問題解讀思路構建，方法探究思維提升

張小麗

[摘? 要] 以拋物線為背景的函數(shù)壓軸題具有極高的研究價值，探究解題方法可顯著提升解題能力. 考題往往綜合性較強，探究過程需深入解讀考題結構，把握突破重點，結合解題方法構建思路. 文章將以一道函數(shù)綜合題為例，進行問題解析，方法探究，并開展解后反思，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 拋物線;平移;四點共圓;定點;思想方法

考題呈現(xiàn)

考題? （2020年武漢中考數(shù)學卷第24題）將拋物線C：y=（x-2）2向下平移6個單位長度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2 .

（1）直接寫出拋物線C1，C2的解析式;

（2）如圖1，點A在拋物線C1對稱軸l右側上，點B在對稱軸l上，△OAB是以OB為斜邊的等腰直角三角形，求點A的坐標;

（3）如圖2，直線y=kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點，M為線段EF的中點;直線y=-x與拋物線C2交于G，H兩點，N為線段GH的中點. 求證：直線MN經過一個定點.

問題解析

上述是以拋物線為背景的函數(shù)綜合題，共分三小問，涉及求函數(shù)解析式、求特殊三角形的頂點坐標以及論證直線過定點. 問題解析要充分利用拋物線的相關知識，綜合幾何性質構建思路，下面逐問討論.

1.把握平移過程，特性利用運算

根據(jù)題干信息可知拋物線C向下平移6個單位長度得到了C1，C1向左平移2個單位長度得到了C2，根據(jù)函數(shù)圖像的平移規(guī)律即可推導函數(shù)解析式，規(guī)律如下：圖像上下平移，函數(shù)值上加下減;圖像左右平移，自變量左加右減. 實際求解時將函數(shù)解析式變形為頂點式，可降低運算難度.

拋物線C：y=（x-2）2向下平移6個單位長度得到拋物線C1，則拋物線C1的解析式為y=（x-2）2-6，即y=x2-4x-2. 拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2，則拋物線C2的解析式為y=（x-2+2）2-6，即y=x2-6.

點睛? 函數(shù)圖像與函數(shù)解析式緊密相關，圖像平移規(guī)律與函數(shù)解析式變化相對應，需要注意的是圖像的上下平移反映在函數(shù)值變化上，圖像的左右平移反映在自變量的變化上，因此將解析式變形為頂點式可直接代入平移單位長度.

2.巧用四點共圓，幾何性質突破

該問在拋物線中構建了等腰直角三角形△OAB，求點A的坐標需要借用幾何性質來構建思路. 問題解析需要關注條件“以OB為斜邊的直角三角形”，聯(lián)想直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可推知直角三角形一定存在對應的外接圓，且圓心恰好為斜邊的中點. 根據(jù)上述知識基礎可構建四點共圓模型，利用圓的性質破題.

如圖3所示，過點A作x軸的垂線，設垂足為C，連接AD. 已知△OAB為等腰直角三角形，則∠BOA =45°，又知∠BDO=∠BAO=90°，所以點A、B、O、D四點共圓，則∠BDA=∠BOA=45°，∠ADC=90°-∠BDA=45°，所以△DAC為等腰直角三角形，DC=AC. 已知點A位于拋物線C1對稱軸l的右側上，點B在對稱軸l上，則拋物線C1的對稱軸為x=2，可設點A的坐標為（x，x2-4x-2）.

當點A和B位于x軸的上方時，則DC=x-2，AC=x2-4x-2，由DC=AC可得x-2=x2-4x-2，解得x=5或者x=0（舍去），所以點A的坐標為（5，3）;

當點A和B位于x軸的下方時，同理可得DC= x-2，AC=-（x2-4x-2），由等量關系可得x-2=-（x2-4x-2），解得x=4或x= -1（舍去），所以點A的坐標為（4，-2）;

綜上可知，點A的坐標為（5，3）或（4，-2）.

點睛? 在本題目中，四點共圓的優(yōu)勢是可利用圓周角相等進行角度轉化，即由“∠BDA=∠BOA=45°”推得“∠ADC=90°-∠BDA=45°”，從而提取關鍵條件“DC=AC”，為后續(xù)方程構建奠定基礎. 四點共圓的判斷方法有很多，除了上述利用直角三角形外，還可以從定點距離相等、四邊形對角互補等角度進行判斷.

3.聯(lián)立參數(shù)方程，特性探究定點

第三問探究直線MN經過一個定點，由拋物線的解析式可知該直線的解析式中含有參數(shù)k，解析的基本思路是用參數(shù)k表示直線上的點坐標，用待定系數(shù)法求直線MN的解析式，然后根據(jù)直線解析式的特點來判斷直線是否經過定點.

已知直線y=kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點，聯(lián)立方程y=kx，y=x2-6，整理可得x2-kx-6=0，設點E和F的橫坐標分別為xE、xF，則xE+xF=k，所以中點M的橫坐標為xM= =，則中點M的縱坐標為yM=kx=，點M的坐標為，;同理可得點N的坐標為-，. 設直線MN的解析式為y=ax+b（a≠0），將點M和N的坐標代入解析式，可得=·a+b=-·a+b，解得a=，b=2，所以直線MN的解析式為y= x+2（k≠0）. 分析可知，不論k取何值（k≠0），當x=0時，y=2，即直線MN過定點（0，2）.

點睛? 探究直線過定點是典型問題，上述采用聯(lián)立參數(shù)方程，由解析式特點分析所過定點的方式. 另外，特殊值思想在該類問題中有著廣泛的應用，部分問題中可先考慮動直線的特殊情況，推斷出所過定點，最后加以驗證.

深入探究

上述為函數(shù)綜合題，其中第二問利用四點共圓來巧妙解題，利用圓周角相等實現(xiàn)等角轉換. 另外四點共圓模型中還具有如下性質：①同側共底三角形的頂角相等，②內接四邊形對角互補，③內接四邊形的外角等于內對角. 實際解題時要充分利用四點共圓模型的特性，合理構建解題思路.

例題：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，點D位于CA的延長線上，AE⊥BD，垂足為點E，AE的延長線交CA的平行線于點F，連接CE交AB于點G，如圖4所示.

（1）若點E為BD的中點，試求tan∠AFB的值;

（2）分析CE·AF的值是否隨線段AD的長度變化而變化？若不變，請求出CE·AF的值;若變化，請說明理由.

解析：（1）略;

（2）設AB的中點為點O，連接OC和OE，如圖5所示，已知∠BCA=∠BEA=90°，則OC=OA=OB，所以點A、C、B、E四點共圓，由共圓模型可知∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°. 因為BF∥CD，則∠BFA+∠CAE=180°，所以∠CBE=∠BFA，則△BCE∽△FAB，由相似性質可得=，即CE·FA=BC·AB，其中BC=7，AB=5，所以CE·FA=35，則CE·AF的值不變，為定值35.

評析? 上述第（2）問求解時借用了四點共圓模型，利用模型的兩大性質（①同弧所對的圓周角相等，②內接四邊形的對角互補）進行等角推導，從而提取關鍵的相似三角形. 四點共圓解題的關鍵有兩個：一是準確提取四點共圓條件，二是合理利用共圓模型的特性進行條件轉化.

解后思考

上述對一道拋物線綜合題進行了解析突破，并對四點共圓方法進行了深入探究，其中涉及的求函數(shù)解析式、求點坐標以及探究直線過定點屬于典型問題，挖掘問題結構、關注思維過程可有效提升解題能力，下面結合教學實踐深入反思.

1.深刻理解問題結構，圍繞重點探究思路

函數(shù)壓軸題的綜合性較強，深刻理解題干信息，把握圖像結構是解題的基礎，也是構建解題思路的前提. 以上述考題為例，第（1）問突破需要把握拋物線二次平移的過程，然后結合平移規(guī)律進行解析式推導，重點是平移規(guī)律與解析式的關聯(lián);第（2）問求解點坐標，但問題解析需要把握所構三角形位置關系及特性，在此基礎上構建四點共圓模型，進行等角轉換，重點是四點共圓成立的條件及性質;第（3）問探究直線過定點，需要把握直線、拋物線之間的位置關系，包括交點、相對關系，在此基礎上進行直線設元推導、定點分析，重點是求直線參數(shù)方程的技巧. 教學中建議引導學生閱讀考題，運用數(shù)形結合方法解讀條件，串聯(lián)問題條件，思考解題重點，教學解題方法.

2.拓展探究重點解法，多樣呈現(xiàn)提升思維

中考壓軸題的解析過程會用到一些典型的解法，深入探究問題解法，合理拓展有利于提升學生的解題思維. 以上述考題為例，第（2）問點坐標求解過程中運用了四點共圓模型，利用模型的特性完成了等角轉換. 該方法是初中數(shù)學需要重點掌握的解法，教學中可開展專題探究，指導學生深入學習四點共圓模型，探究四點共圓成立的條件以及模型所具有的性質. 四點共圓方法屬數(shù)學隱圓法的一種，探究教學中可圍繞隱圓法進行問題設計，結合實際問題引導學生感悟方法，培養(yǎng)學生的洞察力，拓寬解題視野，提升數(shù)學思維.

3.滲透數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

滲透思想方法是考題探究的重要環(huán)節(jié)，即在解題教學中引導學生感悟數(shù)學思想，理解方法精髓，培養(yǎng)利用思想方法解題的思維習慣. 以上述考題為例，問題解析過程需要綜合數(shù)形結合思想、分類討論思想、模型思想、化歸轉化思想、方程思想等，正是在數(shù)學思想的引導下完成了問題解析、模型構建、條件轉化. 考慮到數(shù)學思想較為抽象，教學中建議結合具體內容開展思想方法學習，以數(shù)形結合思想為例，可結合函數(shù)內容進行思想滲透，引導學生關注函數(shù)解析式的特性，對照函數(shù)圖像進行幾何意義教學，讓學生感悟思想內涵，逐步發(fā)展學生的核心素養(yǎng).