高等數(shù)學(xué)建模思想與大學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維養(yǎng)成實踐研究

摘要：高等數(shù)學(xué)教育改革要圍繞素質(zhì)教育實踐，著力從數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)上來增強(qiáng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和能力。數(shù)學(xué)建模思想和建模方法是培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的有效途徑，也是當(dāng)前高等教育人才培養(yǎng)的重要方向。本文將從數(shù)學(xué)建模競賽的益處入手，就高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)的必要性進(jìn)行闡述，特別是從教育方法、教育理念及教育手段創(chuàng)新上，豐富高等數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，增強(qiáng)大學(xué)生對高等數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；建模思想；大學(xué)生；創(chuàng)新思維；教學(xué)應(yīng)用

中圖分類號：O1-0 文獻(xiàn)識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）019-000-02

素質(zhì)教育將創(chuàng)新思維培養(yǎng)作為高等教育的首要任務(wù)，高等數(shù)學(xué)作為素質(zhì)教育改革的重要內(nèi)容，迫切需要從大學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)上，強(qiáng)化大學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用和實踐。數(shù)學(xué)建模思想已經(jīng)成為當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革重點，本文將從數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)應(yīng)用著手，從具體數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中來提升大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

一、數(shù)學(xué)建模思想與大學(xué)生創(chuàng)新思維的養(yǎng)成

（一）數(shù)學(xué)建模思想對數(shù)學(xué)知識實踐性教學(xué)提供基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的有效途徑。將建模思想與數(shù)學(xué)應(yīng)用相統(tǒng)一，從問題中來創(chuàng)設(shè)解決思路。如概率論和數(shù)理統(tǒng)計，主要從隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性上來探討數(shù)學(xué)應(yīng)用。作為理工類基礎(chǔ)課程之一，其特點是與具體工程行業(yè)發(fā)展相結(jié)合，利用數(shù)學(xué)建模思想來分析實際問題。再如線性代數(shù)和微積分，這些課程對于數(shù)學(xué)建模能力要求不高，但對于線性代數(shù)的應(yīng)用，可以從其知識點共性上來加強(qiáng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維意識的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)知識與工程技術(shù)學(xué)科、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)等都有滲透，特別是對于學(xué)科實際問題，從數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科的交叉中來建立數(shù)學(xué)模型，探究問題的解決路徑。數(shù)學(xué)建模過程是創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的有效方式，從數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)新思維研究中，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，多體現(xiàn)在抽象理論的運算，而往往忽視數(shù)學(xué)知識的實踐性。高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模課程的開展，為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用創(chuàng)造了條件，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)功用，提升大學(xué)生勇于探索的數(shù)學(xué)精神。

（二）數(shù)學(xué)建模思想與創(chuàng)新思維的關(guān)系

創(chuàng)新思維是廣大大學(xué)生最缺乏訓(xùn)練的科學(xué)思維，在大學(xué)數(shù)學(xué)與建模思想應(yīng)用中，對于傳統(tǒng)的教學(xué)，多停留在教師的講解與學(xué)生的聽與背，對于數(shù)學(xué)知識所涵蓋的科學(xué)思維則缺乏思考。數(shù)學(xué)建模將創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)問題作為前提，利用數(shù)學(xué)方法來多角度的觀察和分析實際問題，特別是從數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中，發(fā)揮數(shù)學(xué)知識在解決實際問題中的作用。如對高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論知識，如何去理解概率的概念，倘若直接給出概率的定義和公式，對于學(xué)生在理解樣本點、樣本空間等概念時將面臨與實際相脫節(jié)的尷尬。為此，在教學(xué)中可以從隨機(jī)試驗范例描述中，針對可能發(fā)生的隨機(jī)事件來找出事件間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生從事件的組合與運算中來理解數(shù)學(xué)建模思維過程，抓住基本事件的本質(zhì)，并能夠從數(shù)學(xué)模型中來進(jìn)行表達(dá)，突出實際問題到抽象概念間的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成在于對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識的運用，教師要能夠從數(shù)學(xué)問題中來多提問題，鼓勵學(xué)生從數(shù)學(xué)模型中來探究數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，特別是從課題探討、動手實踐中，運用數(shù)學(xué)知識來建構(gòu)學(xué)科問題，從自由思考、廣泛交流、深入探究中提出見解，增強(qiáng)思維群體間的碰撞與啟發(fā)，以挖掘和調(diào)動廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和潛能。

二、數(shù)學(xué)建模與大學(xué)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用是廣泛的，如結(jié)合當(dāng)前購房還貸問題，我們可以從差分方程的應(yīng)用中來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。假設(shè)某同學(xué)要購買房子，依照按揭貸款要求，如何從數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中來探究各變量間的關(guān)系。假設(shè)第n月欠銀行款為An，第n-1個月欠款結(jié)余為An-1，利息額為An-1（1+r），本月還款為x，還欠銀行款為An-1（1+r）-x。當(dāng)學(xué)生在第n月還款之后還剩欠款為An時，則An應(yīng)該滿足上次還款欠款余額An-1與上次還款利息An-1r的和，再與本月還款x作差，即可得到購房還款數(shù)學(xué)模型。記作：

從上述差分方程的建模過程來看，利用建 模思想來圍繞現(xiàn)實購房問題展開數(shù)學(xué)分析，有助于我們從中來細(xì)化各變量間的關(guān)系，從而更好的幫助我們處理現(xiàn)實問題。同樣道理，利用差分方程，還可以從數(shù)列{3，54，10，33，......}中來解決第五個數(shù)字是多少。我們從數(shù)列的各項數(shù)值關(guān)系來分析，第一項3與第二項4之間的關(guān)系可以記作：4=1×3+1；第三項可以記作：10=2×4+2；第四項可以記作：33=3×10+3；那么第五項則可以記作：136=4×33+4。對于本題在解決過程中，利用建模思想，可以得到An=（n-1）（An-1+1），n=2，3，...，N；可見，對于本模型在實踐應(yīng)用中能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察與分析能力。

同樣道理，高等數(shù)學(xué)中的定積分知識的應(yīng)用，在生活中也較為常見。如我們在對易拉罐進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計時，通過讓同學(xué)們觀察易拉罐的整體結(jié)構(gòu)，從實物的觀察中來增強(qiáng)學(xué)生對定積分的認(rèn)知和理解，特別是從易拉罐自身正圓柱體結(jié)構(gòu)，應(yīng)該從那些變量及參數(shù)優(yōu)化上，來獲得總體積為330ml。因此，需要從易拉罐的形狀及結(jié)構(gòu)分析上，從圓柱的半徑與高之間的比值之間來優(yōu)化表面積S，以滿足體積要求。根據(jù)圓柱體表面積S的求解方法，我們可以記作S（r，h）=2πrh+πr2=2π[r2+rh]，對于圓柱體的體積V可以記作：V=πr2h，而h=V/πr2。通過上述分析，利用數(shù)學(xué)建模思想來探究易拉罐的數(shù)學(xué)模型，可以從如下目標(biāo)函數(shù)的表示中來獲得：。對于式中的S表示為目標(biāo)函數(shù)，而對于，則是對本模型的約束條件，也就是說，在易拉罐體積恒定且已知條件下，滿足該易拉罐體積最小所對應(yīng)的圓柱半徑r和圓柱高h(yuǎn)的值。通過對易拉罐最優(yōu)化設(shè)計，讓學(xué)生能夠從生活中來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，運用數(shù)學(xué)思維來研究實際問題，特別是在數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活聯(lián)系上，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模思想的運用，提升廣大學(xué)生對數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

從數(shù)學(xué)建模應(yīng)用來看，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論在教學(xué)中可以采用多種思維方式來滲透建模思想，從問題的發(fā)現(xiàn)與分析中，通過精心設(shè)計問題來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，利用已掌握的數(shù)學(xué)知識來展開探討，拓寬數(shù)學(xué)思維，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模在想象力培養(yǎng)中的積極作用。如泊松分布、二項分布、正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布等。針對這些分布特征，學(xué)生們在實踐探究中，往往難以理解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與概率分布類型之間的內(nèi)在關(guān)系。因此，我們從概率分布問題中來聯(lián)系實際，利用具體分布特征來探討各類隨機(jī)問題的變化情況。如對于泊松定理的學(xué)習(xí)，從該定理的證明來看，泊松分布可以看作是二項分布的極限表示方式，那么如何從隨機(jī)變量的表示上來幫助學(xué)生正確分析定理成立的條件。從極限表示來看，在 nPn=中，我們可以從二項分布中來獲得隨機(jī)變量的序列，與數(shù)列都是同階無窮小，當(dāng)n足夠大時，則P值最夠小，由此可以利用λ=np來對二項分布進(jìn)行概率統(tǒng)計計算。在判定概率出現(xiàn)次數(shù)較少時，我們稱之為“稀有事件”，則可以將二項分布近似看做是泊松分布。對于統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)與檢驗過程，任何猜想的驗證都需要從檢驗中來獲得。同樣，在泊松定理中，利用數(shù)學(xué)建模思想來提出假設(shè)，并從檢驗中來驗證。

對于概率學(xué)中的頻率穩(wěn)定性問題，可以從概率概念及頻率概念間的差異性上，借助于隨機(jī)變量來幫助學(xué)生們正確理解。以貝努里大數(shù)定律為例，對于任意的一個，當(dāng)時， 貝努里大數(shù)定律成立。從理論上來看，我們可以利用計算機(jī)軟件模擬蒲豐投針試驗，讓學(xué)生從軟件模擬中來理解該定理的特點。當(dāng)實驗次數(shù)n足夠大時，所獲得的頻率具有穩(wěn)定性，從而獲得頻率與概率之間的關(guān)系。同樣道理，在利用蒙特卡羅方法時，當(dāng)我們將確定性問題是由隨機(jī)模擬方法近似求解的話，很多學(xué)生更樂于從中來洞悉具體方法。如在工程實踐中，對于圓周率的估算，可以從蒙特卡羅方法中來近似計算；還有對于物理學(xué)中的核反應(yīng)堆屏蔽層問題，也可以從模擬近似方法中，利用模擬現(xiàn)實的隨機(jī)變量來進(jìn)行設(shè)計。可見，對于模擬理論的應(yīng)用，其依據(jù)是在貝努里大數(shù)定律的使用中，通過頻率來完成對概率的統(tǒng)計。在豐富的現(xiàn)實生活世界里，諸如此類的充滿趣味的數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用是廣泛的，利用數(shù)學(xué)建模思想來激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)樂趣，從中來鼓勵學(xué)生在資料查閱和動手實踐中來提升創(chuàng)新思維能力。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)模型是基于數(shù)學(xué)符號、公式及數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上，對現(xiàn)實本原型問題的描述和反映。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型應(yīng)用中，要從數(shù)學(xué)思想與實際問題的銜接上，從數(shù)學(xué)方法的滲透和運用中來解決實際問題。如在高等數(shù)學(xué)積分過程研究中，從不同解題方法或一題多解中來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模中來探究數(shù)學(xué)領(lǐng)域與其他行業(yè)學(xué)科知識的關(guān)系，嘗試用數(shù)學(xué)建模來激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題，提出新的見解和方法，在數(shù)學(xué)建模實踐中增強(qiáng)學(xué)生對創(chuàng)新思維能力的運用。

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作者簡介：張恩賓（1981-），男，漢族，河南封丘人，理學(xué)碩士，河南財政金融學(xué)院信息工程系，講師，研究方向：信息與計算科學(xué)。