n=1時，△DPQ面積最大，為4.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)背景中的圖形面積問題可歸為兩類：一是多邊形面積，常使用面積割補法轉(zhuǎn)化為求三角形面積;二是三角形面積，規(guī)則三角形可直接使用對應(yīng)公式構(gòu)建模型，不規(guī)則三角形可用“鉛垂”模型以及割補法. 具體求解時由點坐標(biāo)推導(dǎo)線段長，進而求出圖形對應(yīng)的高和邊長.

探究二：反比例函數(shù)中的三角函數(shù)模型

反比例函數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合是常見的綜合形式，問題往往要求三角函數(shù)值，中學(xué)階段求三角函數(shù)值常結(jié)合直角三角形，實則就是解直角三角形，故問題求解需要構(gòu)建直角三角形模型.

例2? （2020年丹東市中考卷第14題）如圖2，矩形ABCD的邊AB在x軸上，點C在反比例函數(shù)y=的圖像上，點D在反比例函數(shù)y=的圖像上，若sin∠CAB=，cos∠OCB=，則k=_________.

問題簡析：求k的值，需要求出點D的坐標(biāo)，即AD和AO的長，已知sin∠CAB=和cos∠OCB=，需要構(gòu)建直角三角形模型，從中求出相關(guān)線段長.

設(shè)點Cx，（x>0），由矩形性質(zhì)可得∠ABC=90°，AD=BC，則OC==. 在Rt△OCB中，cos∠OCB==，即=，解得x=，所以O(shè)B=，BC=2. 在Rt△CAB中，sin∠CAB==，即=，解得AC=2，由勾股定理可得AB==4，所以AO=，則點D的坐標(biāo)為-，2. 點D位于反比例函數(shù)y=的圖像上，代入解析式，可得k=-×2=-10.

方法總結(jié)：涉及三角函數(shù)的反比例函數(shù)綜合題有兩種命題思路，一是直接求三角函數(shù)值，二是已知與三角函數(shù)值相關(guān)的條件，求關(guān)聯(lián)條件. 問題突破的核心均為構(gòu)建直角三角形模型，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊長比值，而其中的邊長可由兩點之間的距離公式獲得.

探究三：反比例函數(shù)中的不等式關(guān)系模型

反比例函數(shù)與不等式之間有著一定的關(guān)聯(lián)，由曲線圖像在坐標(biāo)系中的位置關(guān)系可構(gòu)建不等式關(guān)系模型，故可利用直觀的函數(shù)圖像來求解不等式的解析式，問題突破的基礎(chǔ)是精準(zhǔn)繪制圖像.

例3? （2020年雅安市中考卷第22題）如圖3，一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖像與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數(shù)y=（m為常數(shù)且m≠0）的圖像在第二象限交于點C，CD⊥x軸，垂足為D，若OB=2OA=3OD=6.

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;

（2）求兩個函數(shù)圖像的另一個交點E的坐標(biāo);

（3）請觀察圖像，直接寫出不等式kx+b≤的解集.

問題簡析：（1）先求出點A，B，C的坐標(biāo)，然后使用待定系數(shù)法，可求得一次函數(shù)的表達式為y=-2x+6，反比例函數(shù)的解析式為y=-;

（2）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個交點分別為點C和E，可聯(lián)立兩者解析式構(gòu)建方程來確定坐標(biāo)，即y=-2x+6，y=-，可解得x=-2，y=10或x=5，y=-4.故另一個交點E的坐標(biāo)為（5，-4）;

（3）求不等式kx+b≤的解集，其中左邊可視為一次函數(shù)y=-2x+6的y值，右邊是反比例函數(shù)y=-的y值，在圖像中的意義則為一次函數(shù)位于反比例函數(shù)下方及交點的部分，該部分自變量x的取值為-2≤x<0或x≥5，故不等式的解集為-2≤x<0或x≥5.

方法總結(jié)：不等式問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，可利用函數(shù)圖像模型來求不等式解集，問題突破需要關(guān)注不等號兩側(cè)所對應(yīng)的函數(shù)解析式，然后結(jié)合曲線的相對位置與不等號關(guān)系來解析. 對于函數(shù)y1與y2，若y1>y2，則表示函數(shù)y1位于函數(shù)y2的上方;若y1=y2，則表示函數(shù)y1與函數(shù)y2相交的點;若y1<y2，則表示函數(shù)y1位于函數(shù)y2的下方. 求不等式的解，則只需關(guān)注對應(yīng)線段下的x值.

探究四：反比例函數(shù)中的現(xiàn)實模型

反比例函數(shù)現(xiàn)實問題在中考中較為常見，往往圍繞反比例函數(shù)構(gòu)建現(xiàn)實模型，問題解析需要關(guān)注圖像特點，結(jié)合反比例函數(shù)特點進行問題突破. 往往實際問題中變量的取值為非負數(shù)，需合理截取圖像曲線.

例4? （2020年昆明市中考卷第19題）為了做好校園疫情防控工作，校醫(yī)每天早上對全校辦公室和教室進行藥物噴灑消毒，她完成3間辦公室和2間教室的藥物噴灑要19 min;完成2間辦公室和1間教室的藥物噴灑要11 min.

（1）校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要多少時間？

（2）消毒藥物在一間教室內(nèi)空氣中的濃度y（單位：mg/m3）與時間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系如圖4所示：校醫(yī)進行藥物噴灑時y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x，藥物噴灑完成后y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，兩個函數(shù)圖像的交點為A（m，n）. 當(dāng)教室空氣中的藥物濃度不高于1 mg/m3時，對人體健康無危害，校醫(yī)依次對一班至十一班教室（共11間）進行藥物噴灑消毒，當(dāng)她把最后一間教室藥物噴灑完成后，一班學(xué)生能否進入教室？請通過計算說明.

問題簡析：本題目是關(guān)于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的實際問題，需結(jié)合題干信息了解曲線意義，理解曲線變化，然后結(jié)合函數(shù)知識進行解析.

（1）設(shè)校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要x min和y min，由題意可得3x+2y=19，2x+y=11，解得x=3，y=5，即校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要3 min和5 min;

（2）一間教室的藥物噴灑時間為5 min，則11個房間需要55 min，當(dāng)x=5時，y=10，則點A的坐標(biāo)為（5，10）. 設(shè)反比例函數(shù)的表達式為y=，點A位于反比例函數(shù)上，代入其中，有=10，解得k=50，則反比例函數(shù)的表達式為y=，當(dāng)x=55時，y=<1，所以一班的學(xué)生可以安全進入教室.

方法總結(jié)：與反比例函數(shù)相關(guān)的現(xiàn)實問題除了考查相關(guān)函數(shù)知識，還考查學(xué)生讀圖應(yīng)用、建模解圖的能力. 突破的重點是剖析反比例函數(shù)現(xiàn)實模型，解析時首先需要關(guān)注曲線坐標(biāo)含義，結(jié)合文字信息理解曲線變化、曲線的交點，探究實際情形與函數(shù)曲線的聯(lián)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

反思總結(jié)

反比例函數(shù)是初中函數(shù)的重要組成部分，雖然曲線較為簡單，但其性質(zhì)特點具有一定的代表性且有著眾多的知識關(guān)聯(lián)點，這也是中考反比例函數(shù)綜合題構(gòu)建的基礎(chǔ)，也出現(xiàn)了眾多的反比例函數(shù)特殊模型. 上述所探究的四大反比例函數(shù)特殊模型是其中的典型代表，探究模型的構(gòu)建思路、解析策略，對于提升解題能力、拓展解題思維有著極大的幫助.

在教學(xué)實踐過程中，建議教師立足反比例函數(shù)知識基礎(chǔ)，深入探究曲線特性，關(guān)注反比例函數(shù)與其他知識的關(guān)聯(lián)點，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，完善知識體系. 注重探究反比例函數(shù)的特殊模型，關(guān)注模型的構(gòu)建形式、解析思路、剖解方法. 教學(xué)中可以實際問題為例，引導(dǎo)學(xué)生體驗探究過程，自主歸納解法，總結(jié)對應(yīng)模型問題的特點，形成自我的解題策略. 同時注重解題探究的思想滲透，依托考題講解數(shù)學(xué)思想，促進學(xué)生知識水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的雙重提升.