例談綜合題的解法

史玨爾

【摘要】綜合題一般由一個較為復雜的圖形和幾個基本問題有機組合在一起的題目，它涉及到數學中較多的數學知識，并蘊涵著一定的數學思想方法。首先要會分解圖形，尋找到解綜合題的突破口，在此基礎上利用圖形的直觀性進行聯想、猜想、驗證與篩選，獲得解題方法的信息，然后利用綜合和分析的思維方法找到解題的方法，并結合各種數學思想方法和添加輔助線，使問題得到順利解決。

【關鍵詞】思維方法 ?數學思想方法 ? 直觀性 ?輔助線

綜合題是涉及數學中較多的數學知識的題目。一般的綜合題是由幾個基本問題有機地組合在一起，并蘊涵著一定的常見的數學思想方法。所以，在解綜合題時，只要分清題目的結構，把綜合性的問題，分解為若干個基本問題，同時注意運用數學思想方法，就能解答好。

一、分析圖形的結構。

1、綜合題往往有一個較為復雜的圖形。實際上，這種圖形往往是幾個常見的基本圖形有機地組合在一起。而學生要解答好綜合題，首先要會分解圖形，然后，從基本圖形著手，尋找到解綜合題的突破口。

例1 ? 已知：在⊿ABC中，AD為∠BAC的角平分向，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD與點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，FE：FD= 4：3。

求證：AF=DF;（2）求∠AED的余弦值;（3）如果BD=10，求⊿ABC的面

分析 ? 本題的圖形是曲直混合的圖形，所以顯得比價復雜。在此圖中，我們可以通過把EF⊥AD，和∠DAE=∠ADE的組合，分解出一個等腰三角形的三線合一的基本圖形。把∠B=∠CAE和∠AEB是公共角這兩個條件組合起來，又可以分解出⊿ABE∽⊿CAE。另外，我們還可以找到勾股定理，割線定理的基本圖形。從而為解決本題奠定基礎。

2、有些綜合題的條件看上去是獨立的，實際上，這些條件可以互相聯系，把這些圖形和已知條件組合起來，可以得出新的結論。甚至，有些圖形和已知條件是散亂的，可以通過添加適當的輔助線，使散亂的條件相對集中，進而推出一個新的結論。

在本題中可以看出，圖形和已知條件的分解和組合，是相互依存和相互聯系的。通過這種分解和組合，可以使一個復雜的綜合題，轉化為幾個典型的基本問題。

二、用綜合和分析的思維方法。

根據已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后得到待證結論或所求問題的思維過程叫綜合法。簡單地說根據原有的已知條件，都能推出哪些結論。從待證結論結論或需求問題出發，進行探索，最后達到題設的已知條件，這樣的思維過程叫做分析法。

一個綜合題的思考方法，往往是分析法和綜合法的組合。這是把綜合題分解為基本問題以后的主要分析方法。例如，例1中的第一小題，我們可以作以下分析，找到解題方法。

（1）若證AF=DF，因為EF⊥AD，所以聯想等腰三角形三線合一性質，先證明AE=DE。

（2）若證AE=DE，聯想等腰三角形的判定，先證∠DAE=∠ADE。

（3）若證∠DAE=∠ADE，則因為∠DAE=∠DAC+∠EAC，∠ADE=∠B+∠BAD，根據已知條件，問題已經獲證。

三、用圖形的直觀性，進行聯想、猜想、驗證與篩選。

綜合題沒有固定的解題程序，而需要根據題目的不同已知條件，不同的圖形進行分解和組合。然后，在此基礎上進行廣泛的聯想、試探性的分析，進行多次實驗、篩選。特別是利用圖形的直觀性，進行大膽地猜想，獲得解題方法的信息。

例2 ?⊙O1和⊙O2相交于A、B，且AB⊙O1是的直徑，過點B作⊙O1的切線，交于點C，連結AC，交⊙O1于點D，連結并延長BD，交⊙O2于點E。設⊙O1的半徑為3，⊙O2的半徑為5。（1）求 切線CB的長。（2）若點F在直線CE上運動（與點C、點E不重合0，連結并延長FD交于另一點G，連結并延長AG交CB的延長線于點H，設CF=x，BH=y，求y與x的函數關系式。

分析 ?在本題中，既有曲直混合，又有兩個圓的疊加，是一個比較復雜的集合圖形。要解決第二個問題就首先憑經驗進行合理的猜想：要求y與x的函數關系式，它的依據是相似三角形的對應邊成比例。然后，重要找三角形相似呢？我們先找x和y所在的三角形，用圖形的直觀性觀察這兩個三角形是否可能相似。例如，y所在的是直角三角形ABH，與x所在的三角形不一定相似。我們可以先看CH所在的⊿ACH和x所在的⊿DFC是否可能相似。從圖形上來看，這兩個三角形可能會相似，這就是利用圖形的直觀性提供了解題的方法和信息。接下去，我們再去尋找證明⊿ACH和⊿DFC相似的條件。

利用圖形的直觀性，進行合理的猜想，在解幾何題中非常重要，它為解題指明的方向。

四、用各種思想方法

初中的數學思想方法主要有，轉化思想、方程思想、函數思想、數形結合思想、分類討論思想等。

例如，在例1中，我們不妨設EF=4x，則FD=3x，由勾股定理得，DE=5x。

∴AE=DE=5x，AF=FD=3x。在⊿CAE和⊿ABE中，∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA，

∴⊿CAE∽⊿ABE。∴ 。∴AE2=BE·CE。∴（5x）2=（10+5 x）· x。解得x=2。

∴AN= x= ，BC=BD+DC=15。∴S⊿= BC··AN=72。

又如在例2中，求y與x的函數關系式。在運動變化過程中，變量BH和CF之間互相影響，互相制約，互相依存的，它們之間存在著一定的數量關系，把這種數量關系刻畫出來，就運用了函數思想。

在以上兩種解決幾何問題時，一定要仔細觀察圖形，充分利用圖形中所提供的數量關系，常見的有相似三角形的性質、勾股定理等等，引入適當的未知數來表達這些數量關系，從而建立方程（組）或函數關系式。

許多綜合題中，運用數形結合的思想又是很重要的方法。在以上兩例中，我們可以通過“數”來了解圖形的形狀，通過“形”來發現不同變量之間的數量關系，從而使問題得到解決。實際上，如果所求問題是屬于“數”的范疇，則往往轉化為依據“形”的性質來列方程（組）或列函數關系式來解決。如果所求問題是屬于“形”的范疇，則往往通過“數”來解決。如上面兩例。

二、常見輔助線的作法。

1、在三角形中，常見的輔助線是往往通過連結、延長作平行線、垂線這些手段，來達到三角形的對稱變換、平移變換、旋轉變換，使散亂的條件組合起來。

（1）已知條件中有角平分線時，有以下幾中基本圖形。

3、在證明線段的和、差時，可以通過截長補短;在證明線段的倍半時，可以通過延倍折半。

4、在圓中常見的輔助線是作弦心距、畫直徑所對的圓周角、過切點作圓的半徑等等。

總之，在作輔助線時，作平行線或垂線，連結、延長是最常見的有效手段。

六、正確理解同一圖形的元素在不同背景下的角色，使問題順利解決。

現在的幾何代數綜合題的圖形往往是曲直混合，又有坐標作為背景，同一的圖形的元素，往往在不同的圖形背景里有不同的理解。如下例。

如圖，O是CAE平分線上的一點，以點O為圓心的圓和CAE的兩邊分別交于點B、C和D、E，連結BD，CE。求證：BC=DE。

在實際教學過程中，許多同學沒有聯想到角平分線的性質，而是在考慮三角形全等。正確的方法是聯想角平分線的性質，過點O作OE⊥BC于E，過OF⊥DE于F。同時，OE=OF的長對CAE來說，是角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，但是，對O來說，是兩條弦心距相等。我們正確認識到OE、OF在不同背景下的角色，才能使問題順利解決。

總之，綜合題涉及了代數和幾何各個領域的知識點，不可避免地要使不同領域的知識互相轉換，尋找不同領域的知識的聯結點，使問題在轉化過程中解決。這里又包含了轉化思想。