二次函數與幾何綜合的典型問題探究

賴藩培

[摘? 要] 幾何面積問題、直角三角形存在性問題是二次函數與幾何的兩大典型問題，問題融合了二次函數的基礎知識和幾何特性. 問題情景不同，可使用的方法、構建思路也有所差異，文章以一道考題為例探究其解法，并總結兩大問題的解題策略，開展教學反思，提出兩點建議.

[關鍵詞] 二次函數;幾何;面積;特殊三角形;思想方法

探究背景

二次函數與幾何的綜合探究題涉及二次函數、幾何圖形兩大知識模塊，所涉問題類型較為多樣. 其中含有基礎性問題，也涉及難度較大的綜合性問題，如求解函數解析式、點坐標、線段長，剖析幾何面積、角度大小，探究特殊圖形、特殊關系存在性以及融合動點、圖形運動的動態問題等. 采用數形結合、構建解題模型是突破二次函數與幾何綜合題的常規策略，解析過程需要把握問題特點，針對不同問題選用對應方法來構建思路. 本文將以三角形的面積問題、特殊角度存在性問題為例，進行深入探究.

探究示例

例題：（2020年通遼市中考卷第26題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C. 且直線y=x-6過點B，與y軸交于點D，點C與點D關于x軸對稱，點P是線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線BD于點N.

（1）求拋物線的函數解析式;

（2）當△MDB的面積最大時，求點P的坐標;

（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標;若不存在，說明理由.

問題解析：

第（1）問：求拋物線解析式

一次函數與坐標軸的交點分別為點B和點D，已知一次函數解析式為y=x-6，可求得點B（6， 0），D（0，-6），點C與點D關于x軸對稱，則點C（0，6）. 點B和C均位于拋物線上，將兩點坐標分別代入拋物線的解析式中，有-36+6b+c=0，c=6，可解得b=5，c=6，所以拋物線解析式為y= -x2+5x+6.

第（2）問：解析△MDB的面積

如圖2，△MDB中，點B和D是定點，點M是位于拋物線上的動點，使用鉛垂模型求解，即MN將△MDB分割為有公共底的兩個三角形：△MND和△MNB，則其面積S=S+S=MN·x-x. 設P（m，0），則M（m，-m2+5m+6），N（m，m-6），則MN=-m2+4m+12. 所以S=MN·x-x=-3m2+12m+36=-3（m-2）2+48. 分析可知，當m=2時，△MDB的面積最大，此時點P的坐標為（2，0）.

第（3）問：探究直角三角形的存在性

探究以Q，M，N三點為頂點的三角形為直角三角形，沒有設定直角，有∠QMN=90°，∠MNQ=90°，∠MQN=90°三種情形，逐個分類討論.

由（2）問可知點M和N的坐標分別為（2，12），（2，-4）.

①當∠QMN=90°時，QM∥x軸，則Q（0，12）;

②∠MNQ=90°時，NQ∥x軸，則Q（0，-4）;

③∠MQN=90°時，設Q（0，n），由勾股定理可得QM2+QN2=MN2，即4+（12-n）2+4+（n+4）2=（12+4）2，可解得n=4±，即點Q的坐標為（0，4+）或（0，4-）.

綜上可知，存在以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形，滿足條件的點Q坐標有四個，分別為（0，12），（0，-4），（0，4+）或（0，4-）.

典型解讀

上述二次函數與幾何綜合題的后兩問為核心之問，第（2）問為二次函數中的圖形面積問題，第（3）問為二次函數中的直角存在性問題，兩問均為典型問題. 問題解析需要合理構建模型，往往針對不同的情形，建模過程也有一定的差異，下面具體解讀分析.

1. 關于二次函數中的圖形面積

拋物線中圖形位置情形可分為三種：圖3中三角形有一條邊位于坐標軸上，圖4中三角形的三邊均不在坐標軸上，圖5則為不規則圖形. 對于不同的情形，模型構建策略有所不同.

求解拋物線中圖形的面積采用如下策略.

策略一：若三角形有一條邊位于坐標軸上，建議取該邊為底;

策略二：若三角形的三邊均不在坐標軸上，建議結合割補法，轉化為有一邊垂直坐標軸的情形，構建鉛垂模型;

策略三：若所涉圖形為不規則圖形，建議采用面積割補法，將其轉化為幾個規則三角形的面積組合.

拓展示例1：拋物線y=x2-2x-3與x軸交于點A和B，與y軸交于點C，分析在x軸的下方、y軸右側的拋物線上是否存在一點D，使得四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D坐標;若不存在，請說明理由.

解析：采用面積割補法進行求解，設點D坐標為（m，m2-2m-3），由條件可知點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. 連接OD，如圖6所示，則四邊形可由OD、OC分割為△AOC、△COD、△BOD，其面積S=S+S+S，其中S=AO·OC，S=OC·x，S=OB·y，代入點坐標可得S=×1×3+×3×m+×2×m2-2m-3=-m2+m+6，分析可知當m=時，四邊形ABDC的面積最大，此時點D的坐標為，-.

評析：上述解析四邊形ABDC的最大面積，采用了面積割補法，將其分割為三個小三角形的組合. 而小三角形均至少有一邊位于坐標軸上，故可采用上述策略一，取位于坐標軸上的邊為三角形的底，從而構建面積模型.

2. 二次函數中直角三角形存在性

二次函數中直角三角形存在性問題往往結合了動點，設問常常分兩種情形：情形一是設定了固定直角頂點，二是沒有設定直角頂點. 情形一模型固定，而情形二需要分類討論，以定點為直角頂點，或以動點為直角頂點. 故具體解析可按照如下思路：第一步，討論直角存在情形;第二步，根據具體情形構建模型;第三步，使用對應策略求解分析. 而模型構建可采用以下三種策略.

策略一：幾何角度分析

由幾何角度入手，對應直角的頂角為90°，可直接利用該角度特性進行推理，如構建平行模型、“一線三等角”模型、“水晶盒子”模型等，利用模型特性轉化為求線段長，進而確定點坐標.

策略二：直線斜率分析

由函數角度入手，直角所關聯的兩條直角邊相互垂直，則所在直線的斜率之積為-1，如圖7所示，即若直線l1⊥l2，則k1·k2=-1.

策略三：勾股定理分析

由直角三角形特性分析，若對應三角形為直角三角形，則必然滿足勾股定理，如圖8所示，在Rt△ABC中，有a2+b2=c2.

拓展示例2：拋物線y=x2-2x-3與x軸交于點A和B，與y軸交于點C，試在拋物線上找到一點Q，使得△BCQ為以BC為直角邊的直角三角形，并求出點Q的坐標.

解析：題干設定BC為直角邊，由拋物線解析式可得點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. 結合圖像（如圖9）分析可知，可分別以點B和點C為直角頂點，需分別討論.

①當以點B為直角頂點時，有BC⊥BQ，故BC與BQ所在直線的斜率之積為-1，即kBC·kBQ=-1. 由點坐標可得直線BC的解析式為y=x-3，則直線BQ的斜率為-1，設BQ的解析式為y=-x+b，直線BQ經過點B，將點B坐標代入其中，可得b=3，所以直線BQ的解析式為y=-x+3. 點Q是拋物線與直線BQ的交點，聯立兩者方程，有y=x2-2x-3，y=-x+3，可解得x=-2，y=5 或x=3，y=0 （舍去），則Q1（-2，5）;

②當以點C為直角頂點時，有BC⊥CQ，則kBC·kCQ=-1，同理可求得直線CQ的解析式為y=-x-3，與拋物線方程聯立，有y=x2-2x-3，y=-x-3，可解得x=1，y=-4 或x=0，y=-3 （舍去），則Q2（1，-4）;

綜上可知，點Q的坐標為（-2，5）或（1，-4）.

評析：上述設定直角三角形的一條直角邊，結合圖像分析確定了具體的直角情形，然后進行分類討論. 模型構建時采用了上述的策略二，結合“相互垂直的兩條直線的斜率之積為-1”來逐步推導點坐標，整個過程直觀簡潔.

總結反思

上述深入探討了二次函數與幾何的兩大綜合性問題，無論是分析圖形的面積，還是探究圖像中的直角三角形，均需要立足二次函數的基礎知識，把握幾何圖形的基本特性，由性質出發，緊抓點坐標這一切入點進行解題. 在考題探究教學中，筆者提出以下兩點建議.

建議一：策略總結中兼顧拓展思考

函數中的面積問題和直角三角形問題為典型問題，對其開展解題策略總結是十分必要的，但在實際教學中不能過分強調解題模板而限制學生的思維，而應引導學生挖掘問題本質，認識方法本源，立足方法原理開展拓展變式教學，引導學生探究創新性解法，結合實際問題挖掘一題多解、多題一解，以發展學生思維為教學重點.

建議二：解法探究中注重思想滲透

上述問題的解析過程不僅是知識點的綜合，同時也是思想方法的綜合，涉及數學的數形結合、分類討論、化歸轉化、方程、模型構建等思想，這些數學思想才是解題的精髓所在. 雖然對于學生而言，數學思想較為抽象，但解法探究中依然需要立足考題，滲透數學思想，讓學生體驗數學思想解題的過程，逐步感悟思想方法的內涵，提升學生的數學素養.