談數學教學中創新思維培養之實踐

劉杰 譚忠

【摘要】數學教學要培養學生具有初步的創新精神和實踐能力，使學生在情感態度和一般能力方面都得到充分的發展.數學教學中培養學生的逆向思維能力、發散性思維能力、歸納演繹思維能力，對于學生創造力的養成有顯著作用.本文從數學教學的若干問題淺析如何培養學生的創新思維能力.

【關鍵詞】創新思維;一題多變;一題多解

引言

新課程改革以來，每年的統考、中考中出現了許多立意新穎的創新性試題.這類試題的出現說明以前“填鴨式”“滿堂灌”的傳統教學方法不再適用，教師應轉變教學觀念，努力營造一個自然、和諧、輕松的教學環境，為激活學生的思維能力和創造能力提供良好條件.作為教師，要認真領會新課標的核心理念——創新.在課堂教學中，教師要以培養學生的創新意識和探索能力為目標.根據實際的教學實踐，本文將從以下幾方面談談在課堂教學中如何培養學生的創新能力.

一、問題解決需要逆向思維

逆向思維是一種重要的思考能力，其對于學生的創造能力具有非常重大的意義.數學問題的順利解答需要學生具備一定的逆向思維能力.那么教師在平時教學中就應經常把思考幾何問題的方法和思路以明顯的方式呈現出來，或者通過設問的方式引導學生從什么角度思考.例如平行四邊形求解中有這樣的試題.

例1（廣東廣州）如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F為AD的中點，CE⊥AB于E，設∠ABC=α（60°≤α<90°）.

（1）當α=60°時，求CE的長.

（2）當60°<α<90°時，

①是否存在正整數k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值;若不存在，請說明理由.

②連接CF，當CE2-CF2取最大值時，求tan∠DCF的值.

解析（1）利用60°角的正弦值列式計算即可得解.

（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角角邊”證明△AFG和△CFD全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質可得∠AEF=∠G=∠AFG，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解.

②設BE=x，在思考的過程中需要逆向思考，如求tan∠DCF的值，首先要求出CE2-CF2取最大值，然后才能求出tan∠DCF的值.在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據二次函數的最值問題解答.

解（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=CEBC，

即sin60°=CE10=32，解得CE=53.

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF.理由如下：

連接CF并延長交BA的延長線于點G，如圖2所示.

∵F為AD的中點，∴AF=FD.

在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF.

在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF，AF=FD，∠AFG=∠DFC，

∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD.

∵CE⊥AB，∴EF=GF，∴∠AEF=∠G.

∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，

∴AG=5，AF=12AD=12BC=5，∴AG=AF，

∴∠AFG=∠G.

在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整數k=3，使得∠EFD=3∠AEF.

②設BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2.

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x.

∵CF=GF（①中已證），

∴CF2=12CG2=14CG2=14（200-20x）=50-5x，

∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-x-522+50+254.

∴當x=52，即點E是AB的中點時，CE2-CF2取最大值.

此時，EG=10-x=10-52=152，

CE=100-x2=100-254=5152，

∴tan∠DCF=tan∠G=CEEG=5152152=153.

例2如圖3所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，當直角三角板MPN的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經過點A，設直角三角板的另一直角邊PN與CD交于點Q，設BP=x，CQ=y，則y關于x的函數圖像大致是（）.

分析從四個選項可知：y與x之間一定存在函數關系，y與x之間一定可通過三角形全等或相似等建立聯系.這就需要逆向考慮問題.

解從圖可知：△ABP∽△PCQ，則有ABPC=BPQC，

從而46-x=xy，y=14x（6-x）=-14x2+32x.

∵y是x的二次函數，它的圖像不是直線，

∴選項A、B錯誤.

∵當x=3時，y=94，

∴從而可判斷選項C錯誤，選項D正確.

幾何證明題和解答題幾乎都要運用反推的方法得解，那么逆向思維能力就顯得特別重要.教師在教學中要有意識地引導學生這樣來思考，進而養成逆向思維能力.

二、一題多解（變）需要發散性思維

在教學中，教師應結合教材內容，從新知與舊知、本類與它類、縱向與橫向等方面引導學生展開聯想，弄清知識之間的聯系，以拓寬學生的知識面，開拓學生的思維，從而培養思維的廣闊性和創新性.例如在學習三角形內角和定理、外角的性質時，設計了這樣一個習題.

例3如圖4所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，試判斷∠A和∠D的關系.

分析先引導學生從問題出發，思考∠A和∠D應怎樣聯系起來.我們看到兩個三角形，即△ABC和△BCD，并且這兩個三角形的其他兩個角是平分關系的，因此結合三角形內角和定理和角平分線的性質可以解出.

解∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

即∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）.

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），

∴∠DBC+∠DCB=12（180°-∠A）.

在△BCD中，∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，

∴∠D+12（180°-∠A）=180°.

化簡得∠D=12×180°+12∠A=90°+12∠A.

學習了外角的性質后，題目改為：

[例3變式一]如圖5所示，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACM，試判斷∠A和∠D的關系.

分析相對于原題，這里改變的是內角平分線變為外角平分線，那么我們是不是從外角的性質考慮∠A和∠D的關系更加簡便呢？這是肯定的.外角的性質定理：三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和.結合外角性質定理和角平分線性質可以找出∠A和∠D的關系.

解∵BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACM，

∴∠DBC=12∠ABC，∠DCM=12∠ACM.

∵∠ACM是△ABC的外角，∠DCM是△BCD的外角，

∴∠ACM=∠A+∠ABC，∠DCM=∠D+∠DBC，

∴12（∠A+∠ABC）=∠DCM=∠D+∠DBC，

12∠A+12∠ABC=∠D+∠DBC=∠D+12∠ABC，

∴12∠A=∠D.

[例3變式二]如圖6所示，BD平分外角∠NBC，CD平分外角∠BCM，試判斷∠A和∠D的關系.

這樣改變條件后，解題涉及的知識點就更加綜合了，包括三角形內角和定理、外角的性質定理和角平分線的性質.一題多變，對于學生思維的廣闊性和創新性的養成很有好處，教師在日常教學設計中要多思考，適當改變條件，給學生更加靈活的課堂內容.

圖7

例4如圖7所示，在平面直角坐標系中，點A（6，0），點B（0，2），點P是直線y=-x-1上一點，且∠ABP=45°，則點P的坐標是.

分析此題要求出點P的坐標，就必須求出直線BP的表達式，然后聯立直線y=-x-1，從而求出點P的坐標.

現在已知點B坐標，因此必須求出直線BP另一點坐標或者求出直線BP的斜率.下面的思考就是利用已知條件和已掌握的知識入手，要進行創造性思維，那就是要作輔導線，構造三角形全等或相似等，從而獲得另一點坐標或求出直線BP的斜率.

解法一如圖8所示，過點A作AC⊥AB，交PB于C，則由∠ABP=45°，得△ABC為等腰直角三角形.

再過點A作直線MN∥y軸，作BM⊥MN交于點M，作CN⊥MN交于點N.

∵點A（6，0），點B（0，2），

∴BM=OA=6，AM=OB=2.

∵∠ABM+∠BAM=90°，

且∠CAN+∠BAM=90°，

∴∠CAN=∠BAM.

∵∠M=∠N=90°，∴△ABM≌△CAN.

∵CN=AM=2，AN=BM=6，

∴C（4，-6），B（0，2）.

設直線BC的表達式為y=kx+b，將B，C兩點代入，

∴-6=4k+b，2=b，

解得k=-2，b=2.

得直線BC表達式為y=-2x+2，

聯立y=-x-1，解得x=3，y=-4，

∴P（3，-4）.

解法二如圖9所示，過點B作BC⊥AB，截取點C，使得BC=AB，CD⊥y軸于點D，連接AC，交BP于點M，則BM是等腰三角形ABC底邊上的中線，△ABO≌△BCD，從而CD=BO=2，BD=OA=6，OD=6-2=4，則C點坐標（-2，-4）.

∵M是AC的中點，

∴M點坐標（2，-2）.

設直線BP表達式為y=kx+b，

∴-2=2k+b，2=b，解得k=-2，b=2.

直線BP表達式為y=-2x+2，聯立y=-x-1，

解得x=3，y=-4.∴P（3，-4）.

解法三如圖10所示，過點B作BC⊥AB，在BC截取點C使得BC=AB.

作CD⊥y軸于點D，連接AC交BP于點M，

則BM是等腰三角形ABC底邊上的中線.

△ABO≌△BCD，從而

CD=BO=2，

BD=OA=6，

∴C點坐標（-2，-4），

∴直線AC的斜率

kAC=yA-yCxA-xC=0-（-4）6-（-2）

=48=12.

∵直線AC⊥直線BP，

∴kAC×kBP=-1，

∴kBP=-2，從而得直線BP表達式為y=-2x+2.

聯立y=-x-1，解得x=3，y=-4，

∴P（3，-4）.

此題還有多種解法，大家可去研究.

三、特殊到一般需要歸納演繹

歸納思維是一種重要的邏輯推理形式.完全歸納推理可以論證創新成果，不完全歸納推理可以產生新猜想，實現新創造.歸納與演繹辯證思維方法是培養創新性思維能力的基本方法，數學教學研究應積極探索如何建立一種旨在培養學生創新性思維能力的模式.幾何教學中經常存在著需要歸納與演繹的過程得出結論的例子.

例5如圖11所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=75°，求∠D.若∠A=60°，120°，135°，n時，∠D的大小呢？

分析∠D的大小與∠DCB+∠DBC的和有關，而∠A決定了∠DCB+∠DBC的大小.用數學式子表示出來，看看有什么聯系.

解在△ABC中，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，

∠ACB+∠ABC=180°-∠A=180°-75°=105°.

在△BCD中，∠DCB+∠DBC+∠D=180°，

∠D=180°-（∠DCB+∠DBC）=180°-12（∠ACB+∠ABC）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A=127.5°.

分別求出當∠A=60°，75°，120°，135°，n時，∠D的度數.解題過程中發現∠D=180°-（∠DCB+∠DBC）=180°-12（∠ACB+∠ABC）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A.

故當∠A=n時，∠D=90°+n2.從這個問題的結論來看，∠D的大小與兩個因素有關：∠A和被幾等分，因此，可從另一個方面改變題目的條件.

[例5變式]如圖12所示，BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，∠A=75°，求∠E和∠F.若被四等分呢？

分析∠E和∠F的大小與三角形的其他兩個角之和有關，根據三角形內角和定理就可以解答了.

解

∠E=180°-13（∠ABC+∠ACB）

=180°-13（180°-∠A）

=23×180°+13∠A.

∠F=180°-23（∠ABC+∠ACB）

=180°-23（180°-∠A）

=13×180°+23∠A.

觀察答案的規律，是否可以猜想：當∠ABC和∠ACB被n等

分時，形成的n-1個角，由下至上第i個角∠Ei=n-in×180°+in·∠A.猜想正確嗎？怎么驗證呢？有同學說可以設n=8，i=5的特例來驗證.

總之，數學問題變化無窮、生動活潑，新穎且有創新，條件復雜，結論不定，解法靈活.數學問題無現成模式可套用，教師應消除學生模仿、死記解題的習慣，讓學生運用多種思維方法，通過多角度的觀察、想象、分析、綜合、類比、歸納、概括等創造思維尋求多樣性的解題方法.以上僅僅是個人的一點教學心得，有不完善的地方還需要在今后的教學中不斷探索、實踐、總結，但我們的教學目標是堅定的，為培養創造型人才而努力.

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