一道測試題的答題情況引發的思考

【摘要】通過一道測試題在兩次測試的答題情況分析及題目解題思路的探求，反思我們平時教學，并由此提出若干高三數學復習備考建議。

【關鍵詞】測試? ?思考? ?具體解法? ?教學建議? ?問題支架

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）31-219-02

一、測試情況分析

測試題目：已知點P（x，y）為橢圓? ? ? +? ? ?=1上的任意一點，求x+y的最大值。

測試對象：筆者所在學校高三（8）全體學生，共49人。

測試結果分析：第一次測試時，此題作為選修4—4的選做題的大題第一問進行考查，結果全班49人中完全答對的有43人。而第二次測試時，此題作為選擇題進行考查，結果全班49人中答對的僅有11人，這當中還包括蒙對的。同一道題在不同的考試情境下進行測試，答題情況卻千差萬別，這值得我們深思。而當筆者在第二次測試后跟學生交流時，提及參數方法后，學生表現出很吃驚，普遍表示不在做選做題時想不到可以用參數去解題，究其原因在于學生解題的思維定勢。當該題放到選做題的位置，學生自然會想到用參數的方法去解決，問題迎刃而解。但當該題放到選擇題進行測試時，絕大部分學生就無所適從，他們不會想到用參數去解決。因此從這兩次答題的情況來看，不得不讓我們反思教學，尋找出現這樣的局面的真實原因和解決辦法。我們先來分析一下這道題的思維走向。

二、解題思路探求

（1）從所求式子的結構去思考

x+y是一個二元一次的線性結構，所以求x+y的最值可以聯想到線性規劃中在可行域下求線性目標函數的最值問題，而這里的可行域即為橢圓? ? ? +? ? ?=1上所有的點，所以當直線z=x+y與橢圓相切時，x+y取得最值。

具體解法：

x+y=z

聯立方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，將y=z-x代入消元并化簡得

+? ? ?=1

13x2-18zx+9z2-36=0.

令Δ=（18z）2-4×13×（9z2-36）=0，解得z=± 13.

所以x+y的最大值為 13 .

這種解法的本質就是線性規劃中在可行域下求線性目標函數的最值問題，第二次測試中做對的學生都是采用了這種方法。而沒有做對的學生中大多數認為線性規劃的可行域應該是不等式組，即有直線圍城的平面區域，所以看到橢圓根本不會往這種思路去思考問題。

（2）從函數的角度去思考

x+y中有兩個變量想x，y，而這兩個變量間存在著關系，所以可以將y轉換成x，這樣就相當于構造成有關自變量x的函數，再用函數求最值的方法求解。

具體解法：

由? ? ? +? ? ?=1，得y=±2? ? 1-? ? x2 ，所以x+y=x±2? 1-? ? x2，由于此題求x+y的最大值.

所以，令f（x）=x+y=x+2? 1-? ? x2 （0

f'（x）=1-

當00，即f（x）在區間（0，? ? ?）單調遞增.

當? ? ? ?

因此，當x=? ? ? ?時，f（x）取得最大值? 13? .

函數是高中學習的重點內容也是難點內容，通過建立函數模型來求最值是高中學習的一種常見的思維方式，很可惜并沒有學生想到這種方法。

（3）從橢圓的參數方程去思考

此題如果從參數方程去思考，就將求x+y的最大值轉化為求三角函數的最大值問題。

具體解法：

由橢圓的參數方程，可設x=3cosθ，y=2sinθ，

則x+y=3cosθ+2sinθ=? 13 sin（θ+ρ）

（其中sinρ=? ? ? ? ，cosρ=? ? ? ?）

因此，當 sin（θ+ρ）=1時，x+y的最大值為? 13? .

顯然這種解法更為簡單直接，這就是為什么此題放到選做題時答對率高的原故。

（4）利用極坐標進行轉化去思考

如果利用極坐標進行轉化，題目的運算要求極高，這種做法的難度大。

具體解法：

將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入橢圓方程，

得ρ2=

所以，（x+y）2=x2+2xy+y2

=ρ2（cos2θ+2sinθcosθ+sin2θ）

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =

設k=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

化簡得（9k-36）tan2θ-72tanθ+（4k-36）=0

令Δ=722-4（9k-36）（4k-36）≥0，解得0≤k≤13，即x+y的最大值為? 13 .

這種方法不管從思維方面還是運算方面要求都比較高，所以說學生沒有想到用這個方法求解屬于正常情況。

（5）從不等式方向去思考

基本不等式以及柯西不等式都是用來求最值的常用方法，此題也可以利用柯西不等式進行求解。

具體解法：

因為? ? ?+? ? ?=1，

所以（? ? ?+? ? ?）（9+4）=13≥（? ? ?×3+? ? ×y），

得-? 13? ≤x+y≤? 13? ，即x+y的最大值為? 13? 。

這種思維方式可以說是五種思考方法中最簡單的，但由于筆者所在的學校并沒有對柯西不等式內容進行教學，所以這種方法等于不在學生所學知識范圍內。

由于利用極坐標求解繁瑣，柯西不等式選講筆者所在學校并沒有學習此選修模塊，所以學生想不到這兩種方法在情理之中。

回顧一下（1）～（3）三種解法，實際上都是源于數學中應予滲透的最基本的化歸思想，更體現了對同一事物的不同視角。

三、復習備考建議

至此，我們應該冷靜地思考一下我們平時的教學，在平時的教學中，我們老師是否做到以學生為主體，是否有從整體上進行高三復習教學設計，將知識點進行整合，抑或只是逐章獨立地復習，使得學生在復習過程中思維形成定勢，不能多角度思考問題。為此，筆者提出以下幾點高三復習備考建議：

1.注重知識整合，提高數學解題能力

高中數學知識點繁多，且高一高二的學習相對零散，學生掌握起來比較困難，所以高三的復習需要我們老師以主干知識為主線對高中知識點進行整合，與學生共建知識網絡，梳清知識脈絡，掌握通性通法，扎實高中數學的基礎知識、基本方法和基本思想。在解題訓練中，注意將整合后的知識點作為考點，提升學生綜合解題能力，幫助學生養成良好的審題習慣、嚴謹的表達習慣，并注重“一題多解”、“多題一解”的解題思維培養，久而久之，學生在面對高考試題時就能梳清知識脈絡，從容應對。

2.構建問題支架，突出學生的主體地位

《普通高中數學課程標準（2017版）》基本理念提出要以學生發展為本，立德樹人，提升素養?！傲⒌聵淙恕钡慕逃枷肼鋵嵉年P鍵是人，所以必須以學生作為課堂的主體。如何讓學生成為課堂的主人，就需要老師在課堂上設計合理的問題搭建好學生學習的支架，讓學生在一個個問題的解決過程中體會到學習的樂趣和對知識深刻的理解和掌握。但事實上，由于高三的教學任務重，時間緊，加上階段測試的考試成績壓力，因此為了趕進度和取得短時的成績效應，不少老師仍然習慣于“滿堂灌”的教學方式，課堂成為老師的“一堂言”，并沒有以學生為主體，學生的學仍然是被動的接受，學生沒有從教學中體會到數學的本質。由于學生被動地接受老師所給予的解題方法，導致學生的解題思路狹隘，形成思維定勢，也就造成了題目考試的情境不同，學生的想法也就被局限在對應的解題框架里，無法換個角度去分析思考數學問題。如果筆者能夠在講授參數方程時，以這題作為學生的學習支架，讓學生多角度思考這道題的做法，相信就不會出現第二次考試的不理想狀況。

3.以“提升學生數學核心素養”為根本目標

由于面對學業的壓力，高三的數學復習教學時往往忽視了學生綜合素質的提升。新高考對學生的考查目標已經從過去的知識、能力轉向學科核心素養。所以，要實現高效復習，需制定基于數學核心素養下的復習策略。但目前許多老師仍然以應試為宗旨，學生深深陷入題海戰術，依靠機械模仿和記憶處理數學問題，數學能力和數學素養沒有得到真正地提升。2019年的高考試題已經給予我們很好的指引，只有提升學生的數學素養才能水到渠成地收獲優異的高考成績。因此，老師應把提升學生的數學能力和素養作為高三復習的根本目標。

四、結束語

我國在新一輪推進高考命題改革中，不僅關注學生理解、掌握數學知識的準確性和完整性，更關注學生所提出問題的問題中包含的數學思維量，其目的是提升學生作為現代社會公民所具備的數學素養，促進學生自主的、全面的、可持續的發展。所以我們應該改變傳統的備考模式，要從“以記憶為核心”的備考策略轉變為“以思維為核心”的備考策略，跳出題海戰術，以提升學生學科核心素養為目標進行復習備考。

課題：廣東省廣州市增城區教育科學“十三五”規劃2019年度課題“以問題為支架”的高三復習課有效性研究（課題編號：zc2019029，課題主持人：胡能其）

【參考文獻】

[1]葉偉文.由一道數學題的解題所引發的思考[J].成才之路，2008（36）：35-36.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]康響.核心素養下《圓錐曲線》高考復習策略[J].中學理科園地，2018（03）：51-52.