廣泛地獲取，方可深度地“教”與“學”

周爾翔

【摘要】

所謂“廣泛地獲取”是指從多方位進行對比后獲取教學方式，用多種形式獲取對概念的理解.“深度地教學”則是指不僅要得到教學結論，而且要在教學過程中注重教學內容本質.要想做到深度地“教”與“學”，就要做到教學用具的廣泛獲取，教學生成的廣泛獲取，概念表象的廣泛獲取.

【關鍵詞】小學數學;深度教學;概念教學;平行與垂直

“平行與垂直”是小學數學人教版四年級上冊第五單元中的內容，它是建立在學生認識了線段、直線和射線的特點，初步認識了平行四邊形，學習了角的度量的基礎上進行教學的，并為繼續深入學習平行四邊形與梯形的本質特征做鋪墊.本節課建立了同一平面內直線與直線之間的關系，是由線向平面圖形延伸的關鍵一步.

筆者連續兩次教授四年級數學課程，對“平行與垂直”的內容進行了多次的教學嘗試，力求最大限度地直指教學內容的本質.每次嘗試又會暴露新的問題，前后兩次的呈現方式有較大調整，主要體現在教材的使用、學生生成、概念的理解上.筆者用開放的心態廣泛獲取、操作，以確保學習真正發生.

無論如何呈現本節課，都具有統一的學習目標：認識同一平面內兩條直線特殊的位置關系;初步認識垂線和平行線;體驗分類研究的方法.針對共同的學習目標，筆者在教學前后進行了下列調整：

一、教學用具的廣泛獲取，教材的深度使用

從一條直線拓展至兩條直線，便是由線至面、由一維至二維的過程.小學數學由于學生思維能力和抽象能力不強，只研究同一平面內直線的關系.即便如此學生的想象力也不一定是足夠的，而如何讓學生在紙面上呈現這些生成至關重要.

筆者在第一年教學中采用人教版教材，使用白紙作為畫圖載體，預設了四種情形，但多次嘗試后面臨著生成不完整、不準確的情況：

（1）學生在白紙上作圖很難出現①號與④號，甚至在一次試教中幾乎全部都是②號;

（2）出現的②號與③號由于不規范作圖，只是近似平行與垂直.

學生的單一生成說明以下問題：

（1）學生對生活中出現的平行與垂直擁有直觀感受，并且能抽象地表示出來;

（2）學生不理解平行與垂直的本質，因此出現作圖不規范的問題.

筆者在第二年教學中，為了使生成種類更多，學生作圖更加規范，將人教版與北師大版教材內容進行了對比，以尋求最合適的教學用具.

通過對比，筆者發現人教版教材在新授時使用白紙，在后面練習中借助了點陣，而北師大版教材前后比較統一，都借助了方格紙.通過多次研究，筆者最終選擇了點陣，并且對原有的前后左右間距相同的點陣加以改良，使行與列的寬度不一致，原因如下：

（1）點陣與方格紙都可使作圖規范化，作圖過程中便直指平行與垂直本質，為后續教學做鋪墊;

（2）方格紙的導向過強，直接指向平行與垂直兩種情形.北師大版教材在“平行”前一課時“垂直與相交”中也沒有使用方格紙;

（3）調整行與列的寬度是為了生成①號.

在點陣的使用中，①號、②號、③號都能順利生成，④號這一生成難點則在下文操作中加以突破.教學過程中教學用具的選擇是教學內容本質是否能被體現的有力保障.教材中會給予許多有用的參考，有時是在新課中，有時是在練習中，有時又是在不同版本的教材中.只有通過教學用具的廣泛獲取與對比，才能深度使用教材，才能做到有深度地“教”與“學”.

二、教學生成的廣泛獲取，學習的深度發生

前期教學中，不僅④號生成的次數過少，而且陸續出現了各種不一樣的形式.學生的想象力很豐富，遠遠超過筆者的預設數量，但這使得筆者不得不做以下思考：

（1）④號難以生成的原因除去本身是難點之外，更重要的是學生個體的思維沒有打開.通過學生的生成，筆者發現大部分學生畫完平行與垂直兩組之后便不再思考.由于教學用具的改進，①號也有部分呈現，筆者需要思考的是如何讓④號順利生成;

（2）學生生成的樣式很多，筆者在第一年的教學中，從學生的生成里選取了①②③④，而在第二年教學中，筆者力主更開放的心態，呈現了學生的所有生成，但⑧與⑩屬于重合，“兩條直線重合，既不是相交，也不是平行，而是同一平面內兩條直線位置關系的第三種情況”，這反而增加了教學的難度，因此學生的生成是否全部獲取值得斟酌.

在多次嘗試的基礎上，力求解決上述問題，筆者在第二年教學進行了以下調整：

（1）給予學生充分的畫圖時間，并要求學生盡可能畫出多種形式.教師要充分發揮主導作用，在學生作圖過程中相機鼓勵學生開拓思維，畫出更多形式.在這樣的調整下，學生的思維活躍起來了，學生的生成豐富起來了，④號的生成這一難點也得以解決;

（2）分類的研究依舊建立在①②③④的基礎上，但是學生的生成被廣泛獲取.筆者使用磁性小棒將學生不同種類的生成粘貼在板書上，并鼓勵學生盡可能去想象.在課尾集中區分判斷，“重合”這一現象在小學中不加以強調，只描述為“特殊情形”，著重引導學生將關注點放到非重合情形中.教師通過這一系列教學過程，既盡可能地獲取了學生的所有生成，又再度活躍了學生的思維.圖形與幾何的教學務必要通過空間想象來培養學生的空間觀念.

三、概念表象的廣泛獲取，關系的深度挖掘

概念的深刻理解往往取決于表象的準確建立.學生在生活中已經初步建立了平行與垂直的表象，但不夠準確.表象的建立不能僅僅結合課件來想象，更要借助實物與已有經驗.

1.概念表象的靜態建立

沒有“同一平面內”這一條件，兩條直線的位置關系會更加復雜.這一條件可以保障學生循序漸進地進行研究.生活中直線間的位置關系在同面與異面都大量存在，因此建立這一先決條件顯得尤為必要.

學生已初步具有平行與垂直的表象，教師在概念學習前與學習后都要積極調動學生的已有經驗.教師在概念學習后的舉例要較為廣泛，要體現生活中處處有平行與垂直的現象.

筆者在第一年的教學中使用課件進行演示，并要求學生進行判斷;直接提出“同一平面內”這一前提，并讓學生舉例生活中平行與垂直的現象，進一步標準化地建立表象.

筆者在第二年的研究中明確了表象的獲取與建立應更有層次，更加廣泛.筆者建立“同一平面內”這個前提條件經歷了以下教學活動：

教師要引導學生從可觸碰、操作的生活物品進行研究，再對自身環境進行觀察探究，進而轉向外部空間進行回憶想象，最后對課件中的圖形進行想象判斷，從而確保學生打開思維，自由想象.

平行與垂直現象在生活中是靜態呈現的，但教師的“教”與學生的“學”是動態的.有意識地廣泛獲取表象，有意識地分層次、多角度建立表象，體現了“教”與“學”的深度.

2.概念的動態聯結與區分

概念的動態聯結與區分是筆者在第二年新增的教學環節，旨在使用更本質的方式建立概念之間的聯系與區別，從而實現更有深度地“教”與“學”.筆者對呈現方式進行了廣泛選取，最終確定了以下方式.

（1）概念的動態聯結

第一年的反饋中顯示了學生對本知識點的掌握情況可通過以下判斷題來說明：

同一平面內，兩條直線不平行，就會垂直.（? ）

同一平面內，兩條直線不相交，就會平行.（? ）

身為讀者的你是否也感到迷惑，教學中我們過度用力地建立“平行”與“垂直”的這兩種特殊情況的概念與區別，形成了一種負遷移（一種數學知識技能的學習對另一種數學知識技能學習的干擾），忽略了對“相交”這一不特殊情況的分析.或許有人覺得相交很簡單，但事實證明這確實是學生難以區分的難點，學生的困惑正是教學設計出發的地方.靜態表象的建立不足以說明“平行”“相交”“垂直”三者之間錯綜復雜的關系，這一關系既要深刻挖掘，又要簡要呈現.史寧中教授提出，不妨嘗試在講完平移后，教師直接告訴學生：通過平移一條直線而得到了另一條直線，這兩條直線平行.

為了聯結各概念，筆者設計以下環節：

同一平面內兩條普通相交的直線，旋轉其中一條使二者垂直，繼續旋轉二者重合，最后通過平移使二者平行，凸出“平行線間距離處處相等”這一本質.“平行”“相交”“垂直”三者通過圖形的運動串聯起來了.

（2）概念的準確區分

圖形的運動不僅可以串聯“平行”“相交”“垂直”，而且可以比較清晰地區分三者，但是準確地區分還需要一個非此即彼的結論，文氏圖是最優的選擇.文氏圖的直觀表征充分揭示三個概念之間的關系：垂直屬于相交，相交就不平行.

若要保證教學的深度，就要保證獲取的廣度.一節有深度的數學課，必然是教學用具的廣泛獲取、教學生成的廣泛獲取以及概念表象的廣泛獲取.

【參考文獻】

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]李光樹.小學數學學習論[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]史寧中.例說小學數學中的幾何直觀：幾何直觀與小學數學教學（下）[J].小學教學（數學版），2017（10）：4-7.