網絡畫板在高中函數教學中的應用

尹潔 侯小華

摘? 要 以網絡畫板在“正弦函數的圖像”“導數的幾何意義”中的應用為例，說明合理使用網絡畫板的功能可以提高教學質量，幫助學生理解教學難點，并更好地吸引學生積極參與課堂的探索過程。

關鍵詞 網絡畫板;函數教學;高中數學;正弦函數;導數

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）13-0036-02

1 網絡畫板概述

網絡畫板是基于移動互聯網環境的專業數學教學平臺，為教師和學生提供一個操作的環境，讓數學真正動起來。通過互聯網，廣大教師在平臺上共享課件資源，并根據自己的教學需要重新編輯制作;學生也能夠利用網絡畫板進行自主探究，培養學習數學的興趣。

網絡畫板比超級畫板更精進，具有支持3D和多終端、成本低、方便共享、簡單易學等特點。網絡畫板官網的“在線幫助”中有詳細的視頻教程，供初學者借鑒學習。對于想學習的課件，在“資源”中搜索課件主題就能查閱到，再根據對象欄的制作順序學習制作。

網絡畫板具有廣泛而高效的功能：能夠計算長度、面積、傾斜角等，也可以自行輸入公式進行計算;能夠對對象進行追蹤或設置動畫，顯示對象的變化過程;能夠作出各種函數曲線;等等。網絡畫板下方還具有一系列按鈕組，如多邊形按鈕組、線線關系按鈕組、變換按鈕組等，可以根據不同需求進行選擇。此外，網絡畫板中有許多快捷鍵，在制作過程中更加省時，比如“Ctrl+H”可以將選中元素進行隱藏;“Shift+Enter”可以對參數和動作按鈕之間的距離進行調整，使得課件更加規整等。

2 網絡畫板在高中函數教學中的應用舉例

網絡畫板在“正弦函數的圖像”教學中的應用? 在“正弦函數的圖像”這一節內容中，教學的一個難點是為什么要用正弦線作正弦函數圖像[1]。在傳統教學中，教師為了達到教學目標，再加上教具的限制，容易產生一些問題：

1）略過教學難點，直接讓學生接觸“五點（作圖）法”，導致學生對正弦函數圖像的由來比較模糊[2]，不能從“形”上直觀感受由正弦線作正弦函數圖像的過程，導致對圖像認知不明確;

2）讓學生在一個函數周期內把區間[0，2π]平均分成八份或12份，再描點連線[3]，既耗費時間，也不能畫出準確的函數圖像，這是由于三角函數的特殊性，某些分點對應的三角函數值是無理數，無法精確作圖。

教師通過讓學生動手描點作圖，造成學生的認知沖突，因為學生發現有些三角函數值是無理數而難以準確取點，這個時候再引導學生回憶單位圓內的三角函數線的知識，他們就會想到利用正弦線、余弦線作正弦、余弦函數圖像。

教師利用網絡畫板繼續向學生展示圖1所示正弦函數圖像的形成過程，將單位圓分為12等份，每一等份圓所對應的弧度數即弧長為;∠ABC表示一等份圓所對應的弧度，點A繞圓心B逆時針旋轉m1弧度形成點D，所以∠ABD>0，弧AD的長就表示i等份的點所對應的弧度數m1;將弧AD的長m1作為橫坐標構造點F（m1，0）;點D對應的正弦線DE平移到點F的縱坐標產生點G（m1，sinm1）;

對點G設置軌跡并進行跟蹤，拉動變量i的進度條，顯示的跟蹤像和軌跡就是12等分圓的i等份弧度所產生正弦函數圖像的動態過程。改變n的值為更大，就可以由特殊擴展到一般，演示任意等分圓作正弦函數圖像的過程。

利用網絡畫板的軌跡、計算、旋轉、跟蹤功能，能夠將正弦曲線較為準確、直觀地展示出來，有利于學生從“形”上把握正弦函數圖像的形成過程，體會數形結合的思想，為學習正弦函數的性質作鋪墊。

網絡畫板在“導數的幾何意義”教學中的應用? 學生在高中第一次接觸極限思想，概念比較抽象，對導數的幾何意義理解不當，會直接影響函數單調性、函數最值以及極值等知識的學習。在“導數的幾何意義”這一節內容中，課標要求通過函數圖像直觀理解導數的幾何意義[4]。

傳統的教學利用教材和PPT觀察割線的變化趨勢，這種展示是靜態的，無法結合極限思想給學生帶來強烈的體驗，導致學生理解不深刻;單純學教材會讓學生產生厭倦情緒，失去探究的積極性。這歸根于教師沒有從運動變化的觀點出發設計教學[5]。

在教學中，教師先讓學生回憶導數的概念：函數y=f（x）

在x=x0處的瞬時變化率就是函數y=f（x）在x=x0處的導數，

即。再利用網絡畫板演示圖2所示課件，向學生提問割線斜率的表達式，引導學生用數學表達式表示點A處的切線斜率。點擊動畫按鈕“形”，學生就能清晰直觀地感受不同的割線AD從點A右側逼近切線的過程，也就是△x→0的過程。在這個過程中，m0→m1。

在演示過程中，教師口述：kAD→kA，kA就是函數在A點的瞬時變化率f′（xA），割線的極限是切線，而切線斜率的數學表示就是切點A的導數。然后用動作按鈕“數”來顯示導數的幾何意義推導過程，分別從“數”和“形”角度幫助學生理解導數的幾何意義。同理，可以制作由點A左側趨近切線的過程。另外，如圖3所示課件，引導學生通過觀察切點A附近不同割線與曲線關系的圖像，發現在點A附近，點A處的切線最貼近曲線f（x），因此，在點A附近，曲線f（x）就可以用過點A的切線kA近似代替，幫助學生領悟微積分中的以直代曲思想。

網絡畫板具有的動畫、跟蹤、測量等功能，為教師設計“導數的幾何意義”一節內容提供了新的教學思路。教師通過動畫和跟蹤圖像的演示，讓學生直觀地感受到割線無限逼近切線的動態過程，潛移默化地滲透極限思想和以直代曲思想。另外，通過網絡畫板作圖，有利于激發學生對導數概念的回憶，容易開展本節課的教學，進一步加深學生對知識的理解，使學生沉醉于探索的過程。

3 結語

網絡畫板給高中函數教學帶來諸多便利，不僅成為輔助教師教學的工具，最重要的是能吸引學生積極參與課堂探索，達成良好的師生互動，加深學生對知識的理解。網絡畫板豐富的功能和優勢，還需要廣大教師不斷探索，以期更好地應用于高中數學教學。

參考文獻

[1]章建躍.高中數學核心內容教學設計案例集 上冊[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]張全.高中數學三角函數的教學問題分析[J].中學數學，2018（7）：80-81.

[3]邱寧.“正弦函數的圖像和性質”教學設計[J].中學數學教學參考，2018（12）：21-25.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[5]馬麗娜.“導數的概念及其幾何意義”教學設計[J].中國數學教育，2019（8）：54-58，64.